QCM : Polygones réguliers et radians — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel est l’angle au centre associé à chacun des six secteurs égaux d’un hexagone inscrit dans un cercle ?

60°60°
360°360°
45°45°
90°90°

$$60°$$

Explication

La division de l’angle complet en six secteurs donne 360°÷6=60°360°\div6=60° par secteur. La valeur 360°360° représente l’angle complet du cercle, et non un secteur de l’hexagone.

2. Pourquoi le triangle formé par deux rayons consécutifs et un côté d’un hexagone inscrit est-il équilatéral ?

Il est rectangle, car deux rayons consécutifs sont perpendiculaires au côté de l’hexagone.
Il possède trois côtés de longueur 11 dès que le cercle a six secteurs égaux.
Il est équilatéral parce que son angle au centre mesure 360°360°.
Il est isocèle, ses deux rayons mesurent 11 et son angle au centre vaut 60°60°.

Il est isocèle, ses deux rayons mesurent $$1$$ et son angle au centre vaut $$60°$$.

Explication

Le triangle est isocèle avec deux côtés de longueur 11 et un angle compris de 60°60°, ce qui entraîne l’égalité des trois côtés. L’angle au centre n’est pas 360°360° et les rayons consécutifs ne sont pas perpendiculaires.

3. Pour un cercle de rayon 11, quelle est la longueur du côté de l’hexagone inscrit ?

0,5770,577
0,7660,766
11
1,1541,154

$$1$$

Explication

Dans un hexagone inscrit, le triangle central est équilatéral, donc le côté a la même longueur que chaque rayon, soit 11. La valeur 1,1541,154 correspond au côté circonscrit présenté dans le cours.

4. Dans le triangle rectangle utilisé pour l’hexagone circonscrit, quelle longueur obtient-on à partir de tan⁡(30°)=∣B’H’∣/1\tan(30°)=|B’H’|/1 ?

∣B’H’∣=0,766|B’H’|=0,766, puis ∣B’A’∣=1,532|B’A’|=1,532
∣B’H’∣=1|B’H’|=1, puis ∣B’A’∣=2|B’A’|=2
∣B’H’∣=0,414|B’H’|=0,414, puis ∣B’A’∣=0,828|B’A’|=0,828
∣B’H’∣=0,577|B’H’|=0,577, puis ∣B’A’∣=1,154|B’A’|=1,154

$$|B’H’|=0,577$$, puis $$|B’A’|=1,154$$

Explication

La tangente de 30°30° donne ∣B’H’∣=0,577|B’H’|=0,577, et le côté complet vaut deux fois cette longueur, soit ∣B’A’∣=1,154|B’A’|=1,154. Les valeurs 0,4140,414 et 0,8280,828 concernent le calcul de l’octogone circonscrit.

5. Quels sont les périmètres respectifs de l’hexagone inscrit et de l’hexagone circonscrit pour un cercle de rayon 11 ?

4,6184,618 et 6,9246,924
6,9246,924 et 66
66 et 6,9246,924
66 et 4,9684,968

$$6$$ et $$6,924$$

Explication

Le côté inscrit mesure 11, donc son périmètre est 6×1=66\times1=6, tandis que le côté circonscrit mesure 1,1541,154, donnant 6×1,154=6,9246\times1,154=6,924. L’ordre inverse confond les deux hexagones.

6. Quel angle au centre correspond à chacun des huit secteurs égaux d’un octogone inscrit ?

90°90°
22,5°22,5°
45°45°
60°60°

$$45°$$

Explication

Un octogone divise l’angle complet en huit secteurs, donc l’angle au centre vaut 360°÷8=45°360°\div8=45°. La valeur 60°60° correspond à l’hexagone inscrit, qui possède six secteurs.

7. Quelle relation trigonométrique permet de déterminer le côté d’un octogone circonscrit autour d’un cercle de rayon 11 ?

tan⁡(22,5°)=∣B’H’∣/1\tan(22,5°)=|B’H’|/1, puis ∣B’A’∣=2×0,414=0,828|B’A’|=2\times0,414=0,828
tan⁡(30°)=∣B’H’∣/1\tan(30°)=|B’H’|/1, puis ∣B’A’∣=2×0,414=0,828|B’A’|=2\times0,414=0,828
tan⁡(45°)=∣B’H’∣/1\tan(45°)=|B’H’|/1, puis ∣B’A’∣=2×0,577=1,154|B’A’|=2\times0,577=1,154
tan⁡(22,5°)=∣B’H’∣/1\tan(22,5°)=|B’H’|/1, puis ∣B’A’∣=2×0,766=1,532|B’A’|=2\times0,766=1,532

$$\tan(22,5°)=|B’H’|/1$$, puis $$|B’A’|=2\times0,414=0,828$$

Explication

Dans l’octogone circonscrit, le triangle rectangle fait intervenir l’angle 22,5°22,5°, ce qui donne ∣B’H’∣=0,414|B’H’|=0,414 et un côté de 0,8280,828. La valeur 0,7660,766 est donnée pour le côté inscrit, tandis que 1,1541,154 concerne l’hexagone circonscrit.

