QCM : Fonctions polynômes du second degré — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la différence entre une fonction ff et le nombre f(x)f(x) associé à un réel xx ?

La fonction est une relation, tandis que f(x)f(x) est le réel image de xx
La fonction est un réel, tandis que f(x)f(x) est son ensemble de définition
La fonction est une courbe, tandis que f(x)f(x) est l’équation de cette courbe
La fonction est un antécédent, tandis que f(x)f(x) est une relation entre deux nombres

La fonction est une relation, tandis que $$f(x)$$ est le réel image de $$x$$

Explication

Une fonction associe chaque élément de son domaine à un unique réel, tandis que f(x)f(x) désigne la valeur obtenue pour xx. Confondre la fonction avec cette valeur revient à assimiler une relation entière à l’un de ses résultats.

2. Si xx est un réel de l’ensemble de définition DD et si f(x)=7f(x)=7, comment interpréter ces deux nombres ?

xx est la courbe représentative et 77 est son équation
xx est l’image de 77 et 77 est un antécédent de xx
xx est un antécédent de 77 et 77 est l’image de xx
xx est l’ensemble de définition et 77 est la fonction associée

$$x$$ est un antécédent de $$7$$ et $$7$$ est l’image de $$x$$

Explication

Par définition, xx est un antécédent de son image f(x)=7f(x)=7, tandis que 77 est l’image de xx. L’ensemble de définition est un ensemble de valeurs, et non l’un des deux nombres considérés ici.

3. Quel critère permet de vérifier qu’un point M(Xm,Ym)M(X_m,Y_m) appartient à la courbe représentative CfC_f ?

Vérifier que Ym=f(x)Y_m=f(x) pour un réel différent de XmX_m
Vérifier que f(Ym)=Xmf(Y_m)=X_m
Vérifier que f(Xm)=Ymf(X_m)=Y_m
Vérifier que Xm+YmX_m+Y_m appartient à DD

Vérifier que $$f(X_m)=Y_m$$

Explication

Un point appartient à CfC_f lorsque son ordonnée est l’image de son abscisse, c’est-à-dire lorsque f(Xm)=Ymf(X_m)=Y_m. Échanger les coordonnées testerait une autre relation et ne correspond pas au critère d’appartenance.

4. Laquelle des expressions définit un polynôme du second degré ?

P(x)=3x2−5x+1P(x)=3x^2-5x+1
P(x)=5x2+9P(x)=5x^2+9
P(x)=6x3−2x+1P(x)=6x^3-2x+1
P(x)=0x2+4x−7P(x)=0x^2+4x-7

$$P(x)=3x^2-5x+1$$

Explication

Un polynôme du second degré possède la forme ax2+bx+cax^2+bx+c avec a≠0a\ne0 ; ici, a=3a=3. Dans la deuxième expression, le coefficient de x2x^2 est nul, tandis que les autres expressions ont un degré différent ou inférieur à deux.

5. Pourquoi l’écriture développée, réduite et ordonnée d’une même fonction polynôme est-elle utile pour comparer deux expressions ?

Parce qu’elle transforme chaque polynôme en une fonction affine
Parce qu’elle est unique pour une fonction polynôme donnée
Parce qu’elle permet de supprimer le terme de degré deux
Parce qu’elle impose que tous les coefficients soient positifs

Parce qu’elle est unique pour une fonction polynôme donnée

Explication

Cette écriture est unique, ce qui permet d’identifier sans ambiguïté les coefficients d’une fonction polynôme. Elle ne modifie pas le degré du polynôme et n’impose aucune condition de signe aux coefficients.

