Fiche de révision : Forme canonique et équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Complétion du carré
2. Forme canonique du trinôme
3. Résolution par mise au carré
4. Discriminant et nombre de solutions
5. Applications aux équations

📖 1. Complétion du carré

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout réel m, $x^2+mx=\left(x+\frac{m}{2}\right)^2-\left(\frac{m}{2}\right)^2$.

• Pour compléter le carré dans une expression du second degré, on factorise d’abord le coefficient de x² si nécessaire, on ajoute le carré de la moitié du coefficient de x, puis on soustrait ce même carré.

💡 Astuce mémo

Ajouter le carré manquant, puis le soustraire.

📖 2. Forme canonique du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme est $g(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=g(\alpha)$, pour $g(x)=ax^2+bx+c$ et $a\ne0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, on obtient $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

Compléments

• Pour $g(x)=-2x^2-3x+2$, la forme canonique est $g(x)=-2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{25}{8}$.

💡 Astuce mémo

α fixe l’abscisse, β fixe l’ordonnée.

📖 3. Résolution par mise au carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation à une inconnue x qui peut s’écrire sous la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 Si une équation se ramène à $x^2=A$, alors elle n’a aucune solution réelle si $A<0$, une solution $x=0$ si $A=0$, et deux solutions $x=-\sqrt A$ ou $x=\sqrt A$ si $A>0$.

• Dans les nombres réels, le carré d’un nombre est toujours positif ou nul et ne peut donc pas être égal à un nombre strictement négatif.

💡 Astuce mémo

Un carré est toujours positif ou nul, jamais strictement négatif.

📖 4. Discriminant et nombre de solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si $\Delta>0$, les deux solutions distinctes sont $x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle et son ensemble solution est $S=\varnothing$.

📌 Si $\Delta=0$, l’équation admet une racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune solution ; Δ=0 : racine double ; Δ>0 : deux racines.

📖 5. Applications aux équations

📝 Points essentiels

• Pour résoudre $6x^2-3=7x$, on obtient $6x^2-7x-3=0$, puis $\Delta=121>0$ et les solutions $x=-\frac13$ et $x=\frac32$.

• Pour résoudre $4x^2=12x-9$, on écrit $-4x^2+12x-9=0$, puis $\Delta=0$ et l’unique solution est $x=\frac32$.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant