Fiche de révision : Fonctions réelles et logarithme népérien

📋 Plan du Cours

1. Domaines et graphes des fonctions
2. Opérations et symétries fonctionnelles
3. Périodicité et bornes fonctionnelles
4. Monotonie et bijection réciproque
5. Dérivation et régularité
6. Asymptotes et fonctions affines
7. Puissances entières et racine carrée
8. Logarithme népérien
9. Logarithme et définition de l’exponentielle
10. Dérivation et propriétés de l’exponentielle
11. Limites et inégalité exponentielles
12. Puissances réelles et règles de calcul
13. Exponentielles de base quelconque
14. Logarithme décimal
15. Fonctions puissances
16. Croissances comparées
17. Fonctions circulaires réciproques
18. Fonctions hyperboliques et dérivation complexe

📖 1. Domaines et graphes des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition : L’ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.
• Courbe représentative : L’ensemble des points (x,f(x)) tels que x appartient à son domaine de définition.

📝 Points essentiels

• Un point (x,y) appartient à la courbe représentative de f si et seulement si y=f(x), et il existe un unique point de cette courbe d’abscisse x pour chaque x du domaine.

• Les domaines de définition de |x|, √x et (x+3)/(x−5) sont respectivement ℝ, [0,+∞[ et ℝ{5}.

📖 2. Opérations et symétries fonctionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Opérations algébriques : Pour deux fonctions f et g, λf et fⁿ sont définies sur Df, tandis que f+g et fg sont définies sur Df∩Dg, et f/g est définie sur les x∈Dg∩Df tels que g(x)≠0.
• Fonction paire : Une fonction définie sur un domaine symétrique par rapport à l’origine est paire si f(−x)=f(x) pour tout x de son domaine.
• Fonction impaire : Une fonction définie sur un domaine symétrique par rapport à l’origine est impaire si f(−x)=−f(x) pour tout x de son domaine.

★ À maîtriser

📐 Formule - Toute fonction f définie sur un domaine symétrique se décompose de manière unique en f=g+h, avec $g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ paire et $h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ impaire.

Compléments

• La fonction cotangente cotan(x)=cos(x)/sin(x) est définie lorsque sin(x)≠0, soit pour x∉πℤ.

• La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, tandis que celle d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

• Pour f(x)=x³+3x²−x+4, la partie paire est g(x)=3x²+4 et la partie impaire est h(x)=x³−x.

• Pour n∈ℕ, x↦xⁿ est paire si n est pair et impaire si n est impair ; le même résultat vaut pour n∈ℤ sur ℝ* lorsque n<0.

• Le cosinus est pair, tandis que le sinus et la tangente sont impairs.

💡 Astuce mémo

Paire : miroir sur l’axe des ordonnées ; impaire : miroir par rapport à l’origine.

📖 3. Périodicité et bornes fonctionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction périodique : Une fonction est T-périodique, avec T>0, si son domaine est invariant par translation de T et si f(x+T)=f(x) pour tout x de son domaine.

📝 Points essentiels

• La courbe d’une fonction T-périodique est invariante par la translation de vecteur (T,0).

• Le sinus et le cosinus sont 2π-périodiques, tandis que la tangente est π-périodique.

• Pour tracer une fonction T-périodique qui est aussi paire ou impaire, on l’étudie sur [0,T/2], on prolonge par symétrie sur [−T/2,T/2], puis par périodicité sur tout son domaine.

📖 4. Monotonie et bijection réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction majorée : Une fonction sur I s’il existe un réel M tel que f(x)≤M pour tout x∈I.
• Fonction croissante : Une fonction est croissante sur I si x≤y implique f(x)≤f(y) pour tous x,y∈I ; elle est strictement croissante si x<y implique f(x)<f(y).
• Fonction minorée : Une fonction sur I s’il existe un réel m tel que f(x)≥m pour tout x∈I.
• Fonction bornée : Une fonction sur I si elle est à la fois majorée et minorée sur I.
• Fonction décroissante : Une fonction est décroissante sur I si x≤y implique f(x)≥f(y) ; elle est strictement décroissante si x<y implique f(x)>f(y).

★ À maîtriser

📌 Une borne supérieure ou inférieure n’est un maximum ou un minimum que si elle est effectivement atteinte par la fonction.