8. Quelle double inégalité encadre la circonférence et la valeur de π\pi avec les octogones d’un cercle de rayon 11 ?

8×0,766<2π<8×0,8288\times0,766<2\pi<8\times0,828, donc 3,064<π<3,3123,064<\pi<3,312
8×0,828<2π<8×0,7668\times0,828<2\pi<8\times0,766, donc 3,312<π<3,0643,312<\pi<3,064
8×0,766<π<8×0,8288\times0,766<\pi<8\times0,828, donc 6,188<π<6,6246,188<\pi<6,624
6×1<2π<6×1,1546\times1<2\pi<6\times1,154, donc 3<π<3,4623<\pi<3,462

$$8\times0,766<2\pi<8\times0,828$$, donc $$3,064<\pi<3,312$$

Explication

Le périmètre de l’octogone inscrit est inférieur à la circonférence, tandis que celui de l’octogone circonscrit lui est supérieur : 8×0,766<2π<8×0,8288\times0,766<2\pi<8\times0,828. La division par 22 donne 3,064<π<3,3123,064<\pi<3,312; les autres propositions inversent les bornes ou confondent π\pi et 2π2\pi.

9. Quelle condition géométrique définit un angle d’un radian dans un cercle ?

Il intercepte un arc dont la longueur égale le rayon du cercle
Il possède une mesure égale à la moitié de l’angle plat
Il forme un secteur dont l’aire égale celle du disque
Il intercepte un arc dont la longueur égale le diamètre du cercle

Il intercepte un arc dont la longueur égale le rayon du cercle

Explication

Un radian est défini par un angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. Un arc égal au diamètre ne caractérise pas l’unité radian.

10. Un angle au centre intercepte un arc de longueur L=12 cmL=12\ \text{cm} dans un cercle de rayon r=3 cmr=3\ \text{cm}. Quelle est sa mesure en radians ?

4 radians4\ \text{radians}
9 radians9\ \text{radians}
0,25 radian0,25\ \text{radian}
36 radians36\ \text{radians}

$$4\ \text{radians}$$

Explication

La mesure en radians se calcule par le rapport L/rL/r, donc 12/3=412/3=4. Le produit LrLr ou le rapport inversé ne donne pas une mesure angulaire correcte.

11. Quelle égalité exprime correctement la correspondance entre un angle plat et les radians ?

360°=π radians360°=\pi\ \text{radians}
90°=π radians90°=\pi\ \text{radians}
180°=2π radians180°=2\pi\ \text{radians}
180°=π radians180°=\pi\ \text{radians}

$$180°=\pi\ \text{radians}$$

Explication

Un angle plat mesure 180°180°, ce qui correspond à π\pi radians. La mesure 2π2\pi radians correspond à un angle complet de 360°360°.

12. Quelle opération faut-il effectuer pour convertir une mesure de 72°72° en radians ?

La multiplier par 180/π180/\pi
La soustraire de π/180\pi/180
La diviser par π/180\pi/180
La multiplier par π/180\pi/180

La multiplier par $$\pi/180$$

Explication

Pour passer des degrés aux radians, on multiplie la mesure par π/180\pi/180; ainsi, 72°72° devient 72π/18072\pi/180 radians. Le facteur 180/π180/\pi sert à convertir des radians en degrés.

13. Comment évoluent la circonférence et l’aire d’un disque lorsque le rayon est multiplié par 3 ?

La circonférence est multipliée par 3 et l’aire par 9
La circonférence et l’aire sont multipliées par 9
La circonférence et l’aire sont multipliées par 3
La circonférence est multipliée par 9 et l’aire par 3

La circonférence est multipliée par 3 et l’aire par 9

Explication

La circonférence suit la formule 2πr2\pi r, donc elle est multipliée par 3, tandis que l’aire suit πr2\pi r^2, donc elle est multipliée par 32=93^2=9. L’aire ne dépend donc pas linéairement du rayon.

14. Quelles grandeurs déterminent la longueur d’un arc et l’aire du secteur circulaire qui lui est associé ?

Le rayon et l’aire du disque sans angle associé
L’angle α\alpha en degrés et le diamètre du cercle
L’angle α\alpha en radians et le rayon rr
La circonférence et le diamètre sans mesure angulaire

L’angle $$\alpha$$ en radians et le rayon $$r$$

Explication

La longueur de l’arc et l’aire du secteur se calculent à partir de l’angle α\alpha exprimé en radians et du rayon rr. Utiliser directement les degrés ou supprimer l’angle ne correspond pas à ces relations.

15. Quelle est la mesure en radians correspondant à un angle de 60∘60^\circ ?

2π3\frac{2\pi}{3}
π6\frac{\pi}{6}
3π4\frac{3\pi}{4}
π3\frac{\pi}{3}

$$\frac{\pi}{3}$$

Explication

Un angle de 60∘60^\circ correspond à 60180π=π3\frac{60}{180}\pi=\frac{\pi}{3} radians. La valeur π6\frac{\pi}{6} correspond à 30∘30^\circ, et non à 60∘60^\circ.

16. Quelle mesure en degrés correspond à −17π20-\frac{17\pi}{20} radians ?

−135∘-135^\circ
−144∘-144^\circ
−153∘-153^\circ
−162∘-162^\circ

$$-153^\circ$$

Explication

La conversion donne −17π20×180∘π=−153∘-\frac{17\pi}{20}\times\frac{180^\circ}{\pi}=-153^\circ. La valeur −135∘-135^\circ correspond à −3π4-\frac{3\pi}{4}, qui est un angle différent.

Révisez avec les flashcards

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Quelle mesure a l'angle au centre d'un hexagone inscrit ?

L'angle au centre vaut 60°.

Pourquoi le triangle formé par deux rayons consécutifs et un côté d'un hexagone inscrit est-il équilatéral ?

Il est isocèle avec deux rayons de longueur 1 et un angle au centre de 60°.

Quelle est la longueur du côté BA dans un hexagone inscrit dans un cercle de rayon 1 ?

Le côté BA mesure 1.

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