QCM : Fonctions polynômes du second degré (19 questions)

Question 1

1. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré sur ℝ ?

f(x)=ax+b

, avec

a,b\in\mathbb{R}

et

a\neq 0

f(x)=ax^3+bx^2+c

, avec

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a\neq 0

f(x)=ax^2+bx+c

, avec

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a\neq 0

f(x)=ax^2+c

, avec

a,c\in\mathbb{R}

et

a=0

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ , avec des coefficients réels et un coefficient $a$ non nul. Une expression de degré un ne définit pas une fonction du second degré.

Answer

$$f(x)=ax^2+bx+c$$, avec $$a,b,c\in\mathbb{R}$$ et $$a\neq 0$$

Question 2

2. Si $f(3)=0$ , que désigne le nombre 3 ?

Le coefficient constant de

f

, car il indique où la fonction s’annule

L’image de 3 par

f

, car cette image est égale à zéro

Une racine de

f

, car c’est une valeur de

x

qui annule la fonction

Le coefficient dominant de

f

, car il détermine l’équation des racines

Explication

Le nombre 3 est une racine parce que la valeur de la fonction en 3 est nulle. L’image de 3 est $f(3)$ , soit 0, et non le nombre 3 lui-même.

Answer

Une racine de $$f$$, car c’est une valeur de $$x$$ qui annule la fonction

Question 3

3. Laquelle de ces expressions est une forme factorisée d’un polynôme du second degré ?

f(x)=ax^2+bx+c

, avec

a\neq 0

f(x)=a(x-x_1)+x_2

, avec

a\neq 0

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

, avec

a\neq 0

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

, avec

a\neq 0

Explication

La forme factorisée est le produit d’un coefficient non nul par deux facteurs linéaires, $a(x-x_1)(x-x_2)$ . L’expression $ax^2+bx+c$ est la forme développée.

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$, avec $$a\neq 0$$

Question 4

4. Une fonction est donnée par $f(x)=5(x+2)(x-4)$ . Quelles valeurs sont des racines de $f$ ?

-2

et

-4

-5

et

5

-2

et

4

2

et

-4

Explication

Dans la forme factorisée, les racines annulent l’un des facteurs : $x+2=0$ donne $x=-2$ et $x-4=0$ donne $x=4$ . Les valeurs opposées aux racines obtenues en résolvant ces équations ne conviennent pas.

Answer

$$-2$$ et $$4$$

Question 5

5. Un polynôme du second degré a pour coefficients $a=2$ , $b=-6$ et $c=4$ . Quelle paire donne la somme puis le produit de ses racines ?

Somme

3

et produit

-2

Somme

2

et produit

3

Somme

3

et produit

2

Somme

-3

et produit

2

Explication

La somme vaut $-b/a=3$ et le produit vaut $c/a=2$ . Intervertir ces formules attribuerait à la somme le rapport correspondant au produit et inversement.

Answer

Somme $$3$$ et produit $$2$$

Question 6

6. Les racines d’un polynôme sont 3 et une racine inconnue, et leur produit vaut 12. Quelle est la racine inconnue ?

15

36

9

4

Explication

Le produit des deux racines vaut 12, donc la racine inconnue est $12/3=4$ . La valeur 9 correspondrait à une différence de 12 avec la racine connue, pas au produit indiqué.

Answer

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$, avec $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=f(\alpha)$$

Answer

$$S(3\,;\,-5)$$

Answer

$$b^2-4ac$$

Answer

L’équation possède une solution réelle, $$x_0=-\frac{b}{2a}$$.

Answer

Elle décroît jusqu’à $$\alpha$$, atteint le minimum $$\beta$$, puis croît.

Answer

C’est un maximum; la fonction croît jusqu’à $$\alpha$$, puis décroît.

Answer

Une parabole d’équation $$y=ax^2+bx+c$$.

Answer

Au point $$C(0;c)$$.

Answer

Un point, où la parabole est tangente à l’axe.

Answer

Le signe de son coefficient directeur a sur tout réel.

Answer

Il garde le signe de a et s’annule en $$x_0=-\frac{b}{2a}$$.

Answer

Il a le signe de a à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles.

Question 7

7. Quelle expression présente la forme canonique d’un polynôme du second degré et définit ses paramètres ?

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

, avec

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=f(0)

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

, avec

\alpha=-\frac{b}{a}

et

\beta=f(\alpha)

f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)

, avec

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=f(\alpha)

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

, avec

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=f(\alpha)

Explication

La forme canonique s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$ , où $\alpha=-b/(2a)$ et $\beta=f(\alpha)$ . La quantité $f(0)$ est la valeur de la fonction en zéro, pas la définition générale de $\beta$ .

