QCM : Forme canonique et équations du second degré — 13 questions

Question 1

1. Quelle identité permet de compléter le carré dans l’expression $x^2+mx$ pour tout réel $m$ ?

\left(x+\frac{m}{2}\right)^2-\left(\frac{m}{2}\right)^2

\left(x+\frac{m}{2}\right)^2+\left(\frac{m}{2}\right)^2

\left(x+m\right)^2-\left(\frac{m}{2}\right)^2

\left(x-\frac{m}{2}\right)^2+\left(\frac{m}{2}\right)^2

Explication

Le terme ajouté dans le carré est la moitié de $m$ , puis son carré est soustrait pour conserver l’expression initiale. La variante avec une addition finale modifierait la valeur de l’expression au lieu de préserver son égalité.

Answer

$$\left(x+\frac{m}{2}\right)^2-\left(\frac{m}{2}\right)^2$$

Question 2

2. Pour transformer correctement $x^2+6x$ en une différence contenant un carré parfait, quelle opération faut-il effectuer ?

Ajouter puis soustraire

6

Ajouter puis soustraire

3

Ajouter puis soustraire

9

Ajouter

9

sans opération compensatrice

Explication

La moitié du coefficient de $x$ vaut $3$ , donc le carré à utiliser est $3^2=9$ , qui doit être ajouté puis soustrait. Ajouter ce terme sans le retirer changerait l’expression de départ.

Answer

Ajouter puis soustraire $$9$$

Question 3

3. Pour $g(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , quelle écriture définit sa forme canonique ?

g(x)=\alpha(x-a)^2+\beta

g(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

g(x)=a(x+\alpha)^2-\beta

g(x)=a(x-\beta)^2+\alpha

Explication

La forme canonique associe le coefficient $a$ au carré et les paramètres $\alpha$ et $\beta$ selon $g(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ . Les coefficients $a$ , $b$ et $c$ caractérisent plutôt la forme développée.

Answer

$$g(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$

Question 4

4. Quelle forme canonique obtient-on pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ ?

a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b^2-4ac}{4a}

a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{2a}

a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}

a\left(x-\frac{b}{a}\right)^2+\frac{b^2-4ac}{4a}

Explication

La complétion du carré conduit au déplacement $\frac{b}{2a}$ dans la parenthèse et au terme constant $-\frac{b^2-4ac}{4a}$ . Changer simultanément le signe dans la parenthèse et celui du terme final ne donne pas la même identité générale.

Answer

$$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$$

Question 5

5. Laquelle de ces équations correspond à la définition d’une équation du second degré à une inconnue ?

3x^2-5=2x^3

3x^3-5x+2=0

5x-2=0

3x^2-5x+2=0

Explication

Une équation du second degré s’écrit sous la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$ , ce qui est le cas de l’équation proposée. Une équation linéaire ou cubique ne possède pas cette forme de degré deux.

Answer

$$3x^2-5x+2=0$$

Question 6

6. Combien de solutions réelles possède l’équation $x^2=16$ ?

Une seule solution négative,

x=-4

Une seule solution positive,

x=4

Deux solutions opposées,

x=-4

et

x=4

Aucune solution réelle, car le membre droit est non nul

Explication

Comme $16>0$ , les deux racines carrées réelles sont $-\sqrt{16}=-4$ et $\sqrt{16}=4$ . Garder seulement la racine positive confond la résolution dans les réels avec la définition de la racine carrée principale.

Answer

Deux solutions opposées, $$x=-4$$ et $$x=4$$

Question 7

7. Pourquoi l’équation $x^2=-9$ n’a-t-elle pas de solution dans les nombres réels ?

Parce que le carré réel d’un nombre est positif ou nul

Parce que le carré réel d’un nombre ne peut valoir que zéro

Parce que toute équation carrée possède deux solutions réelles

Parce que le carré réel d’un nombre est toujours strictement positif

Explication

Le carré d’un nombre réel est toujours supérieur ou égal à zéro, tandis que $-9$ est strictement négatif. Dire qu’un carré réel est toujours strictement positif exclurait à tort le cas du carré de zéro.

