Fiche de révision : Polygones réguliers et radians

📋 Plan du Cours

1. Hexagone inscrit
2. Hexagone circonscrit
3. Octogones réguliers
4. Définition du radian
5. Conversion degrés radians
6. Arcs et secteurs circulaires
7. Applications numériques

📖 1. Hexagone inscrit

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’angle au centre d’un hexagone inscrit vaut $360° \div 6 = 60°$.

📌 Le triangle formé par deux rayons consécutifs et un côté de l’hexagone inscrit est équilatéral, car il est isocèle avec deux rayons de longueur 1 et possède un angle au centre de 60°.

• Pour un cercle de rayon 1, le côté BA de l’hexagone inscrit mesure 1, comme chacun des deux rayons OA et OB.

💡 Astuce mémo

6 secteurs égaux → 60° → triangle équilatéral

📖 2. Hexagone circonscrit

★ À maîtriser

📐 Formule — Le périmètre de l’hexagone inscrit vaut $6\times1=6$ et celui de l’hexagone circonscrit vaut $6\times1{,}154=6{,}924$.

• Dans le triangle rectangle OB’H’, la tangente de 30° donne $\tan(30°)=|B’H’|/1$, donc $|B’H’|=0{,}577$ et $|B’A’|=2\times0{,}577=1{,}154$.

Compléments

📐 Formule — L’angle au centre utilisé pour l’hexagone circonscrit est calculé dans le cours par $360° \div 8 = 45°$.

💡 Astuce mémo

Inscrit à l’intérieur, circonscrit à l’extérieur

📖 3. Octogones réguliers

★ À maîtriser

📐 Formule — L’angle au centre d’un octogone inscrit vaut $360°\div8=45°$.

📐 Formule — Pour un cercle de rayon 1, les périmètres encadrent la circonférence selon $8\times0{,}766<2\pi<8\times0{,}828$, soit $6{,}188<2\pi<6{,}624$ et $3{,}064<\pi<3{,}312$.

• Dans l’octogone circonscrit, le triangle OB’H’ est rectangle en H’ et vérifie $\tan(22{,}5°)=|B’H’|/1$, d’où $|B’H’|=0{,}414$ et $|B’A’|=2\times0{,}414=0{,}828$.

Compléments

• Pour un cercle de rayon 1, le cours donne la longueur du côté de l’octogone inscrit comme 0,766.

💡 Astuce mémo

Le côté inscrit est inférieur au côté circonscrit

📖 4. Définition du radian

🔑 Notions clés & Définitions

• Radian : Amplitude d’un angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur est égale à celle du rayon du cercle.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le radian est aussi le rapport entre la longueur L de l’arc intercepté et le rayon r, soit $1\ \text{radian}=L/r$.

Compléments

📌 Par convention, un angle écrit sans unité est exprimé en radians, tandis qu’un angle en degrés porte le symbole °.

💡 Astuce mémo

Un arc de longueur égale au rayon dessine 1 radian

📖 5. Conversion degrés radians

★ À maîtriser

📐 Formule — La relation fondamentale entre les deux unités est $180°=\pi\ \text{radians}$, ou de manière équivalente $360°=2\pi\ \text{radians}$.

📐 Formule — Pour convertir une mesure en degrés en radians, il faut la multiplier par $\pi/180$.

Compléments

• La conversion de 30° en radians donne $30\times\pi/180=\pi/6$ radians.

• Un angle de 1 radian vaut environ 57,3°.

💡 Astuce mémo

Degrés → × π/180 ; radians → × 180/π

📖 6. Arcs et secteurs circulaires

★ À maîtriser

• La circonférence d’un cercle de rayon r vaut $2\pi r$ et l’aire d’un disque de rayon r vaut $\pi r^2$.

Compléments

• La longueur d’un arc et l’aire du secteur associé se calculent à partir de l’angle α exprimé en radians et du rayon r.

📖 7. Applications numériques

📝 Points essentiels

• Les exercices demandent notamment de convertir 60° en π/3, −135° en −3π/4 et 75° en 5π/12.

• Les exercices donnent notamment 3π/8=67,5°, −17π/20=−153°, 19π/36=95° et 1,24 radian=71,04°.

📊 Tableaux de synthèse

Conversions angulaires