Forme canonique et équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Complétion du carré
2. Forme canonique du trinôme
3. Résolution par mise au carré
4. Discriminant et nombre de solutions
5. Applications aux équations

📖 1. Complétion du carré

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout réel m, $x^2+mx=\left(x+\frac{m}{2}\right)^2-\left(\frac{m}{2}\right)^2$.

• Pour compléter le carré dans une expression du second degré, on factorise d’abord le coefficient de x² si nécessaire, on ajoute le carré de la moitié du coefficient de x, puis on soustrait ce même carré.

💡 Astuce mémo

Ajouter le carré manquant, puis le soustraire.

📖 2. Forme canonique du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme est $g(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=g(\alpha)$, pour $g(x)=ax^2+bx+c$ et $a\ne0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, on obtient $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

Compléments

• Pour $g(x)=-2x^2-3x+2$, la forme canonique est $g(x)=-2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{25}{8}$.

💡 Astuce mémo

α fixe l’abscisse, β fixe l’ordonnée.

📖 3. Résolution par mise au carré

🔑 Notions clés & Définitions