Answer

Parce que le carré réel d’un nombre est positif ou nul

Question 8

8. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ ?

\Delta=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\Delta=-\frac{b}{2a}

\Delta=b^2-4ac

\Delta=b^2+4ac

Explication

Le discriminant se calcule en soustrayant $4ac$ de $b^2$ . L’expression $-\frac{b}{2a}$ donne l’abscisse du sommet ou la racine double dans un cas particulier, mais ne définit pas le discriminant.

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Question 9

9. Que peut-on conclure d’une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

Elle ne possède aucune solution réelle.

Elle possède une solution réelle égale à

-\frac{b}{2a}

.

Elle possède deux solutions réelles distinctes.

Elle possède une racine réelle de multiplicité deux.

Explication

Un discriminant négatif indique que l’équation ne possède aucune solution dans l’ensemble des nombres réels. La racine double correspond au cas $\Delta=0$ , tandis que deux solutions distinctes apparaissent lorsque $\Delta>0$ .

Answer

Elle ne possède aucune solution réelle.

Question 10

10. Quelle est la solution d’une équation du second degré lorsque $\Delta=0$ ?

Une racine double

x_0=\frac{b}{2a}

.

Une racine double

x_0=-\frac{b}{2a}

.

Deux racines distinctes obtenues avec

\sqrt{\Delta}

.

Aucune racine réelle puisque le discriminant est nul.

Explication

Lorsque le discriminant est nul, les deux racines se confondent en une racine double donnée par $x_0=-\frac{b}{2a}$ . Le signe moins est essentiel dans cette formule, et l’absence de solution réelle concerne plutôt $\Delta<0$ .

Answer

Une racine double $$x_0=-\frac{b}{2a}$$.

Question 11

11. Lorsque $\Delta>0$ , quelles formules donnent les deux solutions distinctes de $ax^2+bx+c=0$ ?

x_1=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{a}

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{-b-\Delta}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\Delta}{2a}

Explication

Pour un discriminant strictement positif, les deux solutions s’obtiennent en ajoutant puis en soustrayant $\sqrt{\Delta}$ à $-b$ , avec un dénominateur égal à $2a$ . Les autres expressions modifient le signe, remplacent la racine carrée ou oublient le facteur $2$ .

Answer

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Question 12

12. Quelle démarche permet de résoudre correctement l’équation $6x^2-3=7x$ ?

Écrire

6x^2+7x-3=0

, calculer

\Delta=121

, puis obtenir

x=\frac13

et

x=-\frac32

.

Écrire

6x^2-7x-3=0

, calculer

\Delta=121

, puis obtenir

x=-\frac13

et

x=\frac32

.

Écrire

6x^2-7x-3=0

, calculer

\Delta=49

, puis conclure à une racine double.

Utiliser directement

a=6

,

b=0

et

c=-3

, puis obtenir

x=-\frac13

et

x=\frac32

.

Explication

Il faut d’abord transposer tous les termes afin d’obtenir la forme $ax^2+bx+c=0$ , ce qui donne $6x^2-7x-3=0$ et $\Delta=121$ . Les coefficients ne peuvent pas être identifiés correctement avant cette mise en forme, et un discriminant positif produit deux solutions distinctes.

Answer

Écrire $$6x^2-7x-3=0$$, calculer $$\Delta=121$$, puis obtenir $$x=-\frac13$$ et $$x=\frac32$$.

Question 13

13. Quelle conclusion obtient-on en résolvant $4x^2=12x-9$ ?

Après réécriture en

4x^2-12x-9=0

, on trouve

\Delta=0

et

x=-\frac32

.

Après réécriture en

-4x^2+12x-9=0

, on trouve

\Delta=0

et

x=\frac32

.

Après réécriture en

4x^2-12x+9=0

, on trouve

\Delta<0

et aucune solution réelle.

