QCM : Fonctions polynômes du second degré — 9 questions

Question 1

1. Quelle condition distingue une fonction polynôme de degré 2 d’une fonction de degré inférieur ?

Le coefficient de

x

doit être non nul

Le terme constant doit être non nul

Le coefficient de

x^2

doit être non nul

Les trois coefficients doivent être positifs

Explication

Une fonction polynôme de degré 2 s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ . Si $a=0$ , le terme en $x^2$ disparaît et l’expression est au plus du premier degré.

Answer

Le coefficient de $$x^2$$ doit être non nul

Question 2

2. Quels sont les coefficients de la fonction $f(x)=3x^2-5x+4$ ?

a=-5

,

b=3

et

c=4

a=3

,

b=-5

et

c=4

a=4

,

b=-5

et

c=3

a=3

,

b=5

et

c=-4

Explication

Dans l’écriture $ax^2+bx+c$ , on identifie directement $a=3$ , $b=-5$ et $c=4$ . Le signe négatif appartient donc au coefficient de $x$ .

Answer

$$a=3$$, $$b=-5$$ et $$c=4$$

Question 3

3. Quelle écriture caractérise la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

a(x-\alpha)^2+\beta

a(x-\beta)^2+\alpha

ax^2+bx+c

a(x+\beta)^2+\alpha

Explication

La forme canonique est de la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , avec $\alpha$ et $\beta$ réels. L’écriture $ax^2+bx+c$ correspond à la forme développée.

Answer

$$a(x-\alpha)^2+\beta$$

Question 4

4. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , comment calcule-t-on le paramètre $\alpha$ de la forme canonique ?

\alpha=\frac{b}{2a}

\alpha=-\frac{b}{2a}

\alpha=-\frac{b^2-4ac}{4a}

\alpha=-\frac{2a}{b}

Explication

Le paramètre $\alpha$ est donné par $-\frac{b}{2a}$ . L’expression $-\frac{b^2-4ac}{4a}$ correspond au paramètre $\beta$ , et non à l’abscisse $\alpha$ .

Answer

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$

Question 5

5. Si un trinôme est écrit sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelle est la valeur de $f(\alpha)$ ?

a+\beta

\beta

a\alpha^2+\beta

\alpha

Explication

En remplaçant $x$ par $\alpha$ , le carré devient $\left(\alpha-\alpha\right)^2=0$ , donc il ne reste que $\beta$ . Ainsi, $f(\alpha)=\beta$ .

Answer

Factoriser $$a$$, compléter le carré, puis regrouper les constantes

Answer

$$x^2+\frac{b}{a}x=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$

Answer

$$-2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{49}{8}$$

Answer

$$\left(\frac{5}{4},\frac{49}{8}\right)$$

Question 6

6. Quelle succession d’opérations permet d’obtenir la forme canonique d’un trinôme ?

Diviser par

a

, supprimer le terme en

x

, puis ajouter

c

Développer le carré, supprimer le terme constant, puis factoriser

a

Regrouper les constantes, factoriser

b

, puis développer le carré

Factoriser

a

, compléter le carré, puis regrouper les constantes

Explication

La méthode consiste à factoriser $a$ dans les deux premiers termes, à compléter le carré, puis à regrouper les constantes. Les autres démarches ne conservent pas correctement l’égalité avec le trinôme initial.

Question 7

7. Quelle identité est utilisée pour compléter le carré dans un trinôme $ax^2+bx+c$ ?

x^2+\frac{b}{a}x=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(\frac{b}{2a}\right)^2

x^2+\frac{b}{a}x=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2

x^2+\frac{b}{a}x=\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2+\left(\frac{b}{2a}\right)^2

x^2+\frac{b}{a}x=\left(x+\frac{b}{a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2

Explication

La complétion du carré ajoute puis soustrait le carré de la moitié du coefficient de $x$ , ce qui donne l’identité indiquée. Le terme correctif doit être soustrait pour préserver l’égalité.

Question 8

8. Quelle est la forme canonique du trinôme $f(x)=-2x^2+5x+3$ ?

-2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{49}{8}

-2\left(x+\frac{5}{4}\right)^2+\frac{49}{8}

2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{49}{8}

-2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{49}{8}

Explication

En complétant le carré, on obtient $f(x)=-2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{49}{8}$ . Le signe positif dans la parenthèse modifierait l’abscisse du sommet, tandis que le coefficient directeur du terme carré reste négatif.

Question 9

9. Quel est le sommet de la parabole représentative de $f(x)=-2x^2+5x+3$ ?

\left(\frac{5}{4},-\frac{49}{8}\right)

\left(-\frac{5}{4},\frac{49}{8}\right)

\left(\frac{5}{4},\frac{49}{8}\right)

\left(\frac{5}{2},\frac{49}{8}\right)

Explication

La forme canonique $-2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{49}{8}$ montre que le sommet a pour coordonnées $\left(\frac{5}{4},\frac{49}{8}\right)$ . Le coefficient $-2$ indique l’ouverture vers le bas, mais ne change pas les coordonnées du sommet.

QCM : Fonctions polynômes du second degré — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition distingue une fonction polynôme de degré 2 d’une fonction de degré inférieur ?

2. Quels sont les coefficients de la fonction $f(x)=3x^2-5x+4$ ?

3. Quelle écriture caractérise la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

4. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , comment calcule-t-on le paramètre $\alpha$ de la forme canonique ?

5. Si un trinôme est écrit sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelle est la valeur de $f(\alpha)$ ?

6. Quelle succession d’opérations permet d’obtenir la forme canonique d’un trinôme ?

7. Quelle identité est utilisée pour compléter le carré dans un trinôme $ax^2+bx+c$ ?

8. Quelle est la forme canonique du trinôme $f(x)=-2x^2+5x+3$ ?

9. Quel est le sommet de la parabole représentative de $f(x)=-2x^2+5x+3$ ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition distingue une fonction polynôme de degré 2 d’une fonction de degré inférieur ?

2. Quels sont les coefficients de la fonction f(x)=3x2−5x+4f(x)=3x^2-5x+4f(x)=3x2−5x+4 ?

3. Quelle écriture caractérise la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

4. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c avec a≠0a\ne0a=0, comment calcule-t-on le paramètre α\alphaα de la forme canonique ?

5. Si un trinôme est écrit sous la forme f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β, quelle est la valeur de f(α)f(\alpha)f(α) ?

6. Quelle succession d’opérations permet d’obtenir la forme canonique d’un trinôme ?

7. Quelle identité est utilisée pour compléter le carré dans un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c ?

8. Quelle est la forme canonique du trinôme f(x)=−2x2+5x+3f(x)=-2x^2+5x+3f(x)=−2x2+5x+3 ?

9. Quel est le sommet de la parabole représentative de f(x)=−2x2+5x+3f(x)=-2x^2+5x+3f(x)=−2x2+5x+3 ?

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2. Quels sont les coefficients de la fonction $f(x)=3x^2-5x+4$ ?

4. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , comment calcule-t-on le paramètre $\alpha$ de la forme canonique ?

5. Si un trinôme est écrit sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelle est la valeur de $f(\alpha)$ ?

7. Quelle identité est utilisée pour compléter le carré dans un trinôme $ax^2+bx+c$ ?

8. Quelle est la forme canonique du trinôme $f(x)=-2x^2+5x+3$ ?

9. Quel est le sommet de la parabole représentative de $f(x)=-2x^2+5x+3$ ?