QCM : Fonctions polynômes de degré 3 — 21 questions

Question 1

1. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=x^3$ ?

f'(x)=3x

f'(x)=x^3

f'(x)=x^2

f'(x)=3x^2

Explication

La règle de dérivation de la fonction cube donne $f'(x)=3x^2$ . L’expression $x^3$ représente la fonction elle-même, et non sa dérivée.

Answer

$$f'(x)=3x^2$$

Question 2

2. Pour quelle valeur de $x$ la dérivée de la fonction cube $f(x)=x^3$ s’annule-t-elle ?

x=0

x=3

x=1

x=-1

Explication

Comme $f'(x)=3x^2$ , cette dérivée vaut zéro lorsque $x=0$ . Les valeurs $1$ et $-1$ donnent une dérivée égale à $3$ .

Answer

On dérive chaque terme puis on additionne les dérivées

Answer

$$f'(x)=9x^2+x-17$$

Answer

Lorsqu’elles ont les mêmes termes non constants, avec une constante éventuellement différente

Answer

La fonction est croissante sur cet intervalle

Answer

Parce que sa dérivée $$3x^2$$ est positive ou nulle sur tout l’intervalle

Answer

Elle est croissante et n’admet aucun extremum sur cet intervalle

Answer

$$m'(x)=0,3x^2-7,6x+38$$

Answer

Sur $$[5;6,85]$$, $$[6,85;18,48]$$, puis $$[18,48;21]$$

Answer

$$b'(x)=3x^2-64x+270$$

Answer

Dériver, résoudre $$b'(x)=0$$ sur l’intervalle, étudier le signe puis dresser les variations

Answer

Le bénéfice augmente jusqu’à $$x=5,79$$, atteint environ $$2\,184,6$$, puis diminue jusqu’à $$x=12$$.

Answer

On compte les intersections de la courbe avec la droite horizontale de niveau $$y$$ sur les intervalles monotones.

Answer

Le minimum est $$(-1;-35)$$ et le maximum est $$(7;48)$$.

Answer

Tester une condition, augmenter $$x$$ de $$0,001$$, puis arrondir la valeur trouvée au millième.

Answer

$$f(x)=0$$ donne $$x=0,718$$ et $$x=9,870$$, tandis que $$f(x)=100$$ donne $$x=11,867$$.

Answer

$$c(x)=-0,21x^3+0,8x^2+2x$$

Answer

Vers 3,46 heures, pour environ 7,80 unités

Answer

$$x=1,812$$ et $$x=4,76$$

Answer

Environ 2,948 heures

Question 3

3. Comment dérive-t-on un polynôme écrit comme une somme de plusieurs termes ?

On dérive uniquement les termes dont le coefficient est positif

On additionne les termes avant d’appliquer une dérivée commune

On dérive le premier terme puis on conserve les autres

On dérive chaque terme puis on additionne les dérivées

Explication

La dérivation d’une somme se fait terme par terme, puis les dérivées obtenues sont additionnées. Conserver certains termes sans les dériver ne respecte pas cette règle.

Question 4

4. Quelle est la dérivée de $f(x)=3x^3+0,5x^2-17x-52$ ?

f'(x)=3x^2+x-17

f'(x)=9x^2+ x-52

f'(x)=9x^2+0,5x-52

f'(x)=9x^2+x-17

Explication

La dérivation terme par terme donne $9x^2+x-17$ , tandis que la constante $-52$ disparaît. Le terme linéaire $-17x$ contribue donc par $-17$ .

Question 5

5. Deux fonctions polynômes ont la même dérivée dans quel cas ?

Lorsqu’elles ont le même terme constant, avec des termes non constants éventuellement différents

Lorsqu’elles ont les mêmes termes non constants, avec une constante éventuellement différente

Lorsqu’elles ont des coefficients opposés pour chacun de leurs termes

Lorsqu’elles ont le même degré, même si tous leurs coefficients diffèrent

Explication

Les constantes disparaissent lors de la dérivation, donc deux polynômes ayant les mêmes termes non constants peuvent différer par une constante tout en possédant la même dérivée. Un même degré ne suffit pas à garantir cette égalité.

