QCM : Fonctions polynômes du second degré — 20 questions

Question 1

1. Quelle condition distingue une fonction trinôme du second degré d’une fonction affine ?

Son terme constant est nécessairement nul

Son coefficient de

x

est nécessairement positif

Sa représentation graphique est une droite

Son coefficient de

x^2

est non nul

Explication

Une fonction trinôme du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , ce qui garantit la présence d’un terme en $x^2$ . Une fonction affine possède une représentation graphique droite, mais cette caractéristique ne définit pas un trinôme du second degré.

Answer

Son coefficient de $$x^2$$ est non nul

Question 2

2. Quelle est la représentation graphique d’une fonction trinôme du second degré dans un repère orthogonal ?

Une parabole dont le sommet est

S(\alpha\ ;\ \beta)

Un cercle dont le centre est

S(\alpha\ ;\ \beta)

Une hyperbole dont le sommet est

S(\beta\ ;\ \alpha)

Une droite dont l’ordonnée à l’origine est

\alpha

Explication

La courbe d’une fonction trinôme du second degré est une parabole, et son sommet possède pour coordonnées $S(\alpha\ ;\ \beta)$ . L’ordre des coordonnées est important : $\alpha$ représente l’abscisse et $\beta$ l’ordonnée.

Answer

Une parabole dont le sommet est $$S(\alpha\ ;\ \beta)$$

Question 3

3. Pour la fonction $f(x)=-3x^2+2x+1$ , dans quelle direction les branches de la parabole sont-elles dirigées ?

Vers le haut, car le terme constant est positif

Vers le haut, car le coefficient de

x^2

est non nul

Vers le bas, car le coefficient de

x^2

est négatif

Vers le bas, car le coefficient de

x

est positif

Explication

Le coefficient de $x^2$ vaut $a=-3$ , donc il est négatif et les branches de la parabole sont dirigées vers le bas. Le signe du terme constant ou du coefficient de $x$ ne détermine pas cette orientation.

Answer

Vers le bas, car le coefficient de $$x^2$$ est négatif

Question 4

4. Quelle information la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ permet-elle de lire directement ?

Le coefficient de

x

, égal à

\beta

Les coordonnées du sommet,

S(\alpha\ ;\ \beta)

L’ordonnée à l’origine, égale à

\alpha

Les deux racines,

x_1

et

x_2

Explication

Dans la forme canonique, le sommet de la parabole est directement donné par $S(\alpha\ ;\ \beta)$ . Les racines ne sont pas nécessairement visibles sous cette forme et doivent être déterminées par une autre méthode.

Answer

Les coordonnées du sommet, $$S(\alpha\ ;\ \beta)$$

Question 5

5. Pour $f(x)=2x^2-8x+5$ , quelle est l’abscisse du sommet ?

\alpha=-4

\alpha=4

\alpha=2

\alpha=-2

Explication

On applique $\alpha=\frac{-b}{2a}$ avec $a=2$ et $b=-8$ , d’où $\alpha=\frac{8}{4}=2$ . La valeur obtenue est une abscisse ; l’ordonnée du sommet serait ensuite calculée par $\beta=f(\alpha)$ .

Answer

$$\alpha=2$$

Question 6

6. Que peut-on déduire des variations d’une fonction $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ lorsque $a>0$ ?

Elle croît jusqu’à

\beta

, puis décroît, et admet le maximum

\alpha

Elle décroît jusqu’à

\alpha

, puis croît, et admet le minimum

\beta

Elle croît jusqu’à

\alpha

, puis décroît, et admet le maximum

\beta

Elle décroît jusqu’à

\beta

, puis croît, et admet le minimum

\alpha

Explication

Lorsque $a>0$ , la parabole est tournée vers le haut : la fonction décroît jusqu’à l’abscisse $\alpha$ , puis croît, et sa valeur minimale est $\beta$ . Le comportement avec un maximum correspond au cas $a<0$ .

Answer

Elle décroît jusqu’à $$\alpha$$, puis croît, et admet le minimum $$\beta$$

Question 7

7. Une fonction trinôme a un coefficient directeur du terme en $x^2$ négatif. Comment évolue-t-elle autour de l’abscisse $\alpha$ de son sommet ?

Elle décroît avant

\alpha

, puis croît après

\alpha

Elle croît avant

\alpha

, puis décroît après

\alpha

Elle décroît avant

\beta

, puis croît après

\beta

Elle croît avant

\beta

, puis décroît après

\beta

Explication

Si $a<0$ , les branches sont dirigées vers le bas : la fonction est croissante sur l’intervalle situé avant $\alpha$ , puis décroissante après $\alpha$ . La valeur $\beta$ est une ordonnée et non une abscisse déterminant les variations.