Question 8

8. La fonction $f(x)=2(x-3)^2-5$ est écrite sous forme canonique. Quelles sont les coordonnées du sommet de sa parabole ?

S(-3\,;\,-5)

S(-5\,;\,3)

S(3\,;\,5)

S(3\,;\,-5)

Explication

Dans la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$ , le sommet a pour coordonnées $S(\alpha\,;\,\beta)$ ; ici, il s’agit donc de $S(3\,;\,-5)$ . Le signe devant 3 dans le facteur ne change pas le fait que $\alpha=3$ .

Question 9

9. Pour une parabole de forme canonique $f(x)=a(x-4)^2+7$ , quelle équation décrit son axe de symétrie ?

y=7

x=7

y=4

x=4

Explication

L’axe de symétrie d’une parabole en forme canonique est la droite verticale $x=\alpha$ ; ici, $\alpha=4$ . Le nombre 7 donne l’ordonnée du sommet et ne définit pas l’axe.

Question 10

10. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ , avec $a\ne 0$ ?

b^2+4ac

4ac-b^2

b^2-4ac

a^2-4bc

Explication

Le discriminant se calcule en soustrayant $4ac$ de $b^2$ . L’expression $b^2+4ac$ additionne ces termes et ne correspond donc pas à sa définition.

Question 11

11. Pour $ax^2+bx+c=0$ , avec $a\ne 0$ , que peut-on conclure lorsque $\Delta=0$ ?

L’équation possède deux solutions réelles distinctes données par la formule avec

\sqrt{\Delta}

.

L’équation possède une solution réelle égale à

\frac{b}{2a}

.

L’équation possède une solution réelle,

x_0=-\frac{b}{2a}

.

L’équation ne possède aucune solution réelle.

Explication

Lorsque le discriminant est nul, les deux racines se confondent en une solution réelle, $x_0=-\frac{b}{2a}$ . Deux solutions distinctes correspondent au cas où le discriminant est strictement positif.

Question 12

12. Une fonction quadratique a un coefficient $a>0$ et son sommet est $S(\alpha;\beta)$ . Quel comportement décrit ses variations ?

Elle décroît jusqu’à

\alpha

, atteint le maximum

\beta

, puis croît.

Elle décroît jusqu’à

\alpha

, atteint le minimum

\beta

, puis croît.

Elle croît jusqu’à

\alpha

, atteint le maximum

\beta

, puis décroît.

Elle croît jusqu’à

\alpha

, atteint le minimum

\beta

, puis décroît.

Explication

Avec un coefficient positif, la fonction décroît avant l’abscisse du sommet et croît ensuite, de sorte que $\beta$ est son minimum. Le maximum décrit plutôt le cas d’un coefficient négatif.

Question 13

13. Si $a<0$ pour une fonction quadratique dont le sommet est $S(\alpha;\beta)$ , quelle est la nature de $\beta$ et comment varie la fonction ?

C’est un maximum; la fonction décroît jusqu’à

\alpha

, puis croît.

C’est un maximum; la fonction croît jusqu’à

\alpha

, puis décroît.

C’est un minimum; la fonction décroît jusqu’à

\alpha

, puis croît.

C’est un minimum; la fonction croît jusqu’à

\alpha

, puis décroît.

Explication

Lorsque $a<0$ , la fonction atteint son maximum $\beta$ en $x=\alpha$ ; elle croît avant ce point et décroît après. Un minimum avec ces variations correspond au cas où le coefficient est positif.

Question 14

14. Dans un repère orthogonal, quelle est la courbe représentative de $f(x)=ax^2+bx+c$ lorsque $a\ne 0$ ?

Une droite d’équation

y=ax+b+c

.

Un cercle d’équation

y=ax^2+bx+c

.

Une hyperbole d’équation

y=ax^2+bx+c

.

Une parabole d’équation

y=ax^2+bx+c

.

Explication

La représentation graphique de cette fonction du second degré est une parabole dont l’équation est $y=ax^2+bx+c$ . Une droite est associée à une expression affine, et non à ce trinôme.

Question 15

15. Où la parabole $y=ax^2+bx+c$ coupe-t-elle l’axe des ordonnées ?

Au point

C(0;a)

.

Au point

C(0;c)

.

Au point

C(0;b)

.

Au point

C(c;0)

.

Explication

Sur l’axe des ordonnées, l’abscisse est nulle; en posant $x=0$ , on obtient $y=c$ . Le point $C(c;0)$ appartient plutôt à l’axe des abscisses.

