QCM : Fonctions réelles et logarithme népérien (33 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On considère les trois fonctions ∣x∣|x|, x\sqrt{x} et x+3x−5\frac{x+3}{x-5}. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

La fonction ∣x∣|x| possède pour domaine [0,+∞[[0,+\infty[.
Un point (x,y)(x,y) appartient au graphe dès que x=f(y)x=f(y).
La fonction x\sqrt{x} possède pour domaine [0,+∞[[0,+\infty[.
La fonction x+3x−5\frac{x+3}{x-5} possède pour domaine R\mathbb{R}.
Pour chaque abscisse du domaine, le graphe contient plusieurs points distincts.

La fonction $$\sqrt{x}$$ possède pour domaine $$[0,+\infty[$$.

Explication

La racine carrée est définie pour les réels positifs ou nuls, tandis que ∣x∣|x| est définie sur R\mathbb{R} et la fraction est exclue en x=5x=5. Pour toute abscisse du domaine, le graphe possède un unique point, caractérisé par y=f(x)y=f(x).

2. Soient ff définie sur R\mathbb{R} et gg définie sur R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\}, avec g(x)=xg(x)=x. Concernant les domaines des opérations et la parité :

La somme f+gf+g est définie sur R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Le quotient f/gf/g est défini sur R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\} lorsque g(x)g(x) y est non nul.
Une fonction paire vérifie f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) sur un domaine symétrique.
La fonction 2f2f a pour domaine celui de ff, soit R\mathbb{R}.
La fonction \cotan(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cotan(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)} est définie pour x∉πZx\notin\pi\mathbb{Z}.

La somme $$f+g$$ est définie sur $$\mathbb{R}\setminus\{0\}$$. · Le quotient $$f/g$$ est défini sur $$\mathbb{R}\setminus\{0\}$$ lorsque $$g(x)$$ y est non nul. · La fonction $$2f$$ a pour domaine celui de $$f$$, soit $$\mathbb{R}$$. · La fonction $$\cotan(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$$ est définie pour $$x\notin\pi\mathbb{Z}$$.

Explication

La somme est définie sur l’intersection des domaines, ici R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\}, et le quotient requiert en plus un dénominateur non nul, condition satisfaite ici. La cotangente exclut les multiples de π\pi et une multiplication scalaire conserve le domaine de ff. La relation donnée pour une fonction paire est incorrecte : elle caractérise la parité impaire.

3. À propos des fonctions impaires et de leurs courbes, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La courbe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Sur un domaine symétrique par rapport à l’origine, une fonction impaire vérifie f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x).
Une fonction impaire vérifie f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) pour chaque point de son domaine.
Pour vérifier l’imparité, il faut comparer les valeurs en xx et en −x-x.
La courbe d’une fonction impaire présente une symétrie par rapport à l’origine.

Sur un domaine symétrique par rapport à l’origine, une fonction impaire vérifie $$f(-x)=-f(x)$$. · Pour vérifier l’imparité, il faut comparer les valeurs en $$x$$ et en $$-x$$. · La courbe d’une fonction impaire présente une symétrie par rapport à l’origine.

Explication

L’imparité signifie que les images de xx et de −x-x sont opposées, sur un domaine symétrique, et la courbe possède alors une symétrie centrale d’origine. La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées et l’égalité des images caractérisent plutôt une fonction paire.

4. Une fonction définie sur un domaine symétrique s’écrit f(x)=x3+3x2−x+4f(x)=x^3+3x^2-x+4. Quelles propositions décrivent exactement sa décomposition en parties paire et impaire ?

Sa partie paire est x3−xx^3-x, car les termes de degré impair restent inchangés.
Sa partie impaire est 3x2+43x^2+4, car les termes de degré pair changent de signe.
La décomposition en partie paire et partie impaire dépend du choix de deux fonctions appropriées.
La partie impaire se calcule par f(x)+f(−x)2\frac{f(x)+f(-x)}{2}.
Sa partie paire est 3x2+43x^2+4, obtenue par la demi-somme de f(x)f(x) et f(−x)f(-x).

Sa partie paire est $$3x^2+4$$, obtenue par la demi-somme de $$f(x)$$ et $$f(-x)$$.

Explication

La demi-somme f(x)+f(−x)2\frac{f(x)+f(-x)}{2} conserve les termes pairs et donne ici 3x2+43x^2+4; la demi-différence donne la partie impaire x3−xx^3-x. La décomposition est unique, les termes impairs changent de signe dans la demi-somme, et la formule de la partie impaire utilise une différence.