Answer

Elle croît avant $$\alpha$$, puis décroît après $$\alpha$$

Question 8

8. Comment définit-on une racine d’une fonction $f$ ?

Un nombre réel

x_0

tel que

f(x_0)=0

Un nombre réel

x_0

tel que

f(x_0)=1

L’abscisse du sommet de la parabole

L’image de zéro par la fonction,

f(0)

Explication

Une racine est un nombre réel $x_0$ dont l’image par la fonction est nulle, c’est-à-dire $f(x_0)=0$ . L’expression $f(0)$ désigne l’image de zéro et ne constitue pas en général une racine.

Answer

Un nombre réel $$x_0$$ tel que $$f(x_0)=0$$

Question 9

9. Quelle expression représente la forme factorisée d’un trinôme dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ ?

f(x)=a(x^2-x_1-x_2)

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

f(x)=a(x-x_1)+ (x-x_2)

Explication

Lorsqu’elle existe, la forme factorisée s’écrit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ , en utilisant directement les deux racines. Les signes moins garantissent que les facteurs s’annulent respectivement pour $x=x_1$ et $x=x_2$ .

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 10

10. Pour déterminer un trinôme connaissant ses deux racines et une valeur de la fonction, quelle démarche faut-il suivre ?

Développer une expression affine, calculer

c

, puis choisir les racines

Écrire la forme factorisée, calculer

a

avec la valeur connue, puis remplacer

a

Écrire la forme canonique, fixer

a=1

, puis utiliser une seule racine

Calculer le sommet, imposer

\beta=0

, puis déterminer les deux facteurs

Explication

On commence par poser $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ , puis on utilise la valeur connue de la fonction pour déterminer $a$ . Les autres démarches imposent des conditions qui ne découlent pas des informations disponibles, notamment $a=1$ ou $\beta=0$ .

Answer

Écrire la forme factorisée, calculer $$a$$ avec la valeur connue, puis remplacer $$a$$

Question 11

11. Pour le trinôme $f(x)=2x^2-10x+12$ , quelle est la somme de ses deux racines ?

5

-6

-5

6

Explication

La somme des racines vaut $-\frac{b}{a}$ ; ici, $-\frac{-10}{2}=5$ . Le produit, et non la somme, se calcule avec $\frac{c}{a}=6$ .

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Answer

Elle n’a aucune solution réelle.

Answer

$$x_0=-\frac{b}{2a}$$, une racine double

Answer

$$x_1=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$$ et $$x_2=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$$

Answer

Calculer $$\Delta$$, déterminer les racines selon son signe, puis écrire la forme factorisée.

Answer

$$7x(x-2)$$, avec les racines 0 et 2

Answer

Déterminer les racines, le sommet, la forme canonique, les variations, puis tracer la parabole

Answer

La forme canonique, car elle met directement en évidence le sommet et les variations

Question 12

12. Pour le trinôme $f(x)=3x^2+6x-9$ , quel est le produit de ses deux racines ?

-3

2

-2

3

Explication

Le produit des racines vaut $\frac{c}{a}$ ; dans ce cas, $\frac{-9}{3}=-3$ . La valeur $-2$ correspondrait à la somme $-\frac{b}{a}$ .

Question 13

13. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

\Delta=\frac{c}{a}

\Delta=b^2-4ac

\Delta=b^2+4ac

\Delta=\frac{-b}{2a}

Explication

Le discriminant est calculé par $\Delta=b^2-4ac$ . L’expression $-\frac{b}{2a}$ donne l’abscisse du sommet, tandis que $\frac{c}{a}$ concerne le produit des racines.

Question 14

14. Que peut-on conclure pour l’équation $x^2+2x+5=0$ , dont le discriminant est négatif ?

Elle possède une solution réelle double.

Elle possède deux solutions réelles distinctes.

Sa parabole coupe l’axe des abscisses en deux points.

Elle n’a aucune solution réelle.

Explication

Lorsque $\Delta<0$ , l’équation ne possède aucune solution réelle et la parabole ne rencontre pas l’axe des abscisses. Une racine double correspond au cas $\Delta=0$ .

Question 15

15. Si $\Delta=0$ pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle est la solution de l’équation ?

x_0=\frac{c}{a}

, une racine double

x_0=\frac{b}{2a}

, une racine simple

x_0=-\frac{b}{2a}

, une racine double

x_0=-\frac{b}{a}

, deux racines distinctes

Explication

Pour $\Delta=0$ , l’équation possède une solution unique donnée par $x_0=-\frac{b}{2a}$ , et cette solution est une racine double. La quantité $-\frac{b}{a}$ représente la somme des racines dans le cas général.