Question 6

6. Que peut-on conclure d’une dérivée positive sur un intervalle ?

La fonction possède un extremum sur cet intervalle

La fonction est décroissante sur cet intervalle

La fonction est croissante sur cet intervalle

La fonction est constante sur cet intervalle

Explication

Une dérivée positive indique que les valeurs de la fonction augmentent sur l’intervalle considéré. Une dérivée positive ne permet pas, à elle seule, de conclure à l’existence d’un extremum.

Question 7

7. Pourquoi la fonction cube est-elle croissante sur l’intervalle $[-10;15]$ ?

Parce que sa dérivée change de signe au point

x=0

Parce que sa fonction garde une valeur positive sur tout l’intervalle

Parce que sa dérivée

3x^2

est strictement positive en chaque point

Parce que sa dérivée

3x^2

est positive ou nulle sur tout l’intervalle

Explication

On a $f'(x)=3x^2\geq 0$ pour tout réel $x$ , avec une annulation en $0$ , ce qui suffit pour établir que la fonction cube est croissante. Une dérivée nulle en un point ne constitue pas un changement de signe.

Question 8

8. Quelle affirmation décrit correctement la fonction cube sur $[-10;15]$ ?

Elle est constante au voisinage de

x=0

Elle est décroissante et admet un minimum en

x=0

Elle est croissante et n’admet aucun extremum sur cet intervalle

Elle est croissante puis décroissante autour de

x=0

Explication

La dérivée $3x^2$ reste positive ou nulle et ne change pas de signe, donc la fonction cube est croissante sans extremum sur cet intervalle. L’annulation en $x=0$ ne suffit pas à créer un extremum.

Question 9

9. Quelle est la dérivée de la fonction de marée $m(x)=0,1x^3-3,8x^2+38x-35$ ?

m'(x)=0,3x^2-3,8x+38

m'(x)=0,1x^2-3,8x-35

m'(x)=0,3x^2-7,6x+38

m'(x)=0,1x^3-7,6x+38

Explication

La dérivation terme par terme donne $0,3x^2-7,6x+38$ , tandis que la constante $-35$ disparaît. La fonction $m$ décrit la hauteur, alors que $m'$ décrit son évolution.

Question 10

10. Sur quels intervalles la fonction de marée $m$ est-elle respectivement croissante, décroissante, puis croissante ?

Sur

[5;6,85]

,

[6,85;18,48]

, puis

[18,48;21]

Sur

[5;6,85]

,

[18,48;21]

, puis

[6,85;18,48]

Sur

[5;18,48]

,

[18,48;6,85]

, puis

[6,85;21]

Sur

[6,85;18,48]

,

[5;6,85]

, puis

[18,48;21]

Explication

La fonction augmente jusqu’à $x=6,85$ , diminue jusqu’à $x=18,48$ , puis augmente jusqu’à $x=21$ . L’ordre des intervalles est essentiel : il traduit les changements successifs de variation de la fonction.

Question 11

11. Quelle dérivée obtient-on pour le bénéfice $b(x)=x^3-32x^2+270x+1500$ ?

b'(x)=3x^2-32x+270

b'(x)=3x^2-64x+270

b'(x)=3x^2-64x+1500

b'(x)=x^2-32x+270

Explication

La dérivation terme à terme donne $3x^2$ , $-64x$ , tandis que la constante disparaît, d’où $b'(x)=3x^2-64x+270$ . La constante $1500$ ne figure donc pas dans la dérivée.

Question 12

12. Quelle démarche permet de déterminer le maximum d’un bénéfice polynomial sur un intervalle donné ?

Résoudre

b(x)=0

, étudier les racines et retenir celle qui appartient à l’intervalle

Dériver, résoudre

b'(x)=0

sur l’intervalle, étudier le signe puis dresser les variations

Calculer quelques valeurs, choisir la plus grande, puis vérifier graphiquement le résultat

Dériver, chercher les zéros de

b(x)

, puis comparer les variations sans étudier le signe

Explication

La méthode repose sur l’étude de la dérivée : ses zéros situés dans l’intervalle permettent d’analyser les changements de variation et les extremums. Les racines de $b(x)$ indiquent des bénéfices nuls, mais ne déterminent pas directement le maximum.