5. Concernant la périodicité d’une fonction :

Pour être T-périodique, la fonction vérifie f(x+T)=f(x) pour tout x de son domaine.
La translation qui laisse la courbe inchangée a pour vecteur (0,T).
Une période T est positive et le domaine doit rester invariant par translation de T.
La condition f(x+T)=f(x) suffit, même si le domaine n’est pas invariant par translation de T.
La courbe d’une fonction T-périodique reste inchangée par translation de vecteur (T,0).

Pour être T-périodique, la fonction vérifie f(x+T)=f(x) pour tout x de son domaine. · Une période T est positive et le domaine doit rester invariant par translation de T. · La courbe d’une fonction T-périodique reste inchangée par translation de vecteur (T,0).

Explication

La périodicité exige à la fois l’invariance du domaine par translation de T et l’égalité des valeurs; la courbe est alors invariante par (T,0). La seule égalité des valeurs ne suffit pas sans l’invariance du domaine, et le vecteur de translation ne déplace pas la courbe verticalement.

6. Pour f(x)=1/x sur [1,+∞[, quelles propositions décrivent correctement ses bornes et sa croissance ?

Le maximum de f vaut 1 et il est atteint en x=1.
La borne inférieure 0 est un minimum atteint pour une valeur finie de x.
La fonction f est strictement croissante sur [1,+∞[.
L’infimum de f vaut 0, mais cette valeur n’est pas atteinte sur l’intervalle.
La fonction f est strictement décroissante sur [1,+∞[.

Le maximum de f vaut 1 et il est atteint en x=1. · L’infimum de f vaut 0, mais cette valeur n’est pas atteinte sur l’intervalle. · La fonction f est strictement décroissante sur [1,+∞[.

Explication

La fonction 1/x tend vers 0 sans l’atteindre sur [1,+∞[, tandis que sa valeur maximale 1 est atteinte en x=1. Elle est strictement décroissante sur cet intervalle; ainsi, 0 n’est pas un minimum et la fonction n’est pas croissante.

7. Parmi les propositions suivantes concernant les fonctions décroissantes et constantes, lesquelles sont exactes ?

Une fonction strictement décroissante vérifie f(x)<f(y) lorsque x<y.
Une fonction décroissante vérifie f(x)≥f(y) lorsque x≤y dans son intervalle.
Toute fonction monotone est à la fois croissante et décroissante.
Une fonction constante est croissante, mais elle n’est pas décroissante.
Une fonction décroissante vérifie f(x)≤f(y) lorsque x≤y.

Une fonction décroissante vérifie f(x)≥f(y) lorsque x≤y dans son intervalle.

Explication

La décroissance signifie que f(x)≥f(y) lorsque x≤y; dans le cas strict, l’inégalité reste orientée ainsi et devient stricte. Une fonction constante est à la fois croissante et décroissante, tandis qu’une fonction monotone est croissante ou décroissante. La dernière inégalité décrit la croissance.

8. À propos des classes de régularité des fonctions :

Une fonction de classe C2C^2 appartient à C3C^3, mais pas nécessairement à C1C^1.
Une fonction de classe CnC^n est nn fois dérivable et sa dérivée nn-ième est continue.
La condition de classe CnC^n demande que la dérivée première soit continue, quel que soit nn.
L’ensemble C0(I,R)C^0(I,\mathbb{R}) désigne les fonctions dérivables sur II.
Toute fonction de classe CnC^n appartient à Cn+1C^{n+1} sur le même intervalle.

Une fonction de classe $$C^n$$ est $$n$$ fois dérivable et sa dérivée $$n$$-ième est continue.

Explication

La classe CnC^n exige que la fonction soit nn fois dérivable et que sa dérivée d’ordre nn soit continue. On a Cn⊂CkC^n\subset C^k pour 0≤k≤n0\le k\le n, donc C2C^2 implique C1C^1, mais pas nécessairement C3C^3 ; C0C^0 désigne les fonctions continues.

9. Une fonction tend vers −2-2 à l’extrémité +∞+∞ de son domaine et diverge vers +∞+∞ en s’approchant de aa par le côté du domaine. Cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La courbe admet une asymptote verticale d’équation y=ay=a au voisinage de aa.
L’asymptote horizontale correspond ici à la droite verticale x=−2x=-2.
La divergence au voisinage de aa donne une asymptote horizontale d’équation y=ay=a.
La limite finie en +∞+∞ indique une asymptote verticale d’équation x=−2x=-2.
La courbe admet l’asymptote horizontale d’équation y=−2y=-2 en +∞+∞.

