Fiche de révision : Fonctions numériques et limites

📋 Plan du Cours

1. Fonctions numériques et domaines de définition
2. Limites de référence et limites en l’infini
3. Formes indéterminées et limites trigonométriques
4. Théorèmes de comparaison des limites
5. Limites d’une composée et branches paraboliques
6. Continuité en un point
7. Dérivabilité et tangente
8. Dérivées à gauche et à droite
9. Fonctions dérivables et règles de dérivation
10. Théorèmes des accroissements finis
11. Parité et symétries des courbes
12. Centres et axes de symétrie
13. Périodicité et intervalle d’étude
14. Familles et intersections de courbes
15. Transformations des courbes associées

📖 1. Fonctions numériques et domaines de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction numérique de variable réelle : Une fonction numérique de la variable réelle est une fonction de ℝ ou d’une partie de ℝ dans ℝ.
• Ensemble de définition : L’ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.

★ À maîtriser

📌 Une fonction rationnelle p(x)/q(x) existe si et seulement si q(x) ≠ 0.

📌 Une fonction √p(x) existe si et seulement si p(x) ≥ 0.

Compléments

📌 Toute fonction polynôme est définie sur ℝ.

📌 Les fonctions |p(x)|, √|p(x)|, cos(ax+b) et sin(ax+b) sont définies sur ℝ ; pour √(|p(x)|+l), c’est aussi le cas si l ≥ 0.

💡 Astuce mémo

Sous une racine, le radicand est positif ou nul ; au dénominateur, il doit être non nul.

📖 2. Limites de référence et limites en l’infini

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour n ∈ ℕ*, $\lim_{x\to0}x^n=0$ et $\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$.

📐 Formule - Pour n ∈ ℕ*, $\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x^{2n-1}}=-\infty$, $\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^{2n-1}}=+\infty$ et $\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2n}}=+\infty$.

📌 La limite en l’infini d’un polynôme est celle de son monôme de plus haut degré, et celle d’une fonction rationnelle est celle du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Compléments

📐 Formule - $\lim_{x\to0}\sqrt{x}=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty$.

📖 3. Formes indéterminées et limites trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme indéterminée : Une forme indéterminée est une forme pour laquelle les opérations algébriques ne permettent pas de déterminer directement la limite.

📝 Points essentiels

• Les formes indéterminées sont :
  • +∞ − ∞
  • 0 × ∞
  • 0/0
  • ∞/∞

📌 Pour lever une indétermination, on utilise la factorisation pour les fonctions polynômes et l’expression conjuguée pour les fonctions irrationnelles.

📐 Formule - Pour a réel non nul, $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ et $\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a$.

📐 Formule - Pour a réel non nul, $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$ et $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(ax)}{x^2}=\frac{a^2}{2}$.

📖 4. Théorèmes de comparaison des limites

★ À maîtriser

• Si f(x) ≥ g(x) pour x assez grand et si g tend vers +∞ en +∞, alors f tend vers +∞ en +∞.

• Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) sur un intervalle ]a ; +∞[ et si g et h tendent vers l, alors f tend vers l en +∞.

• Si f(x) ≤ g(x) sur un intervalle ]a ; +∞[ et si f et g tendent respectivement vers l et l′, alors l ≤ l′.

Compléments

📌 Si f(x) ≥ g(x) pour x assez petit et si f tend vers −∞ en −∞, alors g tend vers −∞ en −∞.

📌 Si |f(x) − l| ≤ g(x) sur un intervalle ]a ; +∞[ et si g tend vers 0 en +∞, alors f tend vers l en +∞.

💡 Astuce mémo

La fonction f est prise en étau entre g et h, qui convergent vers la même limite.

📖 5. Limites d’une composée et branches paraboliques

★ À maîtriser

📌 Si $\lim_{x\to a}g(x)=b$ et $\lim_{x\to b}f(x)=c$, alors $\lim_{x\to a}f(g(x))=c$.

📌 Si $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ et $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=0$, la courbe de f admet au voisinage de l’infini une branche parabolique de direction (Ox).

