Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme développée et racines
2. Forme factorisée et racines
3. Forme canonique et sommet
4. Discriminant et résolution
5. Variations et parabole
6. Intersections avec les axes
7. Signe du polynôme

📖 1. Forme développée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par f(x)=ax²+bx+c, où a, b et c sont réels et a ≠ 0.
• Racine : Réel x₁ tel que f(x₁)=0, c’est-à-dire une solution de l’équation f(x)=0.

📝 Points essentiels

• L’écriture f(x)=ax²+bx+c est la forme développée et a, b et c sont les coefficients de la fonction.

📖 2. Forme factorisée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : Écriture f(x)=a(x−x₁)(x−x₂), avec a ≠ 0, d’un polynôme du second degré.

★ À maîtriser

• Si f(x)=a(x−x₁)(x−x₂) avec a ≠ 0, alors x₁ et x₂ sont des racines de f.

📌 Si un polynôme du second degré admet x₁ et x₂ pour racines, il s’écrit f(x)=a(x−x₁)(x−x₂), avec a ≠ 0.

📐 Formule - Pour les racines x₁ et x₂ d’un polynôme f(x)=ax²+bx+c, leur somme et leur produit vérifient $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Connaissant une racine et le produit des racines, on obtient l’autre racine en divisant le produit par la racine connue.

📖 3. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme du second degré est f(x)=a(x−α)²+β, où α=−b/(2a) et β=f(α).

★ À maîtriser

• Dans la forme canonique f(x)=a(x−α)²+β, le sommet de la parabole représentative a pour coordonnées S(α ; β).

• Dans la forme canonique, la droite d’équation x=α est l’axe de symétrie de la parabole.

Compléments

📐 Formule - Pour f(x)=ax²+bx+c, le paramètre de la forme canonique est $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

📖 4. Discriminant et résolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Nombre réel Δ=b²−4ac associé au trinôme ax²+bx+c, avec a ≠ 0.

★ À maîtriser

📌 Pour ax²+bx+c=0, si Δ<0 l’équation n’a aucune solution réelle, si Δ=0 elle a une solution réelle x₀=−b/(2a), et si Δ>0 elle a deux solutions distinctes x₁=(−b−√Δ)/(2a) et x₂=(−b+√Δ)/(2a).

Compléments

📌 Si Δ<0, le trinôme ax²+bx+c ne peut pas s’écrire sous forme factorisée sur ℝ.

📐 Formule - Si Δ=0 et x₀=−b/(2a), alors $ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2$.

📐 Formule - Si Δ>0 et si x₁ et x₂ sont les deux racines, alors $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ, puis distinguer Δ < 0, Δ = 0 et Δ > 0.

📖 5. Variations et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Courbe représentative de f(x)=ax²+bx+c, avec a ≠ 0, dans un repère orthogonal, d’équation y=ax²+bx+c.

★ À maîtriser

📌 Si a>0, f admet un minimum β atteint pour x=α, et elle est décroissante jusqu’à α puis croissante après α.

📌 Si a<0, f admet un maximum β atteint pour x=α, et elle est croissante jusqu’à α puis décroissante après α.

Compléments

• La parabole est orientée vers le haut si a>0 et vers le bas si a<0.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum et parabole vers le haut ; a < 0 : maximum et parabole vers le bas.

📖 6. Intersections avec les axes

★ À maîtriser

• La parabole d’équation y=ax²+bx+c coupe l’axe des ordonnées au point C(0 ; c).

📌 La parabole coupe l’axe des abscisses en deux points si Δ>0, lui est tangente en un point si Δ=0 et ne le coupe pas si Δ<0.

Compléments

• Si deux nombres x₃ et x₄ ont la même image par f, alors α=(x₃+x₄)/2 et β=f(α).

📖 7. Signe du polynôme

📝 Points essentiels

• Si Δ<0, f(x) est du signe de a pour tout réel x.

• Si Δ=0, f(x) est du signe de a et s’annule en x₀=−b/(2a).

• Si Δ>0, f(x) est du signe de a à l’extérieur des deux racines et du signe opposé entre elles.

💡 Astuce mémo

Le signe de a prévaut partout si Δ ≤ 0 ; avec deux racines, il s’inverse entre elles.