La courbe admet l’asymptote horizontale d’équation $$y=-2$$ en $$+∞$$.

Explication

Une limite finie égale à −2-2 à l’extrémité infinie donne l’asymptote horizontale y=−2y=-2. Une divergence vers l’infini en approchant aa correspond à une asymptote verticale x=ax=a, et non aux droites proposées.

10. Concernant les fonctions affines et la fonction inverse, quelles sont les propositions exactes ?

La fonction f(x)=3x−2f(x)=3x-2 est affine, de pente 33 et d’ordonnée à l’origine −2-2.
La fonction 1/x1/x tend vers 00 aux deux extrémités infinies.
La fonction f(x)=5xf(x)=5x est linéaire et sa droite passe par l’origine.
La courbe de f(x)=ax+bf(x)=ax+b est une droite de pente aa.
La fonction 1/x1/x admet l’asymptote verticale d’équation x=0x=0.

La fonction $$f(x)=3x-2$$ est affine, de pente $$3$$ et d’ordonnée à l’origine $$-2$$. · La fonction $$1/x$$ tend vers $$0$$ aux deux extrémités infinies. · La fonction $$f(x)=5x$$ est linéaire et sa droite passe par l’origine. · La courbe de $$f(x)=ax+b$$ est une droite de pente $$a$$. · La fonction $$1/x$$ admet l’asymptote verticale d’équation $$x=0$$.

Explication

Une fonction affine s’écrit ax+bax+b : sa pente est aa et son ordonnée à l’origine est bb ; lorsque b=0b=0, elle est linéaire et passe par l’origine. La fonction inverse possède l’asymptote verticale x=0x=0 et tend vers zéro en +∞+∞ comme en −∞-∞.

11. Pour la fonction affine f(x)=−3x+5f(x)=-3x+5, quelles propositions sont exactes ?

Sa limite en +∞+\infty est +∞+\infty et sa limite en −∞-\infty est −∞-\infty.
La fonction est strictement décroissante sur R\mathbb{R}, car sa pente est négative.
La fonction est strictement croissante sur R\mathbb{R}, car son ordonnée à l’origine est positive.
La fonction n’est pas constante, puisque sa pente est différente de zéro.
Sa limite en +∞+\infty est −∞-\infty et sa limite en −∞-\infty est +∞+\infty.

La fonction est strictement décroissante sur $$\mathbb{R}$$, car sa pente est négative. · La fonction n’est pas constante, puisque sa pente est différente de zéro. · Sa limite en $$+\infty$$ est $$-\infty$$ et sa limite en $$-\infty$$ est $$+\infty$$.

Explication

Une pente négative rend la fonction strictement décroissante et impose les limites −∞-\infty en +∞+\infty et +∞+\infty en −∞-\infty. L’ordonnée à l’origine ne détermine pas le sens de variation ; une pente non nulle exclut la fonction constante.

12. Sur leurs domaines de définition, quelles caractéristiques des fonctions puissances d’exposant entier sont exactes ?

Pour un exposant entier impair, la fonction puissance est paire.
La fonction associée à un exposant entier négatif est définie sur R∗\mathbb{R}^*.
Pour un exposant entier pair non nul, la fonction puissance est impaire.
Pour un exposant entier positif, la fonction puissance est définie sur R∗\mathbb{R}^*.
La dérivée de x↦xnx\mapsto x^n est xn−1x^{n-1} pour tout entier n≠0n\ne0.

La fonction associée à un exposant entier négatif est définie sur $$\mathbb{R}^*$$.

Explication

Un exposant négatif exclut zéro du domaine, qui est donc R∗\mathbb{R}^*. Un exposant pair donne une fonction paire et un exposant impair une fonction impaire ; la dérivée correcte est nxn−1nx^{n-1}.

13. Pour les valeurs 0,40{,}4, 11 et 2,52{,}5, quelles propositions concernant le logarithme népérien sont exactes ?

La fonction ln⁡\ln est définie en 11 et vérifie ln⁡(1)=0\ln(1)=0.
La fonction ln⁡\ln est définie en zéro et sa dérivée y vaut 11.
La fonction ln⁡\ln est strictement croissante sur R+∗\mathbb{R}_+^*.
Comme 0,4<10{,}4<1, on a ln⁡(0,4)<0\ln(0{,}4)<0.
Comme 2,5>12{,}5>1, on a ln⁡(2,5)<0\ln(2{,}5)<0.