• La bijection réciproque d’une fonction bijective strictement monotone a la même monotonie que la fonction.

Compléments

• Pour f(x)=1/x sur [1,+∞[, l’infimum vaut 0 sans être atteint, tandis que le maximum vaut 1 et est atteint en x=1.

• Une fonction constante est à la fois croissante et décroissante, et une fonction monotone est croissante ou décroissante.

• La partie entière est croissante sur ℝ sans être strictement croissante, car elle est constante sur chaque intervalle [n,n+1[ pour n∈ℤ.

📖 5. Dérivation et régularité

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : La fonction f est dérivable en a si la limite $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ existe et est finie ; cette limite est f′(a).
• Dérivée n-ième : La dérivée n-ième de f est définie récursivement par f⁽⁰⁾=f et f⁽ⁿ⁾=(f⁽ⁿ⁻¹⁾)′ pour n≥1 lorsque cette dérivée existe.
• Fonction de classe Cⁿ : Une fonction est de classe Cⁿ sur I si elle est n fois dérivable sur I et si sa dérivée n-ième est continue sur I.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si f est dérivable en a, la tangente à sa courbe au point (a,f(a)) a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📌 Pour une fonction dérivable sur un intervalle, f est croissante si et seulement si f′≥0, décroissante si et seulement si f′≤0, et constante si et seulement si f′=0 sur cet intervalle.

📐 Formule - Les dérivées d’une combinaison linéaire vérifient $(\lambda f+\mu g)'=\lambda f'+\mu g'$ et celles d’un produit vérifient $(fg)'=f'g+fg'$.

📐 Formule - Pour une composée g∘f, la dérivée vérifie $(g\circ f)'(a)=f'(a)g'(f(a))$ lorsque f est dérivable en a et g en f(a).

Compléments

📌 Si f′>0 sur un intervalle, f est strictement croissante, et si f′<0, elle est strictement décroissante ; les réciproques sont fausses en général.

📐 Formule - Lorsque g(a)≠0, $\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}$ et $\left(\frac1g\right)'(a)=-\frac{g'(a)}{g(a)^2}$.

📐 Formule - Si f est continue, strictement monotone et bijective, et si f′(a)≠0, alors $(f^{-1})'(f(a))=\frac1{f'(a)}$.

• C⁰(I,ℝ) est l’ensemble des fonctions continues sur I, et Cⁿ(I,ℝ)⊂Cᵏ(I,ℝ) pour 0≤k≤n.

📖 6. Asymptotes et fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote horizontale : La courbe de f admet l’asymptote horizontale y=m à une extrémité infinie du domaine lorsque f tend vers m à cette extrémité.
• Asymptote verticale : La courbe de f admet l’asymptote verticale x=a lorsque f tend vers +∞ ou −∞ en s’approchant de a par le côté du domaine.
• Fonction affine : Une fonction affine est de la forme f(x)=ax+b ; sa courbe est une droite de pente a et d’ordonnée à l’origine b, et elle est linéaire lorsque b=0.

📝 Points essentiels

• La fonction 1/x admet l’asymptote horizontale y=0 en +∞ et en −∞, et l’asymptote verticale x=0.

• Une fonction affine est strictement croissante si a>0, strictement décroissante si a<0 et constante égale à b si a=0.

• Pour une fonction affine de pente a>0, ses limites en +∞ et −∞ sont respectivement +∞ et −∞ ; si a<0, elles sont −∞ et +∞ ; si a=0, elles valent b aux deux extrémités.

📖 7. Puissances entières et racine carrée

★ À maîtriser

• Pour n∈ℤ, x↦xⁿ est définie sur ℝ si n≥0 et sur ℝ* si n<0 ; elle est paire pour n pair et impaire pour n impair.

📐 Formule - Pour n∈ℤ{0}, la dérivée de x↦xⁿ sur son domaine vaut $(x^n)'=nx^{n-1}$.

• La fonction racine carrée est strictement croissante sur ℝ₊, tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ et est bijective de ℝ₊ sur ℝ₊, de réciproque x↦x².

Compléments

• Pour n>0 pair, xⁿ décroît jusqu’à 0 puis croît ; pour n>0 impair, xⁿ est strictement croissante sur ℝ.