6. Quelle est la forme canonique de P(x)=2x2+8x+3P(x)=2x^2+8x+3 ?

P(x)=2[(x−2)2+52]P(x)=2\left[(x-2)^2+\frac{5}{2}\right]
P(x)=2[(x+2)2−52]P(x)=2\left[(x+2)^2-\frac{5}{2}\right]
P(x)=2[(x+2)2+52]P(x)=2\left[(x+2)^2+\frac{5}{2}\right]
P(x)=2[(x+4)2−52]P(x)=2\left[(x+4)^2-\frac{5}{2}\right]

$$P(x)=2\left[(x+2)^2-\frac{5}{2}\right]$$

Explication

En appliquant la forme canonique, on obtient b2a=84=2\frac{b}{2a}=\frac{8}{4}=2 et b2−4ac4a2=64−2416=52\frac{b^2-4ac}{4a^2}=\frac{64-24}{16}=\frac{5}{2}. Le signe devant le carré est donc positif dans la parenthèse, tandis que la constante est soustraite.

7. Quelle expression calcule le discriminant de P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c ?

Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac
Δ=4ac−b2\Delta=4ac-b^2
Δ=b2−4ac4a2\Delta=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

$$\Delta=b^2-4ac$$

Explication

Le discriminant est défini par Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac. L’expression b2−4ac4a2\frac{b^2-4ac}{4a^2} intervient dans la forme canonique, mais elle n’est pas le discriminant lui-même.

8. Dans la forme canonique P(x)=a(x−α)2+βP(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, quelles sont les expressions de α\alpha et de β\beta ?

α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=P(α)=−b2+4ac4a\beta=P(\alpha)=\frac{-b^2+4ac}{4a}
α=b2a\alpha=\frac{b}{2a} et β=P(α)=b2−4ac4a\beta=P(\alpha)=\frac{b^2-4ac}{4a}
α=−ba\alpha=-\frac{b}{a} et β=P(α)=−b2+4ac2a\beta=P(\alpha)=\frac{-b^2+4ac}{2a}
α=ba\alpha=\frac{b}{a} et β=P(α)=b2+4ac4a\beta=P(\alpha)=\frac{b^2+4ac}{4a}

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=P(\alpha)=\frac{-b^2+4ac}{4a}$$

Explication

Le sommet de la parabole est associé à α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}, et sa seconde coordonnée vaut β=P(α)=−b2+4ac4a\beta=P(\alpha)=\frac{-b^2+4ac}{4a}. Le signe de α\alpha et les facteurs au dénominateur sont essentiels pour obtenir la bonne forme canonique.

9. Pour une équation du second degré dont le discriminant vérifie Δ>0\Delta>0, combien de solutions réelles possède-t-elle et comment s’expriment-elles ?

Deux solutions réelles, x1=−b−Δ2ax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x2=−b+Δ2ax_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Deux solutions réelles, x1=−b−Δ2ax_1=\frac{-b-\Delta}{2a} et x2=−b+Δ2ax_2=\frac{-b+\Delta}{2a}
Une solution réelle double, x=−b2ax=-\frac{b}{2a}
Aucune solution réelle, car la courbe ne rencontre pas l’axe des abscisses

Deux solutions réelles, $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Explication

Lorsque Δ>0\Delta>0, les deux valeurs distinctes obtenues avec Δ\sqrt{\Delta} sont les solutions réelles de l’équation. La solution double correspond au cas Δ=0\Delta=0, et non à un discriminant strictement positif.

10. Une équation du second degré vérifie Δ=0\Delta=0. Quelle solution réelle obtient-on ?

Aucune racine réelle, car le discriminant nul empêche toute intersection
Deux racines réelles distinctes égales à −b−Δ2a\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et −b+Δ2a\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Une racine réelle égale à −cb-\frac{c}{b}, issue du terme constant
Une racine réelle double égale à −b2a-\frac{b}{2a}

Une racine réelle double égale à $$-\frac{b}{2a}$$

Explication

Avec Δ=0\Delta=0, les deux racines se confondent et la valeur obtenue est x=−b2ax=-\frac{b}{2a}. L’absence de solution réelle caractérise plutôt le cas Δ<0\Delta<0.

11. Que peut-on conclure pour une équation du second degré lorsque Δ<0\Delta<0 ?

Elle possède deux racines réelles dont le produit vaut ca\frac{c}{a}
Elle admet deux solutions réelles distinctes calculées avec Δ\sqrt{\Delta}
Elle n’admet aucune solution réelle et sa courbe ne coupe pas l’axe des abscisses
Elle admet une solution réelle double située en −b2a-\frac{b}{2a}

Elle n’admet aucune solution réelle et sa courbe ne coupe pas l’axe des abscisses

Explication

Un discriminant négatif ne fournit aucune racine réelle, car sa racine carrée n’est pas réelle. Géométriquement, la courbe associée ne rencontre donc pas l’axe des abscisses.