La fonction $$\ln$$ est définie en $$1$$ et vérifie $$\ln(1)=0$$. · La fonction $$\ln$$ est strictement croissante sur $$\mathbb{R}_+^*$$. · Comme $$0{,}4<1$$, on a $$\ln(0{,}4)<0$$.

Explication

Le logarithme est négatif entre zéro et un, nul en un et strictement croissant sur les réels strictement positifs. Il est positif au-dessus de un, et il n’est pas défini en zéro ; pour x>0x>0, sa dérivée vaut 1x\frac{1}{x}.

14. Quand x tend vers les bornes du domaine de ln ou devient grand, quelles propositions sont exactes ?

Lorsque x tend vers +∞, ln(x) tend vers +∞.
Lorsque x tend vers +∞, le quotient ln(x)/x tend vers +∞.
Pour x=0,2, l’inégalité ln(1+x)≤x donne ln(1,2)≤0,2.
Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, ln(x) tend vers +∞.
Pour x=0,5, l’inégalité ln(1+x)≤x donne ln(1,5)≤0,5.

Lorsque x tend vers +∞, ln(x) tend vers +∞. · Pour x=0,2, l’inégalité ln(1+x)≤x donne ln(1,2)≤0,2. · Pour x=0,5, l’inégalité ln(1+x)≤x donne ln(1,5)≤0,5.

Explication

Le logarithme diverge vers +∞ en +∞ et l’inégalité s’applique pour x>−1, donc aux deux valeurs positives proposées. En 0⁺, ln(x) tend vers −∞, et ln(x)/x tend vers 0⁺ à l’infini.

15. Parmi les propositions suivantes concernant la fonction exponentielle, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

La fonction exp est la bijection réciproque de ln, de ℝ vers ℝ.
La fonction exp est la bijection réciproque de ln, de ℝ vers ℝ⁺*.
La fonction exp est la bijection réciproque de ln, de ℝ⁺* vers ℝ.
La fonction exp est une bijection de ℝ⁺* vers ℝ⁺* réciproque de ln.
La fonction exp est la bijection réciproque du logarithme décimal, de ℝ vers ℝ⁺*.

La fonction exp est la bijection réciproque de ln, de ℝ vers ℝ⁺*.

Explication

La fonction exponentielle est la réciproque du logarithme népérien, dont le domaine est ℝ⁺* et l’image ℝ; exp va donc de ℝ vers ℝ⁺*. Les autres propositions inversent ces ensembles ou substituent le logarithme décimal.

16. Soit u dérivable avec u(0)=2 et u'(0)=3 ; quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) concernant exp(u) ?

La fonction exp est décroissante sur ℝ.
La dérivée de exp(u) en 0 vaut exp(2).
La dérivée de exp(u) en 0 vaut 3 exp(3).
La dérivée de exp(u) en 0 vaut 3 exp(2).
La dérivée de exp(u) en 0 vaut 2 exp(3).

La dérivée de exp(u) en 0 vaut 3 exp(2).

Explication

La règle de dérivation composée donne (exp(u))'=u'exp(u), donc la valeur en 0 est 3 exp(2). La dérivée n’est ni exp(2) ni les expressions utilisant exp(3); par ailleurs, exp est strictement croissante.

17. Concernant la notation exponentielle exe^x, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La valeur de e0e^0 est égale à 11.
La notation exe^x désigne la valeur de la fonction exponentielle en xx.
La notation exe^x désigne la fonction logarithme décimal en xx.
La valeur de e1e^1 est égale à 11.
La notation exe^x désigne le logarithme népérien de xx.

La valeur de $$e^0$$ est égale à $$1$$. · La notation $$e^x$$ désigne la valeur de la fonction exponentielle en $$x$$.

Explication

Par définition de la notation, ex=exp⁡(x)e^x=\exp(x), et la valeur en zéro est e0=1e^0=1. Le logarithme népérien et le logarithme décimal sont d’autres fonctions ; en outre, e1=ee^1=e, et non 11.

18. Pour les limites de l’exponentielle et de ses expressions associées, quelles propositions sont exactes ?

Quand xx tend vers +∞+\infty, exe^x tend vers +∞+\infty.
Quand xx tend vers −∞-\infty, exe^x tend vers −∞-\infty.
Quand xx tend vers −∞-\infty, xexxe^x tend vers 0+0^+.
Quand xx tend vers −∞-\infty, exe^x tend vers 11.
Quand xx tend vers +∞+\infty, exx\frac{e^x}{x} tend vers 00.