• Pour n<0 pair, xⁿ croît sur ]−∞,0[ puis décroît sur ]0,+∞[ ; pour n<0 impair, xⁿ est strictement décroissante sur chacun de ces deux intervalles.

📐 Formule - Pour x>0, la dérivée de √x vaut $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ; en 0, la fonction racine carrée n’est pas dérivable et sa courbe a une tangente verticale à l’origine.

📖 8. Logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien ln est défini sur ℝ*₊ par ln(1)=0 et ln′(x)=1/x pour x>0.

★ À maîtriser

• La fonction ln est strictement croissante sur ℝ*₊ ; elle est négative sur ]0,1[ et positive sur ]1,+∞[.

📐 Formule - Pour x,y>0, $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$, $\ln(1/x)=-\ln(x)$ et $\ln(x/y)=\ln(x)-\ln(y)$.

📐 Formule - Pour une fonction dérivable u à valeurs strictement positives, $(\ln\circ u)'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$.

📐 Formule - Les limites usuelles sont $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$, $\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0^+$, $\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0^-$ et $\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1+x)}x=1$.

📌 Pour tout x>−1, $\ln(1+x)\le x$.

Compléments

📐 Formule - Pour x>0 et n∈ℤ, $\ln(x^n)=n\ln(x)$ ; pour p∈ℤ et q∈ℕ*, $\ln(x^{p/q})=\frac pq\ln(x)$.

• On a ln(2)≈0,69.

📖 9. Logarithme et définition de l’exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : Bijection réciproque du logarithme népérien, de ℝ vers ℝ⁺*.

★ À maîtriser

📌 Pour tout x > −1, $\ln(1+x)\leq x$ ; l’égalité est atteinte en x = 0.

• Le logarithme népérien est une bijection strictement croissante de ℝ⁺* sur ℝ, avec des limites −∞ en 0⁺ et +∞ en +∞.

Compléments

• Le nombre e est l’unique réel dont le logarithme népérien vaut 1 et e ≃ 2,718281828.

💡 Astuce mémo

Le logarithme va de ℝ⁺* vers ℝ ; l’exponentielle fait le trajet inverse.

📖 10. Dérivation et propriétés de l’exponentielle

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout x ∈ ℝ, $\exp'(x)=\exp(x)$ ; la fonction exponentielle est strictement croissante.

• Pour une fonction dérivable u à valeurs réelles, la dérivée de exp composée avec u est $\bigl(\exp(u)\bigr)'=u'\exp(u)$.

📐 Formule - Pour tous réels x et y, $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ et $\exp(x-y)=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel x, $\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}$ et, pour tout entier n, $(\exp(x))^n=\exp(nx)$.

• La notation e^x désigne exp(x), avec e⁰ = 1 et e¹ = e.

📖 11. Limites et inégalité exponentielles

★ À maîtriser

📐 Formule - Les limites fondamentales sont $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+$.

📐 Formule - On a $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$.

📌 Pour tout réel x, $e^x\geq 1+x$, avec égalité en x = 0.

Compléments

📐 Formule - On a $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}xe^x=0^-$.

📖 12. Puissances réelles et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance réelle : Pour a > 0 et b ∈ ℝ, la puissance réelle est définie par $a^b=e^{b\ln(a)}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour a,a' > 0 et b ∈ ℝ, $\left(\frac{a}{a'}\right)^b=\frac{a^b}{(a')^b}$.

📖 13. Exponentielles de base quelconque

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle de base a : Pour a > 0, la fonction exponentielle de base a est définie sur ℝ par $f_a(x)=a^x=e^{x\ln(a)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La dérivée de l’exponentielle de base a est $f_a'(x)=\ln(a)a^x$.

📌 Si 0 < a < 1, la fonction a^x est strictement décroissante ; si a > 1, elle est strictement croissante ; si a = 1, elle est constante égale à 1.

Compléments

• Si a > 1, alors a^x tend vers 0 en −∞ et vers +∞ en +∞.

💡 Astuce mémo

Base supérieure à 1 : croissance ; base entre 0 et 1 : décroissance.

📖 14. Logarithme décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme décimal : Pour x > 0, le logarithme décimal est défini par $\log(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(10)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour x > 0, $\log'(x)=\frac{1}{x\ln(10)}$ ; le logarithme décimal est strictement croissant sur ℝ⁺*.