Compléments

• Pour la fonction définie par morceaux de l’exercice, l’encadrement par 2x−2 et 2x+4 donne $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

📖 6. Continuité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f définie en x₀ est continue en x₀ si et seulement si $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.
• Continuité à gauche : Une fonction f définie en x₀ est continue à gauche de x₀ si et seulement si $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$.
• Continuité à droite : Une fonction f définie en x₀ est continue à droite de x₀ si et seulement si $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$.

★ À maîtriser

📌 Une fonction est continue en x₀ si et seulement si elle est continue à gauche et à droite en x₀, c’est-à-dire si $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$.

Compléments

📌 Si f et g sont continues en x₀ et si α est réel, alors f+g, fg et αf sont continues en x₀.

📌 Si f et g sont continues en x₀ et si g(x₀)≠0, alors 1/g et f/g sont continues en x₀.

📖 7. Dérivabilité et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité en un point : Une fonction f définie sur un intervalle ouvert I et en x₀∈I est dérivable en x₀ si la limite $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe et est un réel.
• Nombre dérivé : La limite $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=a$, lorsqu’elle existe, est le nombre dérivé de f en x₀ et se note $f'(x_0)=a$.

★ À maîtriser

• Si f est dérivable en x₀, la courbe représentative de f admet en son point d’abscisse x₀ une tangente dont le coefficient directeur est $f'(x_0)$.

• Si la limite du taux d’accroissement de f en x₀ est un réel a, alors f est dérivable en x₀ et son nombre dérivé est f′(x₀)=a.

• Si f est dérivable en x₀, la tangente à sa courbe au point d’abscisse x₀ a pour coefficient directeur f′(x₀).

📐 Formule - L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse x₀ est $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$

Compléments

• Si le taux d’accroissement tend vers 0 en x₀, la tangente est horizontale et son équation est $y=f(x_0).$

• Si le taux d’accroissement tend vers l’infini en x₀, f n’est pas dérivable en x₀ et sa courbe admet la tangente verticale d’équation $x=x_0$.

📖 8. Dérivées à gauche et à droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé à gauche : Le nombre dérivé à gauche de f en x₀ est la limite réelle du taux d’accroissement lorsque x tend vers x₀ par valeurs inférieures, notée f′g(x₀).
• Nombre dérivé à droite : Le nombre dérivé à droite de f en x₀ est la limite réelle du taux d’accroissement lorsque x tend vers x₀ par valeurs supérieures, notée f′d(x₀).

★ À maîtriser

📌 f est dérivable en x₀ si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en x₀ et si f′g(x₀)=f′d(x₀).

• Si les deux nombres dérivés latéraux sont réels et différents, la courbe admet deux demi-tangentes obliques et le point correspondant est un point anguleux.

Compléments

• Si les taux d’accroissement latéraux tendent vers des infinis de signes opposés, la courbe admet une demi-tangente verticale et le point est un point de rebroussement.

• Si les taux d’accroissement latéraux tendent vers des infinis de même signe, la courbe admet deux demi-tangentes verticales et le point est un point d’inflexion.

💡 Astuce mémo

À gauche, la limite vient de x₀⁻ ; à droite, elle vient de x₀⁺.

📖 9. Fonctions dérivables et règles de dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité sur un intervalle : Une fonction est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout point de I.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée de f associe à chaque x de I le nombre dérivé f′(x).

★ À maîtriser

📌 Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

📐 Formule - Les dérivées usuelles sont données par $(a)'=0,\quad (ax+b)'=a,\quad (x^n)'=nx^{n-1}\ (n\in\mathbb N^*),\quad (\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}},\quad (1/x)'=-\frac1{x^2}.$

📐 Formule - Les dérivées trigonométriques usuelles sont $(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x,\quad (\tan x)'=\frac1{\cos^2x}=1+\tan^2x.$

📐 Formule - Les règles de dérivation des opérations sont $(u+v)'=u'+v',\quad (\alpha u)'=\alpha u',\quad (uv)'=u'v+uv',\quad (1/u)'=-u'/u^2,\quad (u/v)'=(u'v-uv')/v^2.$

📐 Formule - Les règles de dérivation des fonctions composées comprennent $(u^n)'=nu'u^{n-1},\quad (\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u},\quad (u(ax+b))'=au'(ax+b),\quad (\sin u)'=u'\cos u,\quad (\cos u)'=-u'\sin u.$

Compléments

📌 Toute fonction polynôme est dérivable sur ℝ, toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition, mais une fonction irrationnelle peut être dérivable en un point où elle s’annule.