Quand $$x$$ tend vers $$+\infty$$, $$e^x$$ tend vers $$+\infty$$.

Explication

L’exponentielle tend vers +∞+\infty lorsque son argument tend vers +∞+\infty. À −∞-\infty, elle tend vers 0+0^+ ; de plus, ex/xe^x/x tend vers +∞+\infty à droite et xexxe^x vers 0−0^- à gauche.

19. Pour comparer exe^x à sa tangente en zéro, quelles affirmations sont exactes ?

Pour x=−2x=-2, l’inégalité donne e−2≤−1e^{-2}\leq -1.
Pour x=2x=2, l’inégalité donne e2≥3e^2\geq 3.
Pour x=−1x=-1, l’inégalité donne e−1≥0e^{-1}\geq 0.
Pour tout réel xx, l’inégalité exponentielle est ex≤1+xe^x\leq 1+x.
L’égalité ex=1+xe^x=1+x est réalisée pour x=1x=1.

Pour $$x=2$$, l’inégalité donne $$e^2\geq 3$$. · Pour $$x=-1$$, l’inégalité donne $$e^{-1}\geq 0$$.

Explication

En remplaçant xx par 22, on obtient e2≥3e^2\geq3 ; pour x=−1x=-1, on obtient e−1≥0e^{-1}\geq0. L’égalité a lieu en x=0x=0, et l’inégalité est orientée ex≥1+xe^x\geq1+x, ce qui invalide les autres affirmations.

20. Pour interpréter une puissance réelle aba^b, quelles propositions respectent sa définition ?

La définition des puissances réelles s’applique à tout réel aa, y compris a=0a=0.
La définition pour a>0a>0 et b∈Rb\in\mathbb R est ab=ealn⁡(b)a^b=e^{a\ln(b)}.
Avec a=4a=4 et b=12b=\frac12, la définition donne 41/2=e12ln⁡(4)4^{1/2}=e^{\frac12\ln(4)}.
Avec a=2a=2 et b=3b=3, la définition donne 23=e3ln⁡(2)2^3=e^{3\ln(2)}.
Pour a>0a>0 et b∈Rb\in\mathbb R, ab=ebln⁡(a)a^b=e^{b\ln(a)}.

Avec $$a=4$$ et $$b=\frac12$$, la définition donne $$4^{1/2}=e^{\frac12\ln(4)}$$. · Avec $$a=2$$ et $$b=3$$, la définition donne $$2^3=e^{3\ln(2)}$$. · Pour $$a>0$$ et $$b\in\mathbb R$$, $$a^b=e^{b\ln(a)}$$.

Explication

La définition est ab=ebln⁡(a)a^b=e^{b\ln(a)} pour une base strictement positive et un exposant réel ; les deux calculs proposés l’appliquent correctement. Elle ne place pas la base dans le logarithme comme aln⁡(b)a\ln(b) et ne s’étend pas, sous cette définition, à la base zéro.

21. Une fonction exponentielle est étudiée avec une base a=0,4a=0{,}4. Quelles conclusions sur sa monotonie et sa valeur constante sont exactes ?

La fonction x↦0,4xx\mapsto 0{,}4^x est strictement décroissante sur R\mathbb{R}.
Pour une base égale à 11, la fonction exponentielle est constante égale à 11.
Pour une base comprise entre 00 et 11, la fonction est constante égale à 11.
Pour une base supérieure à 11, la fonction exponentielle est strictement décroissante.
La fonction x↦0,4xx\mapsto 0{,}4^x est strictement croissante sur R\mathbb{R}.

La fonction $$x\mapsto 0{,}4^x$$ est strictement décroissante sur $$\mathbb{R}$$. · Pour une base égale à $$1$$, la fonction exponentielle est constante égale à $$1$$.

Explication

Une base comprise entre zéro et un donne une fonction strictement décroissante, tandis qu’une base égale à un donne la fonction constante égale à un. Une base supérieure à un correspond au contraire à une fonction strictement croissante; la base 0,4 ne donne donc ni croissance ni constance.

22. Pour une base a=2a=2, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) concernant les limites de axa^x :

Quand xx tend vers −∞-\infty, 2x2^x tend vers 00.
Quand xx tend vers −∞-\infty, 2x2^x tend vers +∞+\infty.
Quand xx tend vers +∞+\infty, 2x2^x tend vers 00.
Quand xx tend vers −∞-\infty, 2x2^x tend vers 11.
Quand xx tend vers +∞+\infty, 2x2^x tend vers +∞+\infty.

