Fiche de révision : Racines carrées et calculs

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés fondamentales
2. Équations carrées dans les réels
3. Calculer et approximer des racines
4. Simplifier les expressions radicales
5. Rationaliser les dénominateurs
6. Développer et réduire avec des racines

📖 1. Définition et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour un réel strictement positif a, l’unique nombre positif dont le carré vaut a.
• Ensemble des réels : Regroupe tous les nombres utilisés dans le cours.

📝 Points essentiels

📌 Si a=0, alors √0=0 ; si a<0, aucune racine carrée réelle de a n’existe, car le carré d’un réel est toujours positif ou nul.

📐 Formule — Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=\begin{cases}a&\text{si }a\geq 0\\-a&\text{si }a<0\end{cases}$.

📐 Formule — Pour tout réel positif ou nul a, $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ et $\sqrt{a}\geq 0$.

💡 Astuce mémo

√a est positive, tandis que −√a est l’autre solution opposée.

📖 2. Équations carrées dans les réels

★ À maîtriser

📌 L’équation $x^2=a$ n’a aucune solution réelle si a<0, une unique solution x=0 si a=0, et deux solutions x=√a ou x=−√a si a>0.

• Pour résoudre une équation de la forme (ux+v)²=a avec a>0, on pose ux+v=√a ou ux+v=−√a, puis on résout séparément les deux équations du premier degré.

Compléments

• L’équation x²=11 a pour ensemble de solutions S={−√11, √11}.

• L’équation (4x−5)²=7 se résout en posant 4x−5=√7 ou 4x−5=−√7.

💡 Astuce mémo

a<0 : aucune solution ; a=0 : une solution ; a>0 : deux solutions.

📖 3. Calculer et approximer des racines

★ À maîtriser

• Les valeurs exactes données sont:
  • √0=0
  • √1=1
  • √4=2
  • √121=11
  • √144=12
  • √225=15

Compléments

• Les approximations au millième à connaître sont √2≈1,414 et √3≈1,732.

📌 Une racine carrée d’un nombre positif peut être approchée par une valeur décimale, par exemple √3 est supérieure à 1,7.

📖 4. Simplifier les expressions radicales

★ À maîtriser

• Pour simplifier une racine carrée, on décompose le radicande en produit contenant un carré parfait, puis on extrait la racine de ce carré parfait.

📐 Formule — Pour des nombres positifs, le produit de racines carrées vérifie $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$.

Compléments

• L’expression √45−√5 se réduit à 2√5.

📖 5. Rationaliser les dénominateurs

★ À maîtriser

• Pour supprimer une racine au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par une expression appropriée qui rend le dénominateur rationnel, puis on simplifie.

Compléments

• L’expression 1/√3 doit être multipliée au numérateur et au dénominateur par √3 afin d’obtenir un dénominateur rationnel.

📌 Pour un dénominateur de la forme √a+ b ou √a− b, on utilise l’expression conjuguée √a− b ou √a+ b.

📖 6. Développer et réduire avec des racines

★ À maîtriser

• Pour développer une expression contenant des racines, on applique la distributivité ou les identités remarquables, puis on regroupe les termes semblables et on simplifie les racines.

📐 Formule — Le carré d’une somme vérifie $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule — Le produit de deux expressions conjuguées vérifie $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Compléments

• L’expression (1+√5)² se développe en 6+2√5.

• L’expression (4−√5)(4+√5) se simplifie en 11.