Fiche de révision : Chap 1

📋 Plan du Cours

1. Opérations sur les réels
2. Fractions et équations
3. Puissances et identités remarquables
4. Racines et second degré
5. Ordre et inégalités
6. Intervalles réels
7. Valeur absolue et distances
8. Partie entière

📖 1. Opérations sur les réels

★ À maîtriser

• L’ensemble des réels ℝ contient les naturels ℕ, les entiers relatifs ℤ, les rationnels ℚ ainsi que des nombres comme √2, π et e.

📌 Pour tous réels x, y et z, l’addition est commutative et associative, possède 0 comme élément neutre, et tout réel x possède l’opposé −x tel que x+(−x)=0.

📌 Pour tous réels x, y et z, la multiplication est commutative et associative, possède 1 comme élément neutre, et vérifie la distributivité x(y+z)=xy+xz.

Compléments

📌 Pour tous réels a, x et y, x+a=y+a équivaut à x=y, et si a≠0, ax=ay équivaut à x=y.

📖 2. Fractions et équations

★ À maîtriser

📌 Le produit nul vérifie xy=0 si et seulement si x=0 ou y=0.

📐 Formule — Pour b,d non nuls, les fractions vérifient $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$ et $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

📌 Pour b,d non nuls, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ équivaut à $ad=bc$.

Compléments

• La somme $\frac{13}{28}+\frac{5}{42}$ vaut $\frac{7}{12}$ après réduction au dénominateur commun 84.

💡 Astuce mémo

Transformer, simplifier, factoriser, résoudre

📖 3. Puissances et identités remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : La puissance entière de x est définie par $x^0=1$, par le produit de n facteurs x si n>0, et par $x^n=\frac{1}{x^{-n}}$ si n<0 et x≠0.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour x et y non nuls et n,m entiers, $x^n x^m=x^{n+m}$, $\frac{x^n}{x^m}=x^{n-m}$ et $(x^n)^m=x^{nm}$.

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ et $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$.

Compléments

📐 Formule — Pour x,y réels et n entier, $x^n y^n=(xy)^n$ et, si y≠0, $\frac{x^n}{y^n}=\left(\frac{x}{y}\right)^n$.

📖 4. Racines et second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée de a≥0, notée √a, est l’unique solution positive de l’équation x²=a, les deux solutions étant opposées et confondues lorsque a=0.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel x, $\sqrt{x^2}=|x|$, et non pas toujours x.

📌 Pour ax²+bx+c=0 avec a≠0 et $\Delta=b^2-4ac$, Δ>0 donne deux solutions, Δ=0 une solution double et Δ<0 aucune solution réelle.

Compléments

📐 Formule — Pour x,y positifs et y non nul, $\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ et $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\sqrt{\frac{x}{y}}$.

💡 Astuce mémo

Le discriminant détermine le nombre de solutions

📖 5. Ordre et inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’ordre : La relation ≤ sur ℝ est réflexive, antisymétrique, transitive et totale, car deux réels sont toujours comparables.

★ À maîtriser

📌 Si x≤y, alors x+z≤y+z pour tout réel z, et si z≥0, alors xz≤yz.

📌 Si x≤y et z≤0, alors xz≥yz : multiplier une inégalité par un nombre négatif change son sens.

Compléments

📌 Pour x,y≥0, x≤y équivaut à x²≤y² et à √x≤√y.

💡 Astuce mémo

Multiplier par un positif conserve l’ordre, par un négatif l’inverse

📖 6. Intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle réel : Un intervalle réel est ℝ, l’ensemble vide ou un ensemble compris entre deux bornes avec chacune incluse ou exclue, ou encore un ensemble non borné d’un côté.

★ À maîtriser

• Les huit formes d’intervalles sont:
  • [a,b]
  • ]a,b]
  • [a,b[
  • ]a,b[
  • ]−∞,b]
  • ]−∞,b[
  • [a,+∞[
  • ]a,+∞[

Compléments

• L’ensemble vide ∅ est un intervalle car il peut s’écrire ]0,0[.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue

📖 7. Valeur absolue et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Pour tout réel x, $|x|=x$ si x≥0 et $|x|=-x$ si x<0.

★ À maîtriser

• Sur la droite réelle, |x| est la distance entre le point d’abscisse x et l’origine, et |b−a| est la distance entre les points d’abscisses a et b.

📐 Formule — L’inégalité triangulaire est $|x+y|\leq |x|+|y|$, complétée par $||x|-|y||\leq |x\pm y|$.

Compléments

📐 Formule — Pour tous réels x et y, $|xy|=|x||y|$ et, si y≠0, $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$.

💡 Astuce mémo

Sur la droite réelle, |x| mesure la distance de x à l’origine

📖 8. Partie entière

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : La partie entière [x] d’un réel x est le plus grand entier inférieur ou égal à x.

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel x, il existe un unique entier n tel que n≤x<n+1, et cet entier est [x].

Compléments

• On a [π]=3 et [−π]=−4.

💡 Astuce mémo

Entier inférieur : [x] ≤ x < [x]+1

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et solutions