Fiche de révision : Fonctions polynômes de degré 3

📋 Plan du Cours

1. Dérivée de la fonction cube
2. Dérivée des polynômes de degré 3
3. Signe de la dérivée et variations
4. Applications aux variations
5. Lecture des tableaux de variations
6. Balayage et seuils avec Python
7. Validation par une modélisation

📖 1. Dérivée de la fonction cube

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour la fonction cube $f(x)=x^3$, la dérivée est $f'(x)=3x^2$.

📖 2. Dérivée des polynômes de degré 3

★ À maîtriser

📌 Pour dériver un polynôme écrit comme une somme de termes, on dérive chaque terme puis on additionne les dérivées obtenues.

📐 Formule — Pour $f(x)=3x^3+0{,}5x^2-17x-52$, on obtient $f'(x)=9x^2+x-17$.

📌 Deux fonctions polynômes ont la même dérivée si leurs termes non constants sont identiques ; elles peuvent toutefois différer par une constante.

Compléments

📐 Formule — Pour $g(x)=-0{,}44x^2-6x-34{,}7$, on obtient $g'(x)=-0{,}88x-6$.

📐 Formule — Pour $h(x)=\frac{1}{3}x^3-4{,}2x^2+3x$, on obtient $h'(x)=x^2-8{,}4x+3$.

💡 Astuce mémo

Décomposer → dériver chaque terme → additionner

📖 3. Signe de la dérivée et variations

📝 Points essentiels

📌 Si une dérivée est positive sur un intervalle, la fonction est croissante sur cet intervalle ; si la dérivée est négative, la fonction est décroissante.

• La dérivée de la fonction cube vérifie $f'(x)=3x^2\geq 0$ pour tout réel x, avec une annulation en x=0.

• Sur l'intervalle [-10 ; 15], la fonction cube est croissante et n'admet aucun extremum.

📐 Formule — Pour la fonction de marée $m(x)=0{,}1x^3-3{,}8x^2+38x-35$, la dérivée est $m'(x)=0{,}3x^2-7{,}6x+38$.

• La dérivée de m s'annule approximativement en 6,85 et 18,48, et son signe est successivement positif, négatif puis positif sur [5 ; 21].

💡 Astuce mémo

Signe de f' → sens de variation de f

📖 4. Applications aux variations

★ À maîtriser

• La fonction de marée m est croissante sur [5 ; 6,85], décroissante sur [6,85 ; 18,48], puis croissante sur [18,48 ; 21].

📐 Formule — Pour le bénéfice $b(x)=x^3-32x^2+270x+1500$, on obtient $b'(x)=3x^2-64x+270$.

• Pour déterminer le maximum d'un bénéfice modélisé par un polynôme, il faut dériver la fonction, résoudre l'équation de dérivée nulle sur l'intervalle, étudier le signe de la dérivée, puis dresser le tableau de variations.

• Le bénéfice b est croissant sur [1 ; 5,79] puis décroissant sur [5,79 ; 12], avec un maximum approximatif de 2 184,6 pour x=5,79, soit environ le mois de juin.

Compléments

• La fonction m admet un maximum approximatif de 79,14 en x=6,85 et un minimum approximatif de 0,61 en x=18,48.

📖 5. Lecture des tableaux de variations

★ À maîtriser

📌 Pour compter les solutions de f(x)=y à partir d'un tableau de variations, on compte les intersections entre la courbe et la droite horizontale de niveau y sur chaque intervalle monotone.

Compléments

• Dans le premier tableau, la fonction est décroissante sur [-6 ; -1], croissante sur [-1 ; 7], puis décroissante sur [7 ; 20] ; elle admet un minimum en (-1 ; -35) et un maximum en (7 ; 48).

• Dans le premier tableau, l'équation f(x)=0 possède 2 solutions et l'équation f(x)=23 possède 3 solutions sur [-6 ; 20].

• Dans le deuxième tableau, la fonction est croissante sur [0 ; 50], décroissante sur [50 ; 100], puis croissante sur [100 ; 200], avec un maximum en (50 ; 147) et un minimum en (100 ; -6).

• Dans le troisième tableau, la fonction décroît sur [1 ; 4,62] puis croît sur [4,62 ; 7], avec un minimum en (4,62 ; 3,8) et aucune solution à f(x)=0.

💡 Astuce mémo

f' positive : croissante ; f' négative : décroissante

📖 6. Balayage et seuils avec Python

★ À maîtriser

• Le balayage Python recherche une solution en testant une condition, en avançant x de 0,001, puis en arrondissant la valeur obtenue au millième.

Compléments

📐 Formule — Pour $f(x)=0{,}2x^3-21x+15$ sur [-4 ; 12], le balayage donne approximativement les solutions $x_1=0{,}718$ et $x_2=9{,}870$ de f(x)=0, ainsi que $x_3=11{,}867$ de f(x)=100.

💡 Astuce mémo

Tester → avancer de 0,001 → arrondir

📖 7. Validation par une modélisation

📝 Points essentiels

📐 Formule — La concentration est modélisée sur [0 ; 5,5] par $c(x)=-0{,}21x^3+0{,}8x^2+2x$, dont la dérivée est $c'(x)=-0{,}63x^2+1{,}6x+2$.

• La concentration c est croissante sur [0 ; 3,46] puis décroissante sur [3,46 ; 5,5], et elle atteint un maximum approximatif de 7,80 unités en 3,46 heures.

• L'équation c(x)=5 possède deux solutions approximatives, x=1,812 et x=4,76.

📌 Le médicament reste au-dessus de 5 unités pendant environ 2,948 heures, car 4,76-1,812=2,948.

• Le médicament est validé car sa concentration maximale dépasse 7 unités et reste au-dessus de 5 unités pendant plus de 2 heures.

💡 Astuce mémo

Maximum et durée au-dessus du seuil → décision de validation

📊 Tableaux de synthèse

Signe de la dérivée et variations