Question 13

13. Pour le bénéfice étudié sur $[1;12]$ , quelle interprétation est correcte ?

Le bénéfice reste croissant sur

[1;12]

et atteint sa valeur maximale au mois de décembre.

Le bénéfice diminue jusqu’à

x=5,79

, atteint environ

2\,184,6

, puis augmente jusqu’à

x=12

.

Le bénéfice augmente jusqu’à

x=5,79

, atteint environ

2\,184,6

, puis diminue jusqu’à

x=12

.

Le bénéfice augmente jusqu’à

x=15,54

, puis diminue, avec un maximum situé hors de l’intervalle étudié.

Explication

Le bénéfice est croissant sur $[1;5,79]$ puis décroissant sur $[5,79;12]$ , ce qui donne un maximum approximatif de $2\,184,6$ pour $x=5,79$ . La solution proche de $15,54$ n’appartient pas à l’intervalle étudié.

Question 14

14. Comment détermine-t-on le nombre de solutions de $f(x)=y$ à partir d’un tableau de variations ?

On compte les extrémités du domaine qui ont une ordonnée égale à

y

, sans examiner les variations.

On compte les changements de signe de la dérivée sur les intervalles où la fonction est monotone.

On compte les valeurs où la dérivée est nulle, car elles correspondent aux intersections avec le niveau

y

.

On compte les intersections de la courbe avec la droite horizontale de niveau

y

sur les intervalles monotones.

Explication

Chaque intersection avec la droite horizontale d’équation $y=y_0$ correspond à une solution de $f(x)=y_0$ . Les zéros de la dérivée repèrent des extremums, mais ne donnent pas directement le nombre d’intersections avec un niveau choisi.

Question 15

15. Dans le premier tableau de variations, quels points correspondent respectivement au minimum et au maximum de la fonction ?

Le minimum est

(7;48)

et le maximum est

(-1;-35)

.

Le minimum est

(-6;0)

et le maximum est

(20;0)

.

Le minimum est

(-1;-35)

et le maximum est

(7;48)

.

Le minimum est

(-1;48)

et le maximum est

(7;-35)

.

Explication

La fonction décroît jusqu’à $x=-1$ puis croît, donc $(-1;-35)$ est un minimum. Elle croît ensuite jusqu’à $x=7$ puis décroît, donc $(7;48)$ est un maximum.

Question 16

16. Quel principe décrit le balayage utilisé pour rechercher une solution avec Python ?

Résoudre symboliquement l’équation, augmenter

x

de

0,001

, puis supprimer les décimales.

Tester plusieurs valeurs, diminuer

x

de

0,01

, puis conserver la première valeur entière.

Tester une condition, augmenter

x

de

0,001

, puis arrondir la valeur trouvée au millième.

Calculer la dérivée, augmenter

x

de

1

, puis arrondir la dérivée au centième.

Explication

Le balayage explore progressivement les valeurs de $x$ avec un pas de $0,001$ jusqu’à satisfaire la condition recherchée, puis arrondit le résultat au millième. Il s’agit donc d’une recherche numérique par essais successifs, et non d’une résolution symbolique directe.

Question 17

17. Quelles valeurs approximatives correspondent aux solutions de $f(x)=0$ et de $f(x)=100$ pour $f(x)=0,2x^3-21x+15$ sur $[-4;12]$ ?

f(x)=0

donne

x=0,718

et

x=9,870

, tandis que

f(x)=100

donne

x=11,867

.

f(x)=0

donne

x=0,718

, tandis que

f(x)=100

donne

x=9,870

et

x=11,867

.

f(x)=0

donne

x=0,718

et

x=11,867

, tandis que

f(x)=100

donne

x=9,870

.

f(x)=0

donne

x=9,870

et

x=11,867

, tandis que

f(x)=100

donne

x=0,718

.

Explication

Le balayage fournit deux solutions de niveau nul, $x_1=0,718$ et $x_2=9,870$ , ainsi qu’une solution de niveau $100$ , $x_3=11,867$ . La confusion fréquente consiste à attribuer cette dernière valeur à l’équation de niveau nul.