12. Quelle identité développe correctement le carré d’une différence ?

(x−a)2=x2−2ax+a2(x-a)^2=x^2-2ax+a^2
(x−a)2=x2+2ax+a2(x-a)^2=x^2+2ax+a^2
(x−a)2=x2−ax+a2(x-a)^2=x^2-ax+a^2
(x−a)2=x2−a2(x-a)^2=x^2-a^2

$$(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$$

Explication

Le carré d’une différence contient le terme central négatif −2ax-2ax, ainsi que les carrés x2x^2 et a2a^2. Le terme central positif appartient au carré d’une somme.

13. Si aa et bb désignent les racines de P(x)=Ax2+Bx+CP(x)=Ax^2+Bx+C, quelles relations donnent leur somme et leur produit ?

a+b=BAa+b=\frac{B}{A} et a×b=−CAa\times b=-\frac{C}{A}
a+b=−BAa+b=-\frac{B}{A} et a×b=CAa\times b=\frac{C}{A}
a+b=−CAa+b=-\frac{C}{A} et a×b=BAa\times b=\frac{B}{A}
a+b=CAa+b=\frac{C}{A} et a×b=−BAa\times b=-\frac{B}{A}

$$a+b=-\frac{B}{A}$$ et $$a\times b=\frac{C}{A}$$

Explication

Pour un trinôme de coefficients AA, BB et CC, la somme des racines est l’opposé du quotient du coefficient linéaire par celui du carré, tandis que leur produit est le quotient du terme constant par ce même coefficient. La somme et le produit ne doivent donc pas être intervertis.

14. Quelle démarche permet de dresser le tableau de signe de P(x)=k(x−a)(x−b)P(x)=k(x-a)(x-b) ?

Calculer la somme des racines, puis attribuer ce signe à tout le polynôme
Comparer les valeurs de aa et bb sans examiner le signe de chaque facteur
Étudier le signe du seul facteur de degré deux, puis ignorer les deux racines
Étudier le signe de chaque facteur, puis combiner ces signes selon la règle du produit

Étudier le signe de chaque facteur, puis combiner ces signes selon la règle du produit

Explication

Le signe de P(x)P(x) résulte du produit des signes de kk, x−ax-a et x−bx-b sur les différents intervalles. Le signe d’un seul facteur ne suffit donc pas à déterminer celui du polynôme.

15. Pour un polynôme du second degré ayant deux solutions réelles et s’écrivant P(x)=k(x−a)(x−b)P(x)=k(x-a)(x-b) avec a<ba<b, comment se répartit son signe ?

Il change de signe à chaque extrémité, mais reste nul sur tout l’intervalle entre les racines
Il est du signe de kk à l’extérieur de [a,b][a,b] et du signe opposé entre aa et bb
Il est du signe opposé à kk à l’extérieur de [a,b][a,b] et du signe de kk entre les deux racines
Il conserve le signe de kk sur les trois intervalles séparés par les racines

Il est du signe de $$k$$ à l’extérieur de $$[a,b]$$ et du signe opposé entre $$a$$ et $$b$$

Explication

À l’extérieur des deux racines, les deux facteurs linéaires ont le même signe, tandis qu’entre elles ils ont des signes opposés. Le produit est donc du signe de kk à l’extérieur et du signe contraire à l’intérieur.

16. Pour le polynôme P(x)=kx2+bx+cP(x)=kx^2+bx+c, quelle expression donne l’abscisse α\alpha où la dérivée s’annule ?

α=−b2k\alpha=-\frac{b}{2k}
α=b2k\alpha=\frac{b}{2k}
α=b2−4kc4k\alpha=\frac{b^2-4kc}{4k}
α=−2kb\alpha=-\frac{2k}{b}

$$\alpha=-\frac{b}{2k}$$

Explication

La dérivée de PP vaut P′(x)=2kx+bP'(x)=2kx+b, et sa valeur nulle donne α=−b2k\alpha=-\frac{b}{2k}. L’expression contenant b2−4kcb^2-4kc correspond à une autre forme liée à la valeur de l’extremum, pas à son abscisse.