Quand $$x$$ tend vers $$-\infty$$, $$2^x$$ tend vers $$0$$. · Quand $$x$$ tend vers $$+\infty$$, $$2^x$$ tend vers $$+\infty$$.

Explication

Pour toute base supérieure à un, l’exponentielle tend vers zéro lorsque l’argument tend vers −∞-\infty et vers +∞+\infty lorsque l’argument tend vers +∞+\infty. Les autres propositions inversent ces comportements ou donnent une limite incorrecte.

23. Parmi les propositions suivantes concernant les valeurs et les limites du logarithme décimal, laquelle est exacte ?

Pour tout entier nn, log⁡(10n)=nln⁡(10)\log(10^n)=n\ln(10).
Pour tout entier nn, log⁡(10n)=n\log(10^n)=n.
Pour tout entier nn, log⁡(10n)=10n\log(10^n)=10n.
Quand xx tend vers 0+0^+, log⁡(x)\log(x) tend vers +∞+\infty.
Quand xx tend vers +∞+\infty, log⁡(x)\log(x) tend vers −∞-\infty.

Pour tout entier $$n$$, $$\log(10^n)=n$$.

Explication

La propriété des puissances de dix donne log⁡(10n)=n\log(10^n)=n pour tout entier nn. À l’approche de zéro par valeurs positives, le logarithme tend vers −∞-\infty, et à l’infini il tend vers +∞+\infty; les deux autres expressions déforment la valeur de la propriété.

24. Pour a,b>0a,b>0, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) concernant le logarithme décimal :

Le logarithme décimal de a2a^2 vaut log⁡(a)+2\log(a)+2.
Le logarithme décimal de abab est le produit de ceux de aa et de bb.
Le logarithme décimal de a/ba/b est la différence de log⁡(a)\log(a) et de log⁡(a)\log(a).
Le logarithme décimal de a3a^3 vaut 3+log⁡(a)3+\log(a).
Le logarithme décimal de abab est la somme de ceux de aa et de bb.

Le logarithme décimal de $$ab$$ est la somme de ceux de $$a$$ et de $$b$$.

Explication

Le logarithme d’un produit se décompose en somme : log⁡(ab)=log⁡(a)+log⁡(b)\log(ab)=\log(a)+\log(b). Le logarithme d’une puissance multiplie le logarithme par l’exposant, tandis que celui d’un quotient est log⁡(a)−log⁡(b)\log(a)-\log(b). Ainsi, le logarithme du quotient n’est pas la différence de deux logarithmes identiques.

25. Pour f(x)=x3/2f(x)=x^{3/2} avec x>0x>0, quelles propositions concernant les fonctions puissances sont exactes ?

La fonction puissance d’exposant 3/23/2 réalise une bijection de R+∗\mathbb{R}_+^* sur R+∗\mathbb{R}_+^*, de réciproque d’exposant 3/23/2.
La fonction puissance d’exposant 3/23/2 est strictement croissante sur R+∗\mathbb{R}_+^*.
La dérivée de ff en xx vaut 32x1/2\frac{3}{2}x^{1/2}.
Toute fonction puissance d’exposant négatif est strictement décroissante sur R+∗\mathbb{R}_+^*.
Toute fonction puissance d’exposant positif est strictement décroissante sur R+∗\mathbb{R}_+^*.

La fonction puissance d’exposant $$3/2$$ est strictement croissante sur $$\mathbb{R}_+^*$$. · La dérivée de $$f$$ en $$x$$ vaut $$\frac{3}{2}x^{1/2}$$. · Toute fonction puissance d’exposant négatif est strictement décroissante sur $$\mathbb{R}_+^*$$.

Explication

La dérivée de x3/2x^{3/2} vaut 32x1/2\frac{3}{2}x^{1/2}, et la fonction puissance d’exposant 3/23/2 est strictement croissante sur R+∗\mathbb{R}_+^*. Pour un exposant réel non entier, cette fonction réalise une bijection de R+∗\mathbb{R}_+^* sur lui-même, dont la réciproque a pour exposant 2/32/3. Une puissance d’exposant négatif est strictement décroissante sur R+∗\mathbb{R}_+^*, contrairement à une puissance d’exposant positif.

26. Une fonction puissance d’exposant réel non entier α>0\alpha>0 est considérée sur R+∗\mathbb{R}_+^*. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

Lorsque xx tend vers +∞+\infty, xαx^\alpha tend vers +∞+\infty.
La fonction x↦xαx\mapsto x^\alpha réalise une bijection de R+∗\mathbb{R}_+^* sur lui-même.
Lorsque xx tend vers 00 par valeurs positives, xαx^\alpha tend vers +∞+\infty.
La réciproque de cette bijection est la fonction puissance d’exposant 1/α1/\alpha.
Lorsque xx tend vers 00 par valeurs positives, xαx^\alpha tend vers 00.