Question 16

16. Pour $2x^2-5x+1=0$ , quelles sont les solutions lorsque $\Delta>0$ ?

x_1=\frac{5-\sqrt{17}}{4}

et

x_2=\frac{5+\sqrt{17}}{4}

x_1=\frac{-5-\sqrt{17}}{4}

et

x_2=\frac{-5+\sqrt{17}}{4}

x_1=\frac{5-\sqrt{17}}{2}

et

x_2=\frac{5+\sqrt{17}}{2}

x_1=\frac{5-\sqrt{13}}{4}

et

x_2=\frac{5+\sqrt{13}}{4}

Explication

Ici, $\Delta=(-5)^2-4\times2\times1=17$ , donc les solutions sont $\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$ . Les autres expressions comportent une erreur de signe, de discriminant ou de dénominateur.

Question 17

17. Quelles étapes permettent de factoriser un trinôme par la méthode du discriminant ?

Calculer

\Delta

, déterminer les racines selon son signe, puis écrire la forme factorisée.

Chercher le facteur commun, développer les facteurs, puis vérifier leur somme.

Calculer le sommet, trouver l’ordonnée correspondante, puis supprimer le terme constant.

Identifier une identité remarquable, extraire un coefficient, puis comparer les coefficients.

Explication

La méthode consiste à calculer $\Delta$ , à déterminer les racines en fonction de son signe, puis à construire la forme factorisée correspondante. La recherche d’un facteur commun ou d’une identité remarquable relève d’autres méthodes de factorisation.

Question 18

18. Quelle factorisation et quelles racines correspondent à $f(x)=7x^2-14x$ ?

7(x+2)

, avec les racines 0 et -2

x(7x-14)

, avec la racine double 7

7x(x-2)

, avec les racines 0 et 2

7(x-2)^2

, avec la racine double 2

Explication

Le facteur commun $7x$ donne $f(x)=7x(x-2)$ , d’où les racines 0 et 2. L’écriture $7(x-2)^2$ modifierait le coefficient du terme en $x$ et introduirait une racine double qui ne convient pas.

Question 19

19. Pour étudier complètement le trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle démarche est la plus pertinente ?

Développer la forme canonique, supprimer le terme quadratique, puis étudier une fonction constante

Déterminer les racines, le sommet, la forme canonique, les variations, puis tracer la parabole

Repérer l’ordonnée à l’origine, résoudre une inéquation, puis tracer une droite affine

Calculer la dérivée, chercher une asymptote, puis représenter une courbe hyperbolique

Explication

Une étude complète d’un trinôme combine les racines, le sommet, la forme canonique, les variations et la représentation graphique, en choisissant la forme adaptée à chaque calcul. La recherche d’une asymptote et l’étude d’une hyperbole concernent d’autres types de fonctions.

Question 20

20. Pour trouver rapidement les coordonnées du sommet et le sens des variations d’un trinôme déjà factorisé, quelle forme est la plus adaptée ?

Le tableau de signes, car il remplace l’expression algébrique du trinôme

La forme développée, car elle fournit immédiatement les intersections avec l’axe des ordonnées

La forme canonique, car elle met directement en évidence le sommet et les variations

La forme factorisée, car elle donne directement les coordonnées du sommet

Explication

La forme canonique met en évidence l’abscisse et l’ordonnée du sommet et facilite l’étude des variations. La forme factorisée est plutôt adaptée à la détermination des racines et des intersections avec l’axe des abscisses.

QCM : Fonctions polynômes du second degré — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition distingue une fonction trinôme du second degré d’une fonction affine ?

2. Quelle est la représentation graphique d’une fonction trinôme du second degré dans un repère orthogonal ?

3. Pour la fonction $f(x)=-3x^2+2x+1$ , dans quelle direction les branches de la parabole sont-elles dirigées ?

4. Quelle information la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ permet-elle de lire directement ?

5. Pour $f(x)=2x^2-8x+5$ , quelle est l’abscisse du sommet ?

6. Que peut-on déduire des variations d’une fonction $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ lorsque $a>0$ ?

7. Une fonction trinôme a un coefficient directeur du terme en $x^2$ négatif. Comment évolue-t-elle autour de l’abscisse $\alpha$ de son sommet ?

8. Comment définit-on une racine d’une fonction $f$ ?

9. Quelle expression représente la forme factorisée d’un trinôme dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ ?

10. Pour déterminer un trinôme connaissant ses deux racines et une valeur de la fonction, quelle démarche faut-il suivre ?