📌 Si f est dérivable et strictement monotone sur I, sa réciproque est dérivable sur f(I) lorsque f′ ne s’annule pas, et $(f^{-1})'(x)=\frac{1}{(f'\circ f^{-1})(x)}.$

📖 10. Théorèmes des accroissements finis

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie f(a)=f(b), alors il existe c dans ]a,b[ tel que f′(c)=0.

Compléments

📌 Si m≤f′(x)≤M pour tout x de [a,b], avec f dérivable sur un intervalle contenant [a,b], alors $m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a).$

📖 11. Parité et symétries des courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction f définie sur un ensemble stable par opposition est paire si f(−x)=f(x) pour tout x de son domaine.
• Fonction impaire : Une fonction f définie sur un ensemble stable par opposition est impaire si f(−x)=−f(x) pour tout x de son domaine.

📝 Points essentiels

• La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

• La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

💡 Astuce mémo

Paire : miroir autour de l’axe des ordonnées ; impaire : miroir autour de l’origine.

📖 12. Centres et axes de symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre de symétrie : Point $\Omega(x_0;y_0)$ tel que, pour tout $x\in E_f$ vérifiant $2x_0-x\in E_f$, on a $f(2x_0-x)+f(x)=2y_0$.
• Axe de symétrie : La droite d’équation $x=a$ est un axe de symétrie de la courbe de $f$ si, pour tout $x\in E_f$ tel que $2a-x\in E_f$, on a $f(2a-x)=f(x)$.

💡 Astuce mémo

Le centre relie les ordonnées par une somme ; l’axe les relie par une égalité.

📖 13. Périodicité et intervalle d’étude

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction périodique : Fonction de période $T>0$ telle que, pour tout $x\in I$, $x+T$ et $x-T$ appartiennent à $I$ et $f(x+T)=f(x-T)=f(x)$.

★ À maîtriser

• Les fonctions $\cos x$ et $\sin x$ ont pour période $2\pi$, tandis que $\tan x$ et $\cotan x$ ont pour période $\pi$.

📌 Une fonction périodique de période $T$ peut être étudiée sur un intervalle de longueur $T$, puis sa courbe est prolongée par translations successives de vecteurs $T\vec i$ et $-T\vec i$.

Compléments

📌 Si $f$ et $g$ ont respectivement pour périodes $T_1$ et $T_2$ et si $T_1/T_2$ est rationnel, alors $f+g$, $fg$ et $f/g$ lorsque $g\ne0$ ont pour période le PPMC de $T_1$ et $T_2$.

📖 14. Familles et intersections de courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Point fixe : Point $M_0(x_0;y_0)$ par lequel passent toutes les courbes de la famille $(\mathcal C_m)$.

★ À maîtriser

• Les intersections de la courbe de $f$ avec l’axe des abscisses se déterminent en résolvant $f(x)=0$.

• L’intersection de la courbe de $f$ avec l’axe des ordonnées se détermine en posant $x=0$ et en calculant $f(0)$.

Compléments

• Pour déterminer les points fixes d’une famille $(\mathcal C_m)$, on résout l’équation $f_{m+1}(x)-f_m(x)=0$.

📖 15. Transformations des courbes associées

★ À maîtriser

📌 La courbe de $g(x)=-f(x)$ est le symétrique de celle de $f$ par rapport à l’axe des abscisses, tandis que celle de $g(x)=f(-x)$ en est le symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

📌 La courbe de $g(x)=-f(-x)$ est le symétrique de celle de $f$ par rapport à l’origine du repère.

Compléments

• Pour $g(x)=f(x-a)$, la courbe de $g$ s’obtient en translatant celle de $f$ du vecteur $a\vec i$.

• La courbe de $g(x)=|f(x)|$ est la réunion des parties des courbes $y=f(x)$ et $y=-f(x)$ situées au-dessus de l’axe des abscisses.

• La courbe de $g(x)=f(|x|)$ est la réunion de la partie de la courbe de $f$ d’abscisses positives et de son symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

• Pour $k\in\mathbb R^*$ et $g(x)=k f\left(\frac{x}{k}\right)$, la courbe de $g$ est l’image de celle de $f$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.