📐 Formule - Pour x,y > 0 et α ∈ ℝ, $\log(xy)=\log(x)+\log(y)$ et $\log(x^\alpha)=\alpha\log(x)$.

Compléments

• Le logarithme décimal tend vers −∞ en 0⁺ et vers +∞ en +∞.

📐 Formule - Pour tout entier n, $\log(10^n)=n$.

📖 15. Fonctions puissances

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour α ∈ ℝ\ℤ et x > 0, la dérivée de x^α est $\frac{d}{dx}x^\alpha=\alpha x^{\alpha-1}$.

📌 Pour α > 0, x ↦ x^α est strictement croissante sur ℝ⁺* ; pour α < 0, elle est strictement décroissante.

Compléments

📐 Formule - Si α > 0, $\lim_{x\to0^+}x^\alpha=0$ et $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=+\infty$.

• Pour α ∈ ℝ\ℤ, la fonction x ↦ x^α est une bijection de ℝ⁺* sur ℝ⁺* dont la réciproque est x ↦ x^{1/α}.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : la puissance croît ; exposant négatif : elle décroît.

📖 16. Croissances comparées

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour α ∈ ℝ et β > 0, $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{\beta x}}{x^\alpha}=+\infty$.

Compléments

📐 Formule - Pour α ∈ ℝ et β > 0, $\lim_{x\to0^+}x^\beta|\ln x|^\alpha=0^+$.

📐 Formule - Pour α ∈ ℝ et β > 0, $\lim_{x\to-\infty}|x|^\alpha e^{\beta x}=0^+$.

📖 17. Fonctions circulaires réciproques

★ À maîtriser

• La fonction arcsin est une bijection de [−1,1] sur [−π/2,π/2], continue, strictement croissante et impaire.

📐 Formule - Pour −1 < x < 1, $\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ; arcsin n’est pas dérivable en −1 ni en 1.

• La fonction arccos est une bijection de [−1,1] sur [0,π], continue et strictement décroissante.

• La fonction arctan est une bijection continue et strictement croissante de ℝ sur ]−π/2,π/2[, et elle est impaire.

📐 Formule - Pour tout x ∈ ℝ, $\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}$, avec des limites −π/2 en −∞ et π/2 en +∞.

Compléments

📐 Formule - Pour −1 < x < 1, $\arccos'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ; arccos n’est pas dérivable en −1 ni en 1.

💡 Astuce mémo

Arcsin et arctan croissent ; arccos décroît.

📖 18. Fonctions hyperboliques et dérivation complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions hyperboliques : Pour tout réel x, $\operatorname{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ et $\operatorname{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$.
• Dérivée complexe : Une fonction f:I→ℂ est dérivable lorsque Re(f) et Im(f) le sont, et sa dérivée est f′=(Re(f))′+i(Im(f))′.
• Parties réelle et imaginaire : Pour une fonction f:I→ℂ, ses parties réelle et imaginaire sont définies par Re(f)(x)=Re(f(x)) et Im(f)(x)=Im(f(x)).

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel x, $\operatorname{ch}^2(x)-\operatorname{sh}^2(x)=1$.

📐 Formule - Les dérivées vérifient $\operatorname{ch}'(x)=\operatorname{sh}(x)$ et $\operatorname{sh}'(x)=\operatorname{ch}(x)$.

📐 Formule - Pour deux fonctions complexes dérivables f et g, les règles de somme et de produit sont $(\lambda f+\mu g)'=\lambda f'+\mu g'$ et $(fg)'=f'g+fg'$.

📐 Formule - Pour une fonction complexe dérivable φ, $\bigl(\exp(\varphi)\bigr)'=\varphi'\exp(\varphi)$.

Compléments

📌 La fonction ch est paire et la fonction sh est impaire.

• La fonction ch décroît strictement sur ℝ⁻, croît strictement sur ℝ⁺, atteint son minimum ch(0)=1 et tend vers +∞ aux deux infinis.

• La fonction θ ↦ e^{iθ} est dérivable et sa dérivée vaut $ie^{i\theta}$.

📐 Formule - Si g(x) ≠ 0, la dérivée du quotient vérifie $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ et $\left(\frac1g\right)'=-\frac{g'}{g^2}$.