Question 18

18. Quelle fonction modélise la concentration du médicament sur l’intervalle considéré ?

c(x)=0,21x^3-0,8x^2+2x

c(x)=-0,21x^3+0,8x^2+2x

c(x)=-0,63x^2+1,6x+2

c(x)=-0,21x^2+0,8x+2

Explication

La concentration est représentée par la fonction cubique $c(x)=-0,21x^3+0,8x^2+2x$ . L’expression quadratique donnée correspond à sa dérivée, qui sert à étudier les variations plutôt qu’à calculer directement la concentration.

Question 19

19. À quel moment la concentration atteint-elle approximativement son maximum, et quelle est sa valeur ?

Vers 1,81 heure, pour environ 5 unités

Vers 3,46 heures, pour environ 7,80 unités

Vers 4,76 heures, pour environ 5 unités

Vers 5,50 heures, pour environ 7 unités

Explication

La concentration atteint son maximum approximatif de 7,80 unités au bout de 3,46 heures. Les valeurs 1,812 et 4,76 correspondent aux instants où la concentration vaut 5 unités, et non à son maximum.

Question 20

20. Quelles sont les solutions approximatives de l’équation $c(x)=5$ ?

x=0

et

x=5,5

x=3,46

et

x=5,5

x=2

et

x=4

x=1,812

et

x=4,76

Explication

La concentration vaut 5 unités aux deux instants approximatifs $x=1,812$ et $x=4,76$ . L’instant 3,46 correspond au maximum de la concentration, pas à une solution de cette équation.

Question 21

21. Pendant combien de temps environ la concentration reste-t-elle supérieure à 5 unités ?

Environ 1,812 heure

Environ 2,948 heures

Environ 3,46 heures

Environ 4,76 heures

Explication

La durée se calcule en soustrayant les deux instants où la concentration vaut 5 unités : $4,76-1,812=2,948$ heures. La valeur 3,46 heures indique l’instant du maximum et non la durée au-dessus du seuil.

QCM : Fonctions polynômes de degré 3 — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=x^3$ ?

2. Pour quelle valeur de $x$ la dérivée de la fonction cube $f(x)=x^3$ s’annule-t-elle ?

3. Comment dérive-t-on un polynôme écrit comme une somme de plusieurs termes ?

4. Quelle est la dérivée de $f(x)=3x^3+0,5x^2-17x-52$ ?

5. Deux fonctions polynômes ont la même dérivée dans quel cas ?

6. Que peut-on conclure d’une dérivée positive sur un intervalle ?

7. Pourquoi la fonction cube est-elle croissante sur l’intervalle $[-10;15]$ ?

8. Quelle affirmation décrit correctement la fonction cube sur $[-10;15]$ ?

9. Quelle est la dérivée de la fonction de marée $m(x)=0,1x^3-3,8x^2+38x-35$ ?

10. Sur quels intervalles la fonction de marée $m$ est-elle respectivement croissante, décroissante, puis croissante ?

11. Quelle dérivée obtient-on pour le bénéfice $b(x)=x^3-32x^2+270x+1500$ ?

12. Quelle démarche permet de déterminer le maximum d’un bénéfice polynomial sur un intervalle donné ?

13. Pour le bénéfice étudié sur $[1;12]$ , quelle interprétation est correcte ?

14. Comment détermine-t-on le nombre de solutions de $f(x)=y$ à partir d’un tableau de variations ?

15. Dans le premier tableau de variations, quels points correspondent respectivement au minimum et au maximum de la fonction ?

16. Quel principe décrit le balayage utilisé pour rechercher une solution avec Python ?

17. Quelles valeurs approximatives correspondent aux solutions de $f(x)=0$ et de $f(x)=100$ pour $f(x)=0,2x^3-21x+15$ sur $[-4;12]$ ?

18. Quelle fonction modélise la concentration du médicament sur l’intervalle considéré ?

19. À quel moment la concentration atteint-elle approximativement son maximum, et quelle est sa valeur ?

20. Quelles sont les solutions approximatives de l’équation $c(x)=5$ ?

21. Pendant combien de temps environ la concentration reste-t-elle supérieure à 5 unités ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Atomes et liaisons

Enjeux contemporains de la planète

Introduction à la biologie du développement

Terre, vie et patrimoine génétique

Chap 1

Analyse des systèmes ouverts

Crée tes propres QCM

QCM : Fonctions polynômes de degré 3 — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 ?

