QCM : Fonctions polynômes du second degré — 17 questions

Explication

Le terme en $x^2$ doit avoir un coefficient $a\neq0$ pour que le degré soit bien égal à deux. Si $a=0$, le terme quadratique disparaît et la fonction devient affine, ce qui correspond à la confusion fréquente.

Explication

La forme factorisée met en évidence les facteurs dont l’annulation donne les racines. La forme canonique est plutôt adaptée à la détermination du sommet, tandis que la forme développée identifie directement les coefficients.

Explication

Dans $g(x)=x^2$, le coefficient de $x^2$ vaut $1$ et les termes en $x$ et constant sont absents, donc $b=0$ et $c=0$. Le choix avec $a=0$ décrit une fonction affine plutôt qu’une fonction carré.

Explication

La représentation graphique d’une fonction du second degré est une parabole dont l’axe de symétrie est vertical. Une droite ne possède pas cette structure imposée, et les deux autres courbes ne correspondent pas à ce type de fonction.

Explication

La forme canonique permet de lire le sommet sous la forme $(\alpha;\beta)$ : $\alpha$ est son abscisse et $\beta$ son ordonnée. Inverser ces rôles constitue la confusion classique entre les deux coordonnées.

Explication

Lorsque $a<0$, le terme quadratique entraîne une parabole tournée vers le bas, ce qui produit un maximum au sommet. Le cas $a>0$ correspond au contraire à une parabole tournée vers le haut avec un minimum.

Explication

Compléter le carré réécrit le trinôme sous la forme canonique, comme dans $x^2+6x+1=(x+3)^2-8$. Une factorisation consiste plutôt à écrire une expression comme un produit de facteurs, ce qui ne constitue pas la même transformation.

Explication

L’abscisse du sommet est calculée par $\alpha=-\frac{b}{2a}$. L’ordonnée du sommet est notée $\beta$, elle ne se confond donc pas avec cette expression de $\alpha$.

Explication

Une racine est une valeur qui annule la fonction, donc une solution de $f(x)=0$. L’ordonnée du sommet décrit un autre élément de la parabole et ne définit pas une racine.

Explication

Une fonction du second degré peut avoir zéro, une ou deux racines réelles. Elle peut donc ne couper l’axe des abscisses en aucun point, contrairement à l’idée qu’elle aurait nécessairement deux racines.

Explication

Un produit nul est nul lorsqu’au moins un de ses facteurs est nul : $x-3=0$ ou $x+5=0$. Les solutions sont donc 3 et -5, et non les nombres obtenus en changeant les signes des constantes.

Explication

Le discriminant est défini par $\Delta=b^2-4ac$. L’expression $-\frac{b}{2a}$ donne l’abscisse du sommet, et non le discriminant.

Explication

Lorsque $\Delta<0$, l’équation ne possède pas de racine réelle. Une racine double correspond à $\Delta=0$, tandis que deux racines distinctes correspondent à $\Delta>0$.

Explication

Lorsque $\Delta>0$, les racines s’obtiennent en utilisant $-b$, la racine carrée du discriminant et le dénominateur $2a$. Remplacer $\sqrt{\Delta}$ par $\Delta$ ou omettre le facteur 2 modifie la formule.

Explication

Les antécédents de $y$ sont les valeurs de $x$ qui vérifient $g(x)=y$, que l’on transforme ensuite en équation du second degré nulle. Calculer le discriminant de $g$ sans intégrer $y$ ne permet pas de résoudre l’équation demandée.

Explication

Lorsque $a>0$ et que deux racines existent, la parabole est orientée vers le haut : la fonction est positive à l’extérieur des racines et négative entre elles. L’inversion de ces signes correspond au cas $a<0$.

Explication

Si $\Delta=0$, la fonction garde le signe de $a$ en dehors de la racine double et vaut zéro à cette racine ; avec $a<0$, elle est donc négative ailleurs. Une racine double ne provoque pas de changement de signe.