Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes du trinôme
2. Fonction carré et parabole
3. Sommet et variations
4. Obtenir la forme canonique
5. Racines par factorisation
6. Discriminant et équation générale
7. Antécédents et tableaux de signe

📖 1. Définition et formes du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : s’écrit $g(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$.

★ À maîtriser

📌 La forme développée permet d’identifier directement a, b et c, la forme factorisée facilite la recherche des racines et la forme canonique facilite l’étude du sommet.

Compléments

• Pour $h(x)=(2x-1)(x+3)$, le développement donne $h(x)=2x^2+5x-3$, donc $a=2$, $b=5$ et $c=-3$.

💡 Astuce mémo

Développée pour lire a, b, c ; factorisée pour lire les racines ; canonique pour lire le sommet.

📖 2. Fonction carré et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction carré : est définie par $g(x)=x^2$, avec $a=1$, $b=0$ et $c=0$.

★ À maîtriser

• La courbe d’une fonction du second degré est une parabole ayant un axe de symétrie vertical.

Compléments

• Les carrés à connaître comprennent $11^2=121$, $12^2=144$, $13^2=169$, $14^2=196$ et $15^2=225$.

💡 Astuce mémo

Une parabole en U, symétrique autour d’un axe vertical.

📖 3. Sommet et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : est $a(x-\alpha)^2+\beta$, où α est l’abscisse du sommet et β son ordonnée.

★ À maîtriser

📌 Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et la fonction admet un minimum ; si $a<0$, elle est tournée vers le bas et la fonction admet un maximum.

Compléments

• Pour $f(x)=-2(x-1)^2+3$, le sommet est de coordonnées $(1;3)$ et le maximum 3 est atteint en 1.

💡 Astuce mémo

Le signe de a détermine l’ouverture, donc minimum si a>0 et maximum si a<0.

📖 4. Obtenir la forme canonique

★ À maîtriser

• Pour obtenir la forme canonique, on peut compléter le carré, par exemple $x^2+6x+1=(x+3)^2-8$.

📐 Formule — Pour $g(x)=ax^2+bx+c$, l’abscisse du sommet est $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

Compléments

• Pour $g(x)=x^2-3x+5$, on obtient $\alpha=\frac32$ et $g\left(\frac32\right)=\frac{11}{4}$.

💡 Astuce mémo

Développer, compléter le carré, puis identifier α et β.

📖 5. Racines par factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : est une valeur qui annule f, c’est-à-dire un antécédent de 0 ou une solution de l’équation $f(x)=0$.

📝 Points essentiels

• Une fonction du second degré possède 0, 1 ou 2 racines.

• Pour résoudre une équation produit nul, on annule chaque facteur, comme dans $2(x-3)(x+5)=0$, qui donne les racines 3 et -5.

💡 Astuce mémo

Annuler le produit, annuler chaque facteur, obtenir les racines.

📖 6. Discriminant et équation générale

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour l’équation $ax^2+bx+c=0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation n’a pas de racine réelle ; si $\Delta=0$, elle possède une racine double $x=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta>0$, elle possède deux racines.

📐 Formule — Lorsque $\Delta>0$, les deux racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Pour $g(x)=x^2-5x+6$, $\Delta=1>0$ et les deux racines sont 2 et 3.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : zéro ; Δ=0 : une ; Δ>0 : deux.

📖 7. Antécédents et tableaux de signe

★ À maîtriser

• Pour trouver les antécédents d’un nombre y par une fonction du second degré, on résout l’équation $g(x)=y$ puis on la transforme en équation du second degré nulle.

📌 Si une fonction du second degré a deux racines et $a>0$, son signe est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.

📌 Si le discriminant est négatif, le signe de la fonction est constant et égal au signe de a ; si le discriminant est nul, il est du signe de a sauf à la racine double où il vaut zéro.

Compléments

• Les antécédents de 10 par $g(x)=2x^2-3x-1$ sont 3 et $-\frac32$.

💡 Astuce mémo

Les racines découpent la droite, et le signe de a fixe le signe extérieur.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et racines