Question 16

16. Combien de points d’intersection la parabole a-t-elle avec l’axe des abscisses lorsque $\Delta=0$ ?

Un point de croisement où la parabole traverse l’axe.

Un point, où la parabole est tangente à l’axe.

Aucun point, car la parabole reste au-dessus de l’axe.

Deux points distincts où la parabole traverse l’axe.

Explication

Un discriminant nul correspond à une racine réelle double : la parabole est tangente à l’axe des abscisses en un point. Deux intersections distinctes apparaissent lorsque le discriminant est positif.

Question 17

17. Pour un trinôme du second degré de discriminant négatif, quel est le signe de son polynôme sur l’ensemble des réels ?

Le signe de son coefficient directeur a sur tout réel.

Le signe opposé à celui de son coefficient directeur a sur tout réel.

Le signe opposé à celui de son coefficient directeur a entre deux racines réelles.

Le signe de son coefficient directeur a à l’extérieur de deux racines réelles.

Explication

Avec un discriminant négatif, le trinôme ne possède pas de racine réelle et son signe reste celui de a pour tout réel. Le signe opposé entre deux racines concerne le cas où le discriminant est positif.

Question 18

18. Un trinôme a un discriminant nul et son unique racine est $x_0=-\frac{b}{2a}$ . Que peut-on dire de son signe et de cette racine ?

Il change de signe en

x_0=-\frac{b}{2a}

et possède une seconde racine distincte.

Il garde le signe opposé à a et s’annule en

x_0=-\frac{b}{2a}

.

Il garde le signe de a et s’annule en

x_0=-\frac{b}{2a}

.

Il garde le signe de a et s’annule en

x_0=-\frac{b}{a}

.

Explication

Lorsque le discriminant est nul, le trinôme a une racine double en $x_0=-\frac{b}{2a}$ et son signe est celui de a. Un changement de signe entre deux racines distinctes correspond au cas d’un discriminant positif.

Question 19

19. Pour un trinôme dont le discriminant est positif et les racines réelles sont distinctes, comment son signe se répartit-il ?

Il a le signe de a sur les trois intervalles délimités par les racines.

Il a le signe opposé à a sur les trois intervalles délimités par les racines.

Il a le signe de a à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles.

Il a le signe opposé à a à l’extérieur des racines et le signe de a entre elles.

Explication

Avec deux racines réelles distinctes, le trinôme a le signe de a à l’extérieur de celles-ci et le signe opposé entre elles. L’affirmation inverse les signes extérieur et intérieur.

QCM : Fonctions polynômes du second degré (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré sur ℝ ?

2. Si $f(3)=0$ , que désigne le nombre 3 ?

3. Laquelle de ces expressions est une forme factorisée d’un polynôme du second degré ?

4. Une fonction est donnée par $f(x)=5(x+2)(x-4)$ . Quelles valeurs sont des racines de $f$ ?

5. Un polynôme du second degré a pour coefficients $a=2$ , $b=-6$ et $c=4$ . Quelle paire donne la somme puis le produit de ses racines ?

6. Les racines d’un polynôme sont 3 et une racine inconnue, et leur produit vaut 12. Quelle est la racine inconnue ?

7. Quelle expression présente la forme canonique d’un polynôme du second degré et définit ses paramètres ?

8. La fonction $f(x)=2(x-3)^2-5$ est écrite sous forme canonique. Quelles sont les coordonnées du sommet de sa parabole ?

9. Pour une parabole de forme canonique $f(x)=a(x-4)^2+7$ , quelle équation décrit son axe de symétrie ?

10. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ , avec $a\ne 0$ ?

11. Pour $ax^2+bx+c=0$ , avec $a\ne 0$ , que peut-on conclure lorsque $\Delta=0$ ?

12. Une fonction quadratique a un coefficient $a>0$ et son sommet est $S(\alpha;\beta)$ . Quel comportement décrit ses variations ?

13. Si $a<0$ pour une fonction quadratique dont le sommet est $S(\alpha;\beta)$ , quelle est la nature de $\beta$ et comment varie la fonction ?

14. Dans un repère orthogonal, quelle est la courbe représentative de $f(x)=ax^2+bx+c$ lorsque $a\ne 0$ ?

15. Où la parabole $y=ax^2+bx+c$ coupe-t-elle l’axe des ordonnées ?

16. Combien de points d’intersection la parabole a-t-elle avec l’axe des abscisses lorsque $\Delta=0$ ?

17. Pour un trinôme du second degré de discriminant négatif, quel est le signe de son polynôme sur l’ensemble des réels ?