17. Pour P(x)=kx2+bx+cP(x)=kx^2+bx+c, que représente le couple de coordonnées de l’extremum local ?

(α,β)\left(\alpha,\beta\right) avec α=−b2k\alpha=-\frac{b}{2k} et β=P(α)\beta=P(\alpha)
(β,α)\left(\beta,\alpha\right) avec β=−b2k\beta=-\frac{b}{2k} et α=P(β)\alpha=P(\beta)
(c,α)\left(c,\alpha\right) avec c=P(α)c=P(\alpha) et α=−b2k\alpha=-\frac{b}{2k}
(k,b)\left(k,b\right) avec k=P(b)k=P(b) et b=P(k)b=P(k)

$$\left(\alpha,\beta\right)$$ avec $$\alpha=-\frac{b}{2k}$$ et $$\beta=P(\alpha)$$

Explication

L’abscisse de l’extremum est α=−b2k\alpha=-\frac{b}{2k}, tandis que son ordonnée est β=P(α)\beta=P(\alpha). Confondre α\alpha et β\beta revient à intervertir la position horizontale et la valeur du polynôme.

18. Une parabole définie par P(x)=kx2+bx+cP(x)=kx^2+bx+c avec k>0k>0 présente quel comportement autour de α=−b2k\alpha=-\frac{b}{2k} ?

Elle croît avant α\alpha, puis décroît après α\alpha, avec un maximum en α\alpha.
Elle décroît avant α\alpha et après α\alpha, avec un maximum en α\alpha.
Elle décroît avant α\alpha, puis croît après α\alpha, avec un minimum en α\alpha.
Elle croît avant α\alpha et après α\alpha, sans extremum local.

Elle décroît avant $$\alpha$$, puis croît après $$\alpha$$, avec un minimum en $$\alpha$$.

Explication

Lorsque k>0k>0, la dérivée est négative avant α\alpha et positive après, ce qui impose une décroissance suivie d’une croissance. Le changement de signe produit donc un minimum, et non un maximum.

19. Pour un polynôme P(x)=kx2+bx+cP(x)=kx^2+bx+c tel que k<0k<0, comment évolue PP de part et d’autre de α\alpha ?

Il croît avant α\alpha, puis décroît après α\alpha, ce qui donne un maximum en α\alpha.
Il décroît avant α\alpha, puis croît après α\alpha, ce qui donne un minimum en α\alpha.
Il croît avant α\alpha et après α\alpha, sans atteindre d’extremum local.
Il décroît avant α\alpha et après α\alpha, avec un minimum en α\alpha.

Il croît avant $$\alpha$$, puis décroît après $$\alpha$$, ce qui donne un maximum en $$\alpha$$.

Explication

Pour k<0k<0, la dérivée est positive avant α\alpha puis négative après, donc le polynôme augmente avant de diminuer. Cette variation correspond à un maximum local en α\alpha, tandis que le minimum décrit l’autre signe de kk.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 36 flashcards sur Fonctions polynômes du second degré.

Qu'est-ce qu'une fonction f définie sur un ensemble D ?

Une fonction associe à chaque x de D un unique réel f(x).

Que représente l'ensemble D pour une fonction f ?

D est l'ensemble de définition de f.

Comment appelle-t-on f(x) pour une fonction f ?

f(x) est l'image de x par f.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Fonctions polynômes du second degré.

Voir la fiche →

Cours similaires

Psychologie sociale appliquée aux APS

Cellule procaryote et structures bactériennes

SVT

Génome et information moléculaire

Écosystèmes et services écologiques

SVT

Introduction à la biologie cellulaire

Outils en épidémiologie

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM
QCM : Fonctions polynômes du second degré — 19 questions | Revizly