11. Pour le trinôme $f(x)=2x^2-10x+12$ , quelle est la somme de ses deux racines ?

12. Pour le trinôme $f(x)=3x^2+6x-9$ , quel est le produit de ses deux racines ?

13. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

14. Que peut-on conclure pour l’équation $x^2+2x+5=0$ , dont le discriminant est négatif ?

15. Si $\Delta=0$ pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle est la solution de l’équation ?

16. Pour $2x^2-5x+1=0$ , quelles sont les solutions lorsque $\Delta>0$ ?

17. Quelles étapes permettent de factoriser un trinôme par la méthode du discriminant ?

18. Quelle factorisation et quelles racines correspondent à $f(x)=7x^2-14x$ ?

19. Pour étudier complètement le trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle démarche est la plus pertinente ?

20. Pour trouver rapidement les coordonnées du sommet et le sens des variations d’un trinôme déjà factorisé, quelle forme est la plus adaptée ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition distingue une fonction trinôme du second degré d’une fonction affine ?

2. Quelle est la représentation graphique d’une fonction trinôme du second degré dans un repère orthogonal ?

3. Pour la fonction f(x)=−3x2+2x+1f(x)=-3x^2+2x+1f(x)=−3x2+2x+1, dans quelle direction les branches de la parabole sont-elles dirigées ?

4. Quelle information la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β permet-elle de lire directement ?

5. Pour f(x)=2x2−8x+5f(x)=2x^2-8x+5f(x)=2x2−8x+5, quelle est l’abscisse du sommet ?

6. Que peut-on déduire des variations d’une fonction f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β lorsque a>0a>0a>0 ?

7. Une fonction trinôme a un coefficient directeur du terme en x2x^2x2 négatif. Comment évolue-t-elle autour de l’abscisse α\alphaα de son sommet ?

8. Comment définit-on une racine d’une fonction fff ?

9. Quelle expression représente la forme factorisée d’un trinôme dont les racines sont x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ?

10. Pour déterminer un trinôme connaissant ses deux racines et une valeur de la fonction, quelle démarche faut-il suivre ?

11. Pour le trinôme f(x)=2x2−10x+12f(x)=2x^2-10x+12f(x)=2x2−10x+12, quelle est la somme de ses deux racines ?

12. Pour le trinôme f(x)=3x2+6x−9f(x)=3x^2+6x-9f(x)=3x2+6x−9, quel est le produit de ses deux racines ?

13. Quelle expression définit le discriminant du trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

14. Que peut-on conclure pour l’équation x2+2x+5=0x^2+2x+5=0x2+2x+5=0, dont le discriminant est négatif ?

15. Si Δ=0\Delta=0Δ=0 pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, quelle est la solution de l’équation ?

16. Pour 2x2−5x+1=02x^2-5x+1=02x2−5x+1=0, quelles sont les solutions lorsque Δ>0\Delta>0Δ>0 ?

17. Quelles étapes permettent de factoriser un trinôme par la méthode du discriminant ?

18. Quelle factorisation et quelles racines correspondent à f(x)=7x2−14xf(x)=7x^2-14xf(x)=7x2−14x ?

19. Pour étudier complètement le trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, quelle démarche est la plus pertinente ?

20. Pour trouver rapidement les coordonnées du sommet et le sens des variations d’un trinôme déjà factorisé, quelle forme est la plus adaptée ?

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3. Pour la fonction $f(x)=-3x^2+2x+1$ , dans quelle direction les branches de la parabole sont-elles dirigées ?

4. Quelle information la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ permet-elle de lire directement ?

5. Pour $f(x)=2x^2-8x+5$ , quelle est l’abscisse du sommet ?

6. Que peut-on déduire des variations d’une fonction $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ lorsque $a>0$ ?

7. Une fonction trinôme a un coefficient directeur du terme en $x^2$ négatif. Comment évolue-t-elle autour de l’abscisse $\alpha$ de son sommet ?

8. Comment définit-on une racine d’une fonction $f$ ?

9. Quelle expression représente la forme factorisée d’un trinôme dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ ?

11. Pour le trinôme $f(x)=2x^2-10x+12$ , quelle est la somme de ses deux racines ?

12. Pour le trinôme $f(x)=3x^2+6x-9$ , quel est le produit de ses deux racines ?

13. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

14. Que peut-on conclure pour l’équation $x^2+2x+5=0$ , dont le discriminant est négatif ?

15. Si $\Delta=0$ pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle est la solution de l’équation ?

16. Pour $2x^2-5x+1=0$ , quelles sont les solutions lorsque $\Delta>0$ ?

18. Quelle factorisation et quelles racines correspondent à $f(x)=7x^2-14x$ ?

19. Pour étudier complètement le trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle démarche est la plus pertinente ?