Fiche de révision : Probabilités conditionnelles

📋 Plan du Cours

1. Expérience aléatoire et univers
2. Modélisation et équiprobabilité
3. Évènements et opérations
4. Probabilités conditionnelles
5. Arbres et probabilités totales
6. Indépendance des épreuves

📖 1. Expérience aléatoire et univers

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Expérience dont le résultat est soumis au hasard.
• Issue : Résultat possible d’une expérience aléatoire.
• Univers : Ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.

📝 Points essentiels

• Pour un dé cubique, l’expérience aléatoire comporte 6 issues et son univers est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.

💡 Astuce mémo

Visualiser un dé : chaque face est une issue, l’ensemble des faces forme Ω.

📖 2. Modélisation et équiprobabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Modélisation : Modéliser une expérience aléatoire consiste à associer à chaque issue xi une probabilité pi telle que $0 \leq p_i \leq 1$ et $p_1+p_2+\cdots+p_n=1$.
• Équiprobabilité : Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues d’une expérience aléatoire ont la même probabilité ; pour n issues, cette probabilité vaut $p=\frac{1}{n}$.

📝 Points essentiels

• Pour un dé cubique équilibré, chaque face a une probabilité de $\frac{1}{6}$.

💡 Astuce mémo

Équiprobabilité : toutes les issues ont le même poids ; loi quelconque : les poids diffèrent.

📖 3. Évènements et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Évènement : Un évènement A est une partie de l’univers Ω, notée A ⊂ Ω, et sa probabilité p(A) est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.
• Intersection : L’intersection A ∩ B est l’évènement formé des issues qui réalisent simultanément A et B.
• Réunion : La réunion A ∪ B est l’évènement formé des issues qui réalisent A ou B, c’est-à-dire au moins l’un des deux évènements.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout évènement A, $0\leq p(A)\leq 1$, avec $p(\varnothing)=0$ et $p(\Omega)=1$.

📌 Un évènement élémentaire contient une seule issue, l’évènement impossible est ∅ et l’évènement certain est Ω.

Compléments

📐 Formule — Pour deux évènements A et B, $p(\overline{A})=1-p(A)$ et $p(A\cup B)+p(A\cap B)=p(A)+p(B)$.

💡 Astuce mémo

Intersection = A et B ; réunion = A ou B ; contraire = hors de A.

📖 4. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si P(A) ≠ 0, la probabilité de B sachant que A est réalisé est $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si P(A) ≠ 0, alors $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ et $P_A(\overline{B})=1-P_A(B)$.

Compléments

• Dans une classe, la probabilité qu’un élève soit reçu sachant qu’il est une fille vaut $P_F(R)=\frac{18}{19}$, tandis que la probabilité qu’il soit une fille sachant qu’il est reçu vaut $P_R(F)=\frac{18}{31}$.

💡 Astuce mémo

Savoir A → on réduit l’univers à A → on mesure B dans A.

📖 5. Arbres et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition : Des évènements A1, A2, …, An forment une partition de Ω s’ils sont non vides, deux à deux disjoints et dont la réunion est Ω.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si A1, A2, …, An forment une partition de Ω, alors pour tout évènement B, $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i\cap B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P_{A_i}(B)$.

Compléments

📐 Formule — Pour deux évènements A et son contraire de probabilités non nulles, $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$.

• Pour les trottinettes, les sites A, B et C produisent respectivement 60 %, 15 % et 25 %, avec des taux de défaut de 5 %, 2 % et 6 %, donc $P(D)=0{,}6\times0{,}05+0{,}15\times0{,}02+0{,}25\times0{,}06=0{,}048$.

💡 Astuce mémo

Partition → branches conditionnelles → produits → somme des chemins.

📖 6. Indépendance des épreuves

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : Deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
• Épreuves indépendantes : Une succession de deux épreuves indépendantes répète deux fois la même expérience aléatoire sans que les résultats de la première influencent ceux de la seconde.

★ À maîtriser

📐 Formule — A et B sont indépendants si et seulement si $P_A(B)=P(B)$, ou de manière équivalente $P_B(A)=P(A)$.

Compléments

• Dans un sac contenant 10 jetons dont 3 verts, avec remise entre deux tirages, la probabilité d’obtenir deux jetons verts est $0{,}3\times0{,}3=0{,}09$.

💡 Astuce mémo

Indépendance : connaître A ne change pas la probabilité de B ; dépendance : elle la modifie.

📊 Tableaux de synthèse

Opérations entre évènements