Fiche de révision : Fonctions polynômes et dérivée

📋 Plan du Cours

1. Notion de fonction dérivée
2. Dérivation des fonctions polynômes
3. Tableaux de variations
4. Fonctions polynômes de degré deux
5. Fonction cube
6. Fonctions polynômes de degré trois
7. Extrema et tangentes horizontales

📖 1. Notion de fonction dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : décrit le lien entre le signe de f’(x) et les variations de f.

★ À maîtriser

📌 Quand f’(x) est positive, la fonction f est croissante, et quand f’(x) est négative, la fonction f est décroissante.

Compléments

• Pour f(x)=x² définie sur [-2,5 ; 2,5], on a f’(x)=2x.

💡 Astuce mémo

f’ positive → f croissante ; f’ négative → f décroissante

📖 2. Dérivation des fonctions polynômes

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour f(x)=6x^3+2x^2+3x+2, la dérivée est $f’(x)=18x^2+4x+3$.

Compléments

📐 Formule - La dérivée de f(x)=2x^3+5 est $f’(x)=6x^2$.

📐 Formule - La dérivée de h(x)=-4x^3+2x^2-3x+4 est $h’(x)=-12x^2+4x+3$.

📖 3. Tableaux de variations

★ À maîtriser

• Pour dresser un tableau de variations, on détermine la dérivée, étudie son signe, puis en déduit les variations de la fonction.

📌 Si le signe de f’ passe de négatif à positif en une valeur, f admet un minimum local en cette valeur ; s’il passe de positif à négatif, f admet un maximum local.

Compléments

• Pour f’ de signe positif sur [-4 ; 1[, nul en 1, négatif sur ]1 ; 3[, nul en 3, puis positif sur ]3 ; 8], f est croissante sur [-4 ; 1[ et ]3 ; 8] et décroissante sur ]1 ; 3[.

💡 Astuce mémo

Signe de f’ → sens de variation → extrema

📖 4. Fonctions polynômes de degré deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : définie sur les réels par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a, b et c réels et a différent de zéro.

★ À maîtriser

• La représentation graphique d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole dont le sommet est noté S.

📌 L’équation ax²+bx+c=0 peut avoir zéro, une ou deux solutions selon le nombre de points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.

Compléments

📌 Le signe de la fonction polynôme de degré 2 dépend de la position de sa courbe par rapport à l’axe des abscisses : au-dessus, la fonction est positive, et en dessous, elle est négative.

💡 Astuce mémo

Une parabole orientée par le signe de a

📖 5. Fonction cube

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cube : définie sur les réels par $f(x)=x^3$.

★ À maîtriser

📌 La fonction cube est strictement croissante sur l’ensemble des réels.

📐 Formule - La dérivée de la fonction cube est $f’(x)=3x^2$.

Compléments

• La représentation graphique de la fonction cube passe par l’origine du repère.

💡 Astuce mémo

La courbe en S de x³ traverse l’origine

📖 6. Fonctions polynômes de degré trois

★ À maîtriser

• Pour une fonction polynôme de degré 3, la représentation graphique, le tableau de variations, le tableau de signes et les extrema dépendent des valeurs de a, b, c et d.

Compléments

📌 L’équation ax³+bx²+cx+d=0 peut avoir une, deux ou trois solutions selon les valeurs de a, b, c et d.

📖 7. Extrema et tangentes horizontales

★ À maîtriser

📌 Une tangente horizontale apparaît lorsque la dérivée de la fonction s’annule.

Compléments

• Pour la fonction f3(x)=2x^3−6x, les valeurs où f3’ s’annule permettent de déterminer ses extrema locaux.

• Dans le tableau de signes où f’ est négative avant 1 et positive après 1, f admet un minimum local en x=1.

• Dans le tableau où f’ est positive avant 3 et positive après 3, l’annulation de f’ en x=3 ne correspond pas à un extremum local.

💡 Astuce mémo

Minimum : f’ passe de − à + ; maximum : f’ passe de + à −