Racines carrées et calculs

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés fondamentales
2. Équations carrées dans les réels
3. Calculer et approximer des racines
4. Simplifier les expressions radicales
5. Rationaliser les dénominateurs
6. Développer et réduire avec des racines

📖 1. Définition et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour un réel strictement positif a, l’unique nombre positif dont le carré vaut a.
• Ensemble des réels : Regroupe tous les nombres utilisés dans le cours.

📝 Points essentiels

📌 Si a=0, alors √0=0 ; si a<0, aucune racine carrée réelle de a n’existe, car le carré d’un réel est toujours positif ou nul.

📐 Formule — Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=\begin{cases}a&\text{si }a\geq 0\\-a&\text{si }a<0\end{cases}$.

📐 Formule — Pour tout réel positif ou nul a, $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ et $\sqrt{a}\geq 0$.

💡 Astuce mémo

√a est positive, tandis que −√a est l’autre solution opposée.

📖 2. Équations carrées dans les réels

📌 L’équation $x^2=a$ n’a aucune solution réelle si a<0, une unique solution x=0 si a=0, et deux solutions x=√a ou x=−√a si a>0.