Fiche de révision : Fondements de la mécanique newtonienne

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées et bases locales
2. Cinématique en coordonnées polaires
3. Lois de Newton et référentiels
4. Forces et frottements mécaniques
5. Oscillateurs et résonance
6. Travail et énergie mécanique
7. Mouvement sous force centrale
8. Gravitation et trajectoires orbitales
9. Chocs et conservation
10. Applications mécaniques couplées

📖 1. Coordonnées et bases locales

🔑 Notions clés & Définitions

• Gradient : Le vecteur qui vérifie la relation différentielle $df=\vec{\nabla}f\cdot d\vec r$.

★ À maîtriser

• Les coordonnées cartésiennes repèrent un point par ses composantes selon trois axes fixes, tandis que les coordonnées cylindriques et sphériques s’appuient sur des bases locales.

Compléments

• En coordonnées cylindriques, le vecteur de position s’écrit $\vec{OM}=r\vec u_r+z\vec u_z$.

📖 2. Cinématique en coordonnées polaires

★ À maîtriser

• En coordonnées polaires, la dérivée temporelle du vecteur radial vérifie $\frac{d\vec u_r}{dt}=\dot\theta\vec u_\theta$.

📐 Formule - En coordonnées polaires, la vitesse vaut $\vec v=\dot r\vec u_r+r\dot\theta\vec u_\theta$.

📐 Formule - En coordonnées polaires, l’accélération vaut $\vec a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\vec u_r+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\vec u_\theta$.

Compléments

• En coordonnées sphériques, la vitesse se décompose selon les vecteurs de base locaux associés aux coordonnées radiale et angulaires.

📖 3. Lois de Newton et référentiels

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel galiléen : Un référentiel dans lequel les lois de Newton s’appliquent sous leur forme usuelle.

★ À maîtriser

📌 Dans un référentiel galiléen, la deuxième loi de Newton s’écrit $\sum\vec F=m\vec a$.

• En l’absence de force, un corps conserve son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen.

Compléments

• Le poids d’un corps de masse m dans un champ de pesanteur uniforme vaut $\vec P=m\vec g$.

📖 4. Forces et frottements mécaniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Force conservative : Une force dont le travail entre deux points ne dépend que de ces points et peut être décrit par une énergie potentielle.

★ À maîtriser

📐 Formule - La force de rappel d’un ressort idéal de raideur k et de longueur à vide ℓ0 vaut $\vec F=-k(\ell-\ell_0)\vec u$ le long de son axe.

📐 Formule - Le modèle de frottement fluide linéaire s’écrit $\vec f=-\alpha\vec v$, où α est un coefficient positif.

• Les lois de Coulomb distinguent le frottement statique, qui empêche le glissement jusqu’à un seuil, du frottement dynamique, qui agit pendant le glissement.

Compléments

• Le stick-slip alterne entre les phases suivantes :
  • adhérence
  • glissement
  • décollement

💡 Astuce mémo

Frottement fluide : opposé à la vitesse ; frottement solide : adhérence ou glissement.

📖 5. Oscillateurs et résonance

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation du pendule simple sans frottement est $\ddot\theta+\frac{g}{\ell}\sin\theta=0$.

📐 Formule - Aux petits angles, le pendule simple vérifie $\ddot\theta+\omega_0^2\theta=0$ avec $\omega_0=\sqrt{\frac g\ell}$.

📐 Formule - Un oscillateur harmonique de masse m et de raideur k vérifie $\ddot x+\frac{k}{m}x=0$ et sa pulsation propre vaut $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$.

📐 Formule - Un oscillateur amorti linéaire vérifie une équation de la forme $\ddot x+\frac{\omega_0}{Q}\dot x+\omega_0^2x=0$.

Compléments

• Le facteur de qualité Q est sans dimension.

• Un oscillateur soumis à une excitation sinusoïdale présente une résonance lorsque la pulsation de l’excitation correspond à une pulsation privilégiée du système.

📖 6. Travail et énergie mécanique

★ À maîtriser

📐 Formule - L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle, soit $E_m=E_c+E_p$.

📌 Lorsque seules des forces conservatives travaillent, l’énergie mécanique se conserve.

📌 La variation de l’énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives entre les états considérés.

Compléments

• La puissance d’une force appliquée à un point matériel est le produit scalaire de cette force par la vitesse du point.

📐 Formule - L’énergie potentielle de pesanteur dans un champ uniforme peut s’écrire $E_p=mgz+C$, où C est une constante de référence.

📐 Formule - L’énergie potentielle d’un ressort idéal relativement à sa longueur à vide vaut $E_p=\frac12 k(\ell-\ell_0)^2$.

💡 Astuce mémo

Force non conservative → énergie mécanique variable.

📖 7. Mouvement sous force centrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Force centrale : Une force dont la direction est portée par la droite reliant le point matériel à un centre fixe.

★ À maîtriser

📌 Sous l’action d’une force centrale, le moment cinétique par rapport au centre est conservé lorsque le moment de la force par rapport à ce centre est nul.

Compléments

• Le mouvement d’un point soumis à une force centrale se déroule dans un plan perpendiculaire au moment cinétique conservé.

📐 Formule - Pour une force centrale conservative, l’énergie mécanique radiale s’écrit $E=\frac12m\dot r^2+E_{p,\mathrm{eff}}(r)$.

📖 8. Gravitation et trajectoires orbitales

★ À maîtriser

📐 Formule - La force gravitationnelle exercée par une masse M sur une masse m à distance r a pour norme $F=\frac{GMm}{r^2}$ et est attractive.

📐 Formule - L’énergie potentielle gravitationnelle de deux masses séparées par r, prise nulle à l’infini, vaut $E_p=-\frac{GMm}{r}$.

• Les lois de Kepler portent sur : la forme des orbites, les aires balayées, la relation entre période et taille de l’orbite

Compléments

📐 Formule - Pour une orbite circulaire uniforme autour d’une masse M, la vitesse orbitale vérifie $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$.

📐 Formule - L’énergie mécanique d’un satellite sur une orbite circulaire de rayon r vaut $E_m=-\frac{GMm}{2r}$.

• Une orbite géostationnaire est circulaire, dans le plan de l’équateur, et le satellite y reste fixe dans le référentiel terrestre.

📖 9. Chocs et conservation

★ À maîtriser

📌 Pendant un choc suffisamment bref, la quantité de mouvement du système est conservée si la résultante des impulsions extérieures est négligeable.

📌 Lors d’un choc élastique, l’énergie cinétique totale du système est conservée.

Compléments

• Dans un choc élastique frontal entre deux masses identiques, la première masse au repos initialement après le choc et la seconde acquiert sa vitesse initiale.

📖 10. Applications mécaniques couplées

★ À maîtriser

• Pour deux oscillateurs couplés, les modes propres correspondent à des mouvements où les masses oscillent en phase ou en opposition de phase.

Compléments

• Un couplage entre oscillateurs peut transférer périodiquement l’énergie d’un oscillateur à l’autre.

• Pour un satellite soumis à un frottement atmosphérique tout en restant sur une orbite circulaire, la vitesse orbitale augmente lorsque le rayon de l’orbite diminue.

• Un transfert de Hohmann entre deux orbites circulaires utilise une orbite elliptique de transfert et deux impulsions orthoradiales.