Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition du trinôme du second degré
2. Forme canonique et paramètres
3. Complétion du carré
4. Application à un trinôme

📖 1. Définition du trinôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction définie par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont trois réels et où $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 La forme développée d’un trinôme du second degré est $ax^2+bx+c$ et cette écriture est unique.

• La fonction $f(x)=3x^2-5x+4$ a pour coefficients a = 3, b = −5 et c = 4, tandis que $g(x)=2x^2$ a pour coefficients a = 2 et b = c = 0.

💡 Astuce mémo

ABC : ax² + bx + c

📖 2. Forme canonique et paramètres

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Écriture de la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où α et β sont deux réels.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, les paramètres de la forme canonique sont $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

• Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, on a $f(\alpha)=\beta$.

💡 Astuce mémo

Une parabole centrée en α, à hauteur β

📖 3. Complétion du carré

★ À maîtriser

• La forme canonique s’obtient en factorisant a dans les deux premiers termes, en complétant le carré puis en regroupant les constantes.

Compléments

📐 Formule — La complétion du carré repose sur $x^2+\frac{b}{a}x=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2$.

📐 Formule — Après complétion du carré, un trinôme s’écrit $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

💡 Astuce mémo

Factoriser → compléter le carré → identifier α et β

📖 4. Application à un trinôme

📝 Points essentiels

• Pour le trinôme $f(x)=-2x^2+5x+3$, l’exercice consiste à déterminer sa forme canonique.

📊 Tableaux de synthèse

Les deux formes du trinôme