QCM : Fonctions polynômes et dérivée (11 questions)

Question 1

1. Que décrit la fonction dérivée $f'$ concernant une fonction $f$ ?

La relation entre le domaine de

f

et ses coefficients

La correspondance entre les zéros de

f

et ceux de

f'

Le lien entre le signe de

f'(x)

et les variations de

f

Le lien entre les valeurs de

f(x)

et ses solutions nulles

Explication

La fonction dérivée permet d’étudier comment le signe de $f'(x)$ est lié aux variations de $f$ . Les autres propositions concernent des relations qui ne définissent pas le rôle général de la dérivée.

Answer

Le lien entre le signe de $$f'(x)$$ et les variations de $$f$$

Question 2

2. Sur un intervalle où $f'(x)<0$ , quelle variation de $f$ peut-on conclure ?

La fonction

f

est constante

La fonction

f

change de signe

La fonction

f

est croissante

La fonction

f

est décroissante

Explication

Une dérivée négative indique que la fonction est décroissante sur l’intervalle considéré. Une dérivée positive correspondrait à une fonction croissante, tandis que les deux autres propriétés ne découlent pas du signe négatif.

Answer

La fonction $$f$$ est décroissante

Question 3

3. Pour $f(x)=6x^3+2x^2+3x+2$ , quelle expression représente $f'(x)$ ?

18x^2+2x+2

6x^2+2x+3

18x^3+4x^2+3x

18x^2+4x+3

Explication

La dérivation terme à terme donne $6x^3\mapsto18x^2$ , $2x^2\mapsto4x$ et $3x\mapsto3$ , tandis que la constante disparaît. L’expression contenant encore des puissances inchangées ou un terme constant résulte d’une dérivation incorrecte.

Answer

$$18x^2+4x+3$$

Question 4

4. Quelle est la dérivée de $f(x)=2x^3+5$ ?

6x^3

6x^2+5

2x^2+5

6x^2

Explication

La dérivée de $2x^3$ est $6x^2$ et la constante $5$ a une dérivée nulle. Ajouter la constante ou conserver le degré trois ne respecte pas les règles de dérivation des polynômes.

Answer

Un tableau indiquant les variations de la fonction

Answer

$$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\ne0$$

Answer

Elle permet de conclure que la fonction est strictement croissante sur $$\mathbb{R}$$.

Answer

L’équation de degré trois peut avoir une, deux ou trois solutions, tandis que celle de degré deux peut en avoir zéro, une ou deux.

Answer

Elle correspond à une tangente horizontale sans extremum local

Answer

Étudier le signe de la dérivée afin d’en déduire les variations

Answer

$$h'(x)=-12x^2+4x+3$$

Question 5

5. Que permet de construire l’étude du signe de la dérivée d’une fonction ?

Une équation donnant ses éventuelles racines

Une parabole représentant sa courbe

Un tableau indiquant les variations de la fonction

Une formule calculant directement ses valeurs

Explication

L’étude du signe de la dérivée permet de déterminer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante, puis de les présenter dans un tableau de variations. Elle ne fournit pas directement les racines, la courbe ou les valeurs de la fonction.

Question 6

6. Quelle forme générale caractérise une fonction polynôme de degré deux définie sur les réels ?

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a\ne0

f(x)=ax+b

avec

a\ne0

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

avec

a\ne0

f(x)=\frac{a}{x}+b

avec

a\ne0

Explication

Une fonction polynôme de degré deux s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ , où les coefficients sont réels et $a$ est non nul. L’expression cubique correspond à une fonction polynôme de degré trois, car sa plus grande puissance de $x$ est trois.

Question 7

7. Quel rôle joue la dérivée de la fonction cube $f(x)=x^3$ dans l’étude de ses variations ?

Elle permet d’identifier deux intervalles de croissance séparés par l’origine.

Elle permet de conclure que la fonction est strictement croissante sur

\mathbb{R}

.

Elle permet de conclure que la fonction est décroissante sur

\mathbb{R}

.

Elle permet de montrer que la fonction possède un maximum local en

x=0

.

Explication

La dérivée $f'(x)=3x^2$ est positive ou nulle et la fonction cube est strictement croissante sur l’ensemble des réels. La présence d’une dérivée nulle en $x=0$ ne crée ni changement de sens de variation ni maximum local.

Question 8

8. Quelle différence caractérise principalement les fonctions polynômes de degré trois par rapport aux fonctions polynômes de degré deux concernant les solutions de leur équation associée ?

L’équation de degré trois possède trois solutions réelles, tandis que celle de degré deux n’en possède aucune.

L’équation de degré trois peut avoir zéro, une ou deux solutions, tandis que celle de degré deux peut en avoir une, deux ou trois.

L’équation de degré trois peut avoir une, deux ou trois solutions, tandis que celle de degré deux peut en avoir zéro, une ou deux.

L’équation de degré trois possède deux solutions réelles, tandis que celle de degré deux en possède trois.

Explication

Une équation polynomiale de degré trois peut admettre une, deux ou trois solutions selon ses coefficients, alors qu’une équation de degré deux peut en admettre zéro, une ou deux. Les autres propositions inversent ces possibilités ou imposent un nombre fixe de solutions qui n’est pas garanti.