Lorsque $$x$$ tend vers $$+\infty$$, $$x^\alpha$$ tend vers $$+\infty$$. · La fonction $$x\mapsto x^\alpha$$ réalise une bijection de $$\mathbb{R}_+^*$$ sur lui-même. · La réciproque de cette bijection est la fonction puissance d’exposant $$1/\alpha$$. · Lorsque $$x$$ tend vers $$0$$ par valeurs positives, $$x^\alpha$$ tend vers $$0$$.

Explication

Pour un exposant positif, la puissance tend vers 00 au voisinage droit de zéro et vers +∞+\infty à l’infini. Pour un exposant réel non entier, elle est une bijection de R+∗\mathbb{R}_+^* sur lui-même, dont la réciproque a pour exposant 1/α1/\alpha.

27. On compare les comportements de fonctions exponentielles et logarithmiques près de leurs bornes. Quelles propositions sont exactes ?

Quand x→+∞x\to+\infty, e2xx5\frac{e^{2x}}{x^5} tend vers 00.
Quand x→0+x\to0^+, x3∣ln⁡x∣2x^3|\ln x|^2 tend vers +∞+\infty.
Quand x→0+x\to0^+, x2∣ln⁡x∣4x^2|\ln x|^4 tend vers 00 par valeurs positives.
Quand x→0+x\to0^+, x3∣ln⁡x∣2x^3|\ln x|^2 tend vers 00 par valeurs positives.
Quand x→+∞x\to+\infty, e2xx5\frac{e^{2x}}{x^5} tend vers +∞+\infty.

Quand $$x\to0^+$$, $$x^2|\ln x|^4$$ tend vers $$0$$ par valeurs positives. · Quand $$x\to0^+$$, $$x^3|\ln x|^2$$ tend vers $$0$$ par valeurs positives. · Quand $$x\to+\infty$$, $$\frac{e^{2x}}{x^5}$$ tend vers $$+\infty$$.

Explication

À l’infini, l’exponentielle de taux positif domine toute puissance, donc le premier quotient tend vers +∞+\infty. Au voisinage droit de zéro, une puissance positive de xx multipliée par toute puissance de ∣ln⁡x∣|\ln x| tend vers 0+0^+; les propositions contraires inversent ces limites.

28. Concernant la fonction arcsin⁡\arcsin, quelles propositions sont exactes ?

Elle est strictement croissante sur son intervalle de définition.
Sa dérivée en x=1/2x=1/2 vaut 1/21/2.
En x=0x=0, sa dérivée vaut 11.
Elle est définie sur [−1,1][-1,1] et à valeurs dans [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2].
Elle est dérivable en x=1x=1 avec une dérivée finie.

Elle est strictement croissante sur son intervalle de définition. · En $$x=0$$, sa dérivée vaut $$1$$. · Elle est définie sur $$[-1,1]$$ et à valeurs dans $$[-\pi/2,\pi/2]$$.

Explication

Sur ]−1,1[]-1,1[, arcsin⁡′(x)=1/1−x2\arcsin'(x)=1/\sqrt{1-x^2}, donc arcsin⁡′(0)=1\arcsin'(0)=1; à x=1/2x=1/2, la dérivée vaut 2/32/\sqrt{3}, et non 1/21/2. La fonction est une bijection de [−1,1][-1,1] vers [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2], strictement croissante, mais n’est pas dérivable aux bornes.

29. Concernant la fonction arccos :

Elle est strictement croissante sur [−1,1] et prend ses valeurs dans [0,π].
Elle est une bijection de [−1,1] sur [−π/2,π/2].
Sur ]−1,1[, sa dérivée est −11−x2-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Elle associe à chaque réel de [−1,1] une valeur appartenant à [0,π].
Elle est dérivable aux deux extrémités de son domaine, −1 et 1.

Sur ]−1,1[, sa dérivée est $$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$. · Elle associe à chaque réel de [−1,1] une valeur appartenant à [0,π].

Explication

Arccos est une bijection de [−1,1] sur [0,π], et sa dérivée sur ]−1,1[ vaut −11−x2-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Elle est décroissante, n’est pas dérivable en −1 ni en 1, et son image n’est pas [−π/2,π/2].