Après réécriture en

-4x^2+12x-9=0

, on trouve

\Delta>0

et deux solutions distinctes.

Explication

La transposition donne $-4x^2+12x-9=0$ , dont le discriminant est nul et dont l’unique solution est $x=\frac32$ . Le cas $\Delta=0$ correspond à une racine double, tandis que deux solutions distinctes exigent $\Delta>0$ .

Answer

Après réécriture en $$-4x^2+12x-9=0$$, on trouve $$\Delta=0$$ et $$x=\frac32$$.

QCM : Forme canonique et équations du second degré — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle identité permet de compléter le carré dans l’expression $x^2+mx$ pour tout réel $m$ ?

2. Pour transformer correctement $x^2+6x$ en une différence contenant un carré parfait, quelle opération faut-il effectuer ?

3. Pour $g(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , quelle écriture définit sa forme canonique ?

4. Quelle forme canonique obtient-on pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ ?

5. Laquelle de ces équations correspond à la définition d’une équation du second degré à une inconnue ?

6. Combien de solutions réelles possède l’équation $x^2=16$ ?

7. Pourquoi l’équation $x^2=-9$ n’a-t-elle pas de solution dans les nombres réels ?

8. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ ?

9. Que peut-on conclure d’une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

10. Quelle est la solution d’une équation du second degré lorsque $\Delta=0$ ?

11. Lorsque $\Delta>0$ , quelles formules donnent les deux solutions distinctes de $ax^2+bx+c=0$ ?

12. Quelle démarche permet de résoudre correctement l’équation $6x^2-3=7x$ ?

13. Quelle conclusion obtient-on en résolvant $4x^2=12x-9$ ?

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QCM : Forme canonique et équations du second degré — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle identité permet de compléter le carré dans l’expression x2+mxx^2+mxx2+mx pour tout réel mmm ?

2. Pour transformer correctement x2+6xx^2+6xx2+6x en une différence contenant un carré parfait, quelle opération faut-il effectuer ?

3. Pour g(x)=ax2+bx+cg(x)=ax^2+bx+cg(x)=ax2+bx+c avec a≠0a\ne0a=0, quelle écriture définit sa forme canonique ?

4. Quelle forme canonique obtient-on pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c avec a≠0a\ne0a=0 ?

5. Laquelle de ces équations correspond à la définition d’une équation du second degré à une inconnue ?

6. Combien de solutions réelles possède l’équation x2=16x^2=16x2=16 ?

7. Pourquoi l’équation x2=−9x^2=-9x2=−9 n’a-t-elle pas de solution dans les nombres réels ?

8. Quelle expression définit le discriminant du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c ?

9. Que peut-on conclure d’une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

10. Quelle est la solution d’une équation du second degré lorsque Δ=0\Delta=0Δ=0 ?

11. Lorsque Δ>0\Delta>0Δ>0, quelles formules donnent les deux solutions distinctes de ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

12. Quelle démarche permet de résoudre correctement l’équation 6x2−3=7x6x^2-3=7x6x2−3=7x ?

13. Quelle conclusion obtient-on en résolvant 4x2=12x−94x^2=12x-94x2=12x−9 ?

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3. Pour $g(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , quelle écriture définit sa forme canonique ?

4. Quelle forme canonique obtient-on pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ ?

6. Combien de solutions réelles possède l’équation $x^2=16$ ?

7. Pourquoi l’équation $x^2=-9$ n’a-t-elle pas de solution dans les nombres réels ?

8. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ ?

9. Que peut-on conclure d’une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

10. Quelle est la solution d’une équation du second degré lorsque $\Delta=0$ ?

11. Lorsque $\Delta>0$ , quelles formules donnent les deux solutions distinctes de $ax^2+bx+c=0$ ?

12. Quelle démarche permet de résoudre correctement l’équation $6x^2-3=7x$ ?

13. Quelle conclusion obtient-on en résolvant $4x^2=12x-9$ ?