Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Trinôme et représentation graphique
2. Forme canonique et variations
3. Racines et forme factorisée
4. Somme et produit des racines
5. Discriminant et résolution
6. Factorisations usuelles
7. Exercice type de synthèse

📖 1. Trinôme et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction trinôme du second degré : fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont des réels et où $a\ne0$

★ À maîtriser

• Dans un repère orthogonal, la représentation graphique d’une fonction trinôme du second degré est une parabole dont le sommet est le point S(α ; β).

📌 Si a est strictement positif, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, tandis que si a est strictement négatif, elles sont dirigées vers le bas.

Compléments

• La parabole coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; c), donc c est l’ordonnée à l’origine.

💡 Astuce mémo

a > 0 : U vers le haut ; a < 0 : ∩ vers le bas

📖 2. Forme canonique et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où α est l’abscisse du sommet et β son ordonnée

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, l’abscisse du sommet vérifie $\alpha=\frac{-b}{2a}$ et son ordonnée est $\beta=f(\alpha)$.

📌 Si a > 0, la fonction est décroissante sur ]−∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[, et β est son minimum.

📌 Si a < 0, la fonction est croissante sur ]−∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[, et β est son maximum.

Compléments

• L’axe de symétrie vertical de la parabole a pour équation x=α.

💡 Astuce mémo

Le signe de a → le sens des branches → le minimum ou maximum

📖 3. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : un nombre réel x₀ tel que f(x₀)=0
• Forme factorisée : Lorsqu’elle existe, la forme factorisée d’un trinôme est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où x₁ et x₂ sont ses racines

★ À maîtriser

• Les racines x₁ et x₂ sont les antécédents de 0 et les abscisses des points où la parabole coupe l’axe des abscisses.

Compléments

• Pour déterminer une forme factorisée à partir de deux racines et d’une valeur, on écrit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, on utilise la valeur connue pour calculer a, puis on remplace a dans l’expression.

💡 Astuce mémo

Les racines sont les deux points où la parabole touche ou coupe l’axe des abscisses

📖 4. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $f(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, alors la somme des racines vérifie $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$.

📐 Formule — Si $f(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, alors le produit des racines vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

📌 Les propriétés de somme et de produit sont particulièrement utiles lorsqu’une des deux racines est évidente.

💡 Astuce mémo

Somme S = −b/a, produit P = c/a

📖 5. Discriminant et résolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ est le réel $\Delta=b^2-4ac$

📝 Points essentiels

📌 Si Δ < 0, l’équation du second degré n’a aucune solution réelle et la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses.

📐 Formule — Si Δ = 0, l’équation possède une solution unique $x_0=\frac{-b}{2a}$, qui est une racine double.

📐 Formule — Si Δ > 0, l’équation possède deux solutions $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : aucune racine ; Δ = 0 : racine double ; Δ > 0 : deux racines

📖 6. Factorisations usuelles

★ À maîtriser

• Pour factoriser par la méthode du discriminant, on calcule Δ, on détermine les racines selon le signe de Δ, puis on écrit la forme factorisée correspondante.

Compléments

• La fonction $f(x)=7x^2-14x$ se factorise par facteur commun en $f(x)=7x(x-2)$, avec pour racines 0 et 2.

• La fonction $g(x)=4x^2+8x+4$ se factorise avec une identité remarquable en $g(x)=4(x+1)^2$ et possède une racine double égale à −1.

💡 Astuce mémo

Facteur commun → identité remarquable → discriminant

📖 7. Exercice type de synthèse

★ À maîtriser

• 🔄 L’étude complète d’un trinôme suit cette démarche:

  1. Déterminer les racines
  2. Calculer le sommet
  3. Établir la forme canonique et le tableau de variations
  4. Choisir la forme adaptée aux calculs
  5. Tracer la parabole

• Pour $f(x)=x^2-4x+3$, les racines sont 1 et 3, le sommet est S(2 ; −1), et la forme canonique est $f(x)=(x-2)^2-1$.

Compléments

• Pour $f(x)=x^2-4x+3$, l’image de 5 et l’image de −1 valent toutes deux 8.

• Les antécédents de 3 par $f(x)=x^2-4x+3$ sont 0 et 4, car l’équation f(x)=3 équivaut à $x(x-4)=0$.

💡 Astuce mémo

Racines → sommet → formes → images et antécédents → parabole

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et racines