30. Parmi les propositions suivantes concernant arctan, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Elle réalise une bijection de ]−π/2,π/2[ vers ℝ.
Elle est strictement croissante sur ℝ et son image est ]−π/2,π/2[.
Elle est impaire et son image est ]−π,π[.
Elle réalise une bijection continue de ℝ vers ]−π/2,π/2[.
Elle est paire sur ℝ et son image est ]−π/2,π/2[.

Elle est strictement croissante sur ℝ et son image est ]−π/2,π/2[. · Elle réalise une bijection continue de ℝ vers ]−π/2,π/2[.

Explication

Arctan est continue et strictement croissante sur ℝ, avec pour image ]−π/2,π/2[ ; elle est donc bijective entre ces ensembles. Elle est impaire, et son image n’est pas ℝ.

31. Les fonctions hyperboliques ch et sh sont définies par :

Pour tout réel xx, ch⁡(x)=ex−e−x2\operatorname{ch}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}.
La fonction ch est paire et la fonction sh est impaire.
La fonction ch est impaire et la fonction sh est paire.
Pour tout réel xx, ch⁡2(x)−sh⁡2(x)=1\operatorname{ch}^2(x)-\operatorname{sh}^2(x)=1.
Pour tout réel xx, ch⁡(x)=ex+e−x2\operatorname{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.

La fonction ch est paire et la fonction sh est impaire. · Pour tout réel $$x$$, $$\operatorname{ch}^2(x)-\operatorname{sh}^2(x)=1$$. · Pour tout réel $$x$$, $$\operatorname{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$.

Explication

La définition de ch utilise la somme des exponentielles, tandis que celle de sh utilise leur différence. Ch est paire, sh est impaire, et elles vérifient l’identité ch⁡2(x)−sh⁡2(x)=1\operatorname{ch}^2(x)-\operatorname{sh}^2(x)=1.

32. Une étude porte sur ch au point x=2x=2 et sur une fonction complexe f:I→Cf:I\to\mathbb C. Quelles propositions sont exactes ?

La fonction ch atteint son maximum, égal à 1, en 0.
La partie réelle de ff en xx est Re⁡(x)\operatorname{Re}(x).
La dérivée de ch en 2 vaut sh⁡(2)\operatorname{sh}(2).
La dérivée de ch en 2 vaut ch⁡(2)\operatorname{ch}(2).
La fonction ch atteint son minimum, égal à 1, en 0.

La dérivée de ch en 2 vaut $$\operatorname{sh}(2)$$. · La fonction ch atteint son minimum, égal à 1, en 0.

Explication

La relation de dérivation est ch⁡′=sh⁡\operatorname{ch}'=\operatorname{sh}, et ch atteint son minimum ch(0)=1 en 0. La partie réelle d’une fonction complexe est définie par Re⁡(f)(x)=Re⁡(f(x))\operatorname{Re}(f)(x)=\operatorname{Re}(f(x)), et non par la partie réelle de l’argument.

33. Pour des fonctions complexes dérivables ff et gg, et h(θ)=eiθh(\theta)=e^{i\theta}, quelles propositions sont exactes ?

La dérivée de fgfg est f′g−fg′f'g-fg'.
La dérivée de fgfg est f′g+fg′f'g+fg'.
La dérivée de hh vaut ieiθie^{i\theta}.
La dérivabilité de ff requiert celle de sa partie réelle et la continuité de son imaginaire.
La dérivabilité de ff requiert celles de ses parties réelle et imaginaire.

La dérivée de $$fg$$ est $$f'g+fg'$$. · La dérivée de $$h$$ vaut $$ie^{i\theta}$$. · La dérivabilité de $$f$$ requiert celles de ses parties réelle et imaginaire.

Explication

Une fonction complexe est dérivable lorsque ses parties réelle et imaginaire le sont, et sa dérivée se forme à partir de leurs dérivées. La règle du produit est (fg)′=f′g+fg′ (fg)'=f'g+fg' ; pour l’exponentielle complexe considérée, la dérivée est ieiθie^{i\theta}.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 89 flashcards sur Fonctions réelles et logarithme népérien.

Qu’est-ce que l’ensemble de définition d’une fonction réelle ?

L’ensemble des réels pour lesquels la fonction existe.

Quels points forment la courbe représentative d’une fonction f ?

Les points (x,f(x))(x,f(x)) pour lesquels x appartient au domaine de définition de f.

Sur quel domaine la somme de deux fonctions f et g est-elle définie ?

Sur Df∩DgD_f\cap D_g.

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