Question 9

9. Si la dérivée d’une fonction s’annule en une valeur sans changer de signe de part et d’autre, quelle conséquence peut-on en déduire concernant cette valeur ?

Elle correspond à un minimum local de la fonction

Elle correspond à une tangente horizontale sans extremum local

Elle indique une discontinuité de la fonction

Elle correspond à un maximum local de la fonction

Explication

L’annulation de la dérivée entraîne une tangente horizontale, mais un extremum local exige un changement de signe de la dérivée. En particulier, lorsque la dérivée reste positive de part et d’autre, la fonction continue de croître et ne présente pas d’extremum local.

Question 10

10. Pour déterminer le sens de variation d’une fonction sur un intervalle, quelle démarche faut-il appliquer à sa fonction dérivée ?

Rechercher les coordonnées du sommet de la représentation graphique

Étudier le signe de la dérivée afin d’en déduire les variations

Calculer les intersections de la courbe avec l’axe des abscisses

Comparer les valeurs de la fonction aux extrémités de l’intervalle

Explication

L’étude du signe de la fonction dérivée permet de conclure que la fonction est croissante lorsque la dérivée est positive et décroissante lorsqu’elle est négative. Les intersections avec les axes et les coordonnées du sommet fournissent d’autres informations, mais elles ne constituent pas la démarche générale pour déterminer les variations.

Question 11

11. Quelle est la dérivée de la fonction polynomiale $h(x)=-4x^3+2x^2-3x+4$ ?

h'(x)=-4x^2+4x+3

h'(x)=12x^2+4x-3

h'(x)=-12x^2+4x+3

h'(x)=-12x^2+2x-3

Explication

La dérivée de $-4x^3$ est $-12x^2$ , celle de $2x^2$ est $4x$ , celle de $-3x$ est $-3$ et la constante disparaît. L’expression proposant $-12x^2+2x-3$ applique incorrectement la dérivation au terme quadratique.

QCM : Fonctions polynômes et dérivée (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que décrit la fonction dérivée $f'$ concernant une fonction $f$ ?

2. Sur un intervalle où $f'(x)<0$ , quelle variation de $f$ peut-on conclure ?

3. Pour $f(x)=6x^3+2x^2+3x+2$ , quelle expression représente $f'(x)$ ?

4. Quelle est la dérivée de $f(x)=2x^3+5$ ?

5. Que permet de construire l’étude du signe de la dérivée d’une fonction ?

6. Quelle forme générale caractérise une fonction polynôme de degré deux définie sur les réels ?

7. Quel rôle joue la dérivée de la fonction cube $f(x)=x^3$ dans l’étude de ses variations ?

8. Quelle différence caractérise principalement les fonctions polynômes de degré trois par rapport aux fonctions polynômes de degré deux concernant les solutions de leur équation associée ?

9. Si la dérivée d’une fonction s’annule en une valeur sans changer de signe de part et d’autre, quelle conséquence peut-on en déduire concernant cette valeur ?

10. Pour déterminer le sens de variation d’une fonction sur un intervalle, quelle démarche faut-il appliquer à sa fonction dérivée ?

11. Quelle est la dérivée de la fonction polynomiale $h(x)=-4x^3+2x^2-3x+4$ ?

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QCM : Fonctions polynômes et dérivée (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que décrit la fonction dérivée f′f'f′ concernant une fonction fff ?

2. Sur un intervalle où f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0, quelle variation de fff peut-on conclure ?

3. Pour f(x)=6x3+2x2+3x+2f(x)=6x^3+2x^2+3x+2f(x)=6x3+2x2+3x+2, quelle expression représente f′(x)f'(x)f′(x) ?

4. Quelle est la dérivée de f(x)=2x3+5f(x)=2x^3+5f(x)=2x3+5 ?

5. Que permet de construire l’étude du signe de la dérivée d’une fonction ?

6. Quelle forme générale caractérise une fonction polynôme de degré deux définie sur les réels ?

7. Quel rôle joue la dérivée de la fonction cube f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 dans l’étude de ses variations ?

8. Quelle différence caractérise principalement les fonctions polynômes de degré trois par rapport aux fonctions polynômes de degré deux concernant les solutions de leur équation associée ?

9. Si la dérivée d’une fonction s’annule en une valeur sans changer de signe de part et d’autre, quelle conséquence peut-on en déduire concernant cette valeur ?

10. Pour déterminer le sens de variation d’une fonction sur un intervalle, quelle démarche faut-il appliquer à sa fonction dérivée ?

11. Quelle est la dérivée de la fonction polynomiale h(x)=−4x3+2x2−3x+4h(x)=-4x^3+2x^2-3x+4h(x)=−4x3+2x2−3x+4 ?

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1. Que décrit la fonction dérivée $f'$ concernant une fonction $f$ ?

2. Sur un intervalle où $f'(x)<0$ , quelle variation de $f$ peut-on conclure ?

3. Pour $f(x)=6x^3+2x^2+3x+2$ , quelle expression représente $f'(x)$ ?

4. Quelle est la dérivée de $f(x)=2x^3+5$ ?

7. Quel rôle joue la dérivée de la fonction cube $f(x)=x^3$ dans l’étude de ses variations ?

11. Quelle est la dérivée de la fonction polynomiale $h(x)=-4x^3+2x^2-3x+4$ ?