18. Un trinôme a un discriminant nul et son unique racine est $x_0=-\frac{b}{2a}$ . Que peut-on dire de son signe et de cette racine ?

19. Pour un trinôme dont le discriminant est positif et les racines réelles sont distinctes, comment son signe se répartit-il ?

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Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré sur ℝ ?

2. Si f(3)=0f(3)=0f(3)=0, que désigne le nombre 3 ?

3. Laquelle de ces expressions est une forme factorisée d’un polynôme du second degré ?

4. Une fonction est donnée par f(x)=5(x+2)(x−4)f(x)=5(x+2)(x-4)f(x)=5(x+2)(x−4). Quelles valeurs sont des racines de fff ?

5. Un polynôme du second degré a pour coefficients a=2a=2a=2, b=−6b=-6b=−6 et c=4c=4c=4. Quelle paire donne la somme puis le produit de ses racines ?

6. Les racines d’un polynôme sont 3 et une racine inconnue, et leur produit vaut 12. Quelle est la racine inconnue ?

7. Quelle expression présente la forme canonique d’un polynôme du second degré et définit ses paramètres ?

8. La fonction f(x)=2(x−3)2−5f(x)=2(x-3)^2-5f(x)=2(x−3)2−5 est écrite sous forme canonique. Quelles sont les coordonnées du sommet de sa parabole ?

9. Pour une parabole de forme canonique f(x)=a(x−4)2+7f(x)=a(x-4)^2+7f(x)=a(x−4)2+7, quelle équation décrit son axe de symétrie ?

10. Quelle expression définit le discriminant du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c, avec a≠0a\ne 0a=0 ?

11. Pour ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0, avec a≠0a\ne 0a=0, que peut-on conclure lorsque Δ=0\Delta=0Δ=0 ?

12. Une fonction quadratique a un coefficient a>0a>0a>0 et son sommet est S(α;β)S(\alpha;\beta)S(α;β). Quel comportement décrit ses variations ?

13. Si a<0a<0a<0 pour une fonction quadratique dont le sommet est S(α;β)S(\alpha;\beta)S(α;β), quelle est la nature de β\betaβ et comment varie la fonction ?

14. Dans un repère orthogonal, quelle est la courbe représentative de f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c lorsque a≠0a\ne 0a=0 ?

15. Où la parabole y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c coupe-t-elle l’axe des ordonnées ?

16. Combien de points d’intersection la parabole a-t-elle avec l’axe des abscisses lorsque Δ=0\Delta=0Δ=0 ?

17. Pour un trinôme du second degré de discriminant négatif, quel est le signe de son polynôme sur l’ensemble des réels ?

18. Un trinôme a un discriminant nul et son unique racine est x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}x0​=−2ab​. Que peut-on dire de son signe et de cette racine ?

19. Pour un trinôme dont le discriminant est positif et les racines réelles sont distinctes, comment son signe se répartit-il ?

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4. Une fonction est donnée par $f(x)=5(x+2)(x-4)$ . Quelles valeurs sont des racines de $f$ ?

5. Un polynôme du second degré a pour coefficients $a=2$ , $b=-6$ et $c=4$ . Quelle paire donne la somme puis le produit de ses racines ?

8. La fonction $f(x)=2(x-3)^2-5$ est écrite sous forme canonique. Quelles sont les coordonnées du sommet de sa parabole ?

9. Pour une parabole de forme canonique $f(x)=a(x-4)^2+7$ , quelle équation décrit son axe de symétrie ?

10. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ , avec $a\ne 0$ ?

11. Pour $ax^2+bx+c=0$ , avec $a\ne 0$ , que peut-on conclure lorsque $\Delta=0$ ?

12. Une fonction quadratique a un coefficient $a>0$ et son sommet est $S(\alpha;\beta)$ . Quel comportement décrit ses variations ?

13. Si $a<0$ pour une fonction quadratique dont le sommet est $S(\alpha;\beta)$ , quelle est la nature de $\beta$ et comment varie la fonction ?

14. Dans un repère orthogonal, quelle est la courbe représentative de $f(x)=ax^2+bx+c$ lorsque $a\ne 0$ ?

15. Où la parabole $y=ax^2+bx+c$ coupe-t-elle l’axe des ordonnées ?

16. Combien de points d’intersection la parabole a-t-elle avec l’axe des abscisses lorsque $\Delta=0$ ?

18. Un trinôme a un discriminant nul et son unique racine est $x_0=-\frac{b}{2a}$ . Que peut-on dire de son signe et de cette racine ?