2. Pour quelle valeur de xxx la dérivée de la fonction cube f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 s’annule-t-elle ?

3. Comment dérive-t-on un polynôme écrit comme une somme de plusieurs termes ?

4. Quelle est la dérivée de f(x)=3x3+0,5x2−17x−52f(x)=3x^3+0,5x^2-17x-52f(x)=3x3+0,5x2−17x−52 ?

5. Deux fonctions polynômes ont la même dérivée dans quel cas ?

6. Que peut-on conclure d’une dérivée positive sur un intervalle ?

7. Pourquoi la fonction cube est-elle croissante sur l’intervalle [−10;15][-10;15][−10;15] ?

8. Quelle affirmation décrit correctement la fonction cube sur [−10;15][-10;15][−10;15] ?

9. Quelle est la dérivée de la fonction de marée m(x)=0,1x3−3,8x2+38x−35m(x)=0,1x^3-3,8x^2+38x-35m(x)=0,1x3−3,8x2+38x−35 ?

10. Sur quels intervalles la fonction de marée mmm est-elle respectivement croissante, décroissante, puis croissante ?

11. Quelle dérivée obtient-on pour le bénéfice b(x)=x3−32x2+270x+1500b(x)=x^3-32x^2+270x+1500b(x)=x3−32x2+270x+1500 ?

12. Quelle démarche permet de déterminer le maximum d’un bénéfice polynomial sur un intervalle donné ?

13. Pour le bénéfice étudié sur [1;12][1;12][1;12], quelle interprétation est correcte ?

14. Comment détermine-t-on le nombre de solutions de f(x)=yf(x)=yf(x)=y à partir d’un tableau de variations ?

15. Dans le premier tableau de variations, quels points correspondent respectivement au minimum et au maximum de la fonction ?

16. Quel principe décrit le balayage utilisé pour rechercher une solution avec Python ?

17. Quelles valeurs approximatives correspondent aux solutions de f(x)=0f(x)=0f(x)=0 et de f(x)=100f(x)=100f(x)=100 pour f(x)=0,2x3−21x+15f(x)=0,2x^3-21x+15f(x)=0,2x3−21x+15 sur [−4;12][-4;12][−4;12] ?

18. Quelle fonction modélise la concentration du médicament sur l’intervalle considéré ?

19. À quel moment la concentration atteint-elle approximativement son maximum, et quelle est sa valeur ?

20. Quelles sont les solutions approximatives de l’équation c(x)=5c(x)=5c(x)=5 ?

21. Pendant combien de temps environ la concentration reste-t-elle supérieure à 5 unités ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Atomes et liaisons

Enjeux contemporains de la planète

Introduction à la biologie du développement

Terre, vie et patrimoine génétique

Chap 1

Analyse des systèmes ouverts

Crée tes propres QCM

1. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=x^3$ ?

2. Pour quelle valeur de $x$ la dérivée de la fonction cube $f(x)=x^3$ s’annule-t-elle ?

4. Quelle est la dérivée de $f(x)=3x^3+0,5x^2-17x-52$ ?

7. Pourquoi la fonction cube est-elle croissante sur l’intervalle $[-10;15]$ ?

8. Quelle affirmation décrit correctement la fonction cube sur $[-10;15]$ ?

9. Quelle est la dérivée de la fonction de marée $m(x)=0,1x^3-3,8x^2+38x-35$ ?

10. Sur quels intervalles la fonction de marée $m$ est-elle respectivement croissante, décroissante, puis croissante ?

11. Quelle dérivée obtient-on pour le bénéfice $b(x)=x^3-32x^2+270x+1500$ ?

13. Pour le bénéfice étudié sur $[1;12]$ , quelle interprétation est correcte ?

14. Comment détermine-t-on le nombre de solutions de $f(x)=y$ à partir d’un tableau de variations ?

17. Quelles valeurs approximatives correspondent aux solutions de $f(x)=0$ et de $f(x)=100$ pour $f(x)=0,2x^3-21x+15$ sur $[-4;12]$ ?

20. Quelles sont les solutions approximatives de l’équation $c(x)=5$ ?