Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonctions et courbes représentatives
2. Écriture du polynôme du second degré
3. Forme canonique et discriminant
4. Résolution des équations du second degré
5. Développement et relations entre racines
6. Signe du polynôme
7. Variations et extremum

📖 1. Fonctions et courbes représentatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Relation qui associe à chaque nombre x de D un unique réel noté f(x).
• Courbe représentative : Ensemble des points M(x,f(x)) lorsque x parcourt toutes les valeurs de D, dont l’équation est y=f(x).

★ À maîtriser

📌 D est l’ensemble de définition de f, f(x) est l’image de x par f et x est un antécédent de f(x) par f.

Compléments

📌 Un point M(Xm,Ym) appartient à la courbe représentative Cf si et seulement si f(Xm)=Ym.

💡 Astuce mémo

La fonction associe, la courbe représente.

📖 2. Écriture du polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Un polynôme du second degré s’écrit sous la forme P(x)=ax²+bx+c, avec a, b et c réels et a non nul.

📝 Points essentiels

📌 L’écriture développée, réduite et ordonnée d’une fonction polynôme est unique.

📖 3. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant d’un polynôme du second degré est le réel $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La forme canonique de P(x)=ax²+bx+c est $P(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$.

📐 Formule — La forme canonique peut aussi s’écrire $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)=\frac{-b^2+4ac}{4a}$.

💡 Astuce mémo

Compléter le carré → obtenir la forme canonique et le discriminant.

📖 4. Résolution des équations du second degré

★ À maîtriser

• Si Δ>0, l’équation P(x)=0 possède deux solutions $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Si Δ=0, l’équation P(x)=0 possède une solution $x=-\frac{b}{2a}$.

• Si Δ<0, P(x)=0 n’admet aucune solution réelle et la courbe CP ne coupe pas l’axe des abscisses.

Compléments

• Pour résoudre P(x)=0 par factorisation, on écrit P(x)=(x-x1)(x-x2) lorsque x1 et x2 sont les racines.

💡 Astuce mémo

Discriminant → racines → factorisation.

📖 5. Développement et relations entre racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$, $(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$ et $(x-a)(x+a)=x^2-a^2$.

Compléments

📐 Formule — Si a et b sont les racines de P(x)=ax²+bx+c, leur somme vérifie $a+b=-\frac{b}{a}$ et leur produit vérifie $a\times b=\frac{c}{a}$.

📖 6. Signe du polynôme

📝 Points essentiels

📌 Un polynôme du second degré est du signe de k à l’extérieur de ses solutions et de signe opposé à l’intérieur.

• 🔄 Pour dresser le tableau de signe:
  1. Factoriser P(x)=k(x-a)(x-b)
  2. Étudier le signe de (x-a)
  3. Étudier le signe de (x-b)
  4. Appliquer la règle du produit des signes

💡 Astuce mémo

Signe de k à l’extérieur, signe opposé à l’intérieur.

📖 7. Variations et extremum

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour P(x)=kx²+bx+c, sa dérivée est $P'(x)=2kx+b$ et P'(x)=0 pour $\alpha=-\frac{b}{2k}$.

• L’antécédent α=-b/(2k) correspond à l’abscisse de l’extremum local de P, et β=P(α)=(-b²+4kc)/(4k) est sa valeur.

• Si k>0, P′ est négative avant α puis positive après α, donc P décroît puis croît et admet un minimum en α.

• Si k<0, P′ est positive avant α puis négative après α, donc P croît puis décroît et admet un maximum en α.

💡 Astuce mémo

Signe de P′ → variations de P → extremum en α.

📊 Tableaux de synthèse

Solutions selon le discriminant

Variations selon le coefficient directeur