QCM : Racines carrées et calculs — 14 questions

Question 1

1. Pour un réel strictement positif $a$ , comment caractérise-t-on $\sqrt{a}$ ?

C’est l’un des deux nombres opposés dont le carré vaut

a

.

C’est l’unique nombre négatif dont le carré vaut

a

.

C’est un nombre positif dont le double vaut

a

.

C’est l’unique nombre positif dont le carré vaut

a

.

Explication

La racine carrée principale de $a$ est définie comme l’unique nombre positif dont le carré est $a$ . Le nombre $-\sqrt{a}$ possède aussi ce carré, mais il ne constitue pas la racine carrée principale.

Answer

C’est l’unique nombre positif dont le carré vaut $$a$$.

Question 2

2. Quelle affirmation décrit correctement la racine carrée d’un nombre réel négatif ?

Elle vaut zéro comme pour tout nombre proche de zéro.

Elle est égale à l’opposé de la racine carrée de sa valeur absolue.

Elle est définie par le nombre réel dont le carré donne ce nombre.

Elle n’existe pas dans l’ensemble des réels.

Explication

Un carré réel est toujours positif ou nul, donc il ne peut pas être égal à un nombre négatif. La racine carrée d’un nombre négatif n’existe donc pas dans les réels.

Answer

Elle n’existe pas dans l’ensemble des réels.

Question 3

3. Si $a<0$ , quelle expression est égale à $\sqrt{a^2}$ ?

a

-a

-a^2

a^2

Explication

Lorsque $a$ est négatif, sa valeur opposée $-a$ est positive et son carré est $a^2$ . La racine carrée principale de $a^2$ vaut donc $-a$ , et non $a$ .

Answer

Pour tout réel positif ou nul.

Answer

Deux solutions, $$x=\sqrt{a}$$ et $$x=-\sqrt{a}$$.

Answer

Poser $$ux+v=\sqrt{a}$$ puis $$ux+v=-\sqrt{a}$$ et résoudre les deux équations.

Answer

$$\sqrt{3}\approx1,732$$

Answer

Écrire $$45=9\times5$$, puis extraire $$\sqrt{9}$$ pour obtenir $$3\sqrt{5}$$

Answer

Multiplier le numérateur et le dénominateur par $$\sqrt{3}$$ pour obtenir $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Answer

Son conjugué $$\sqrt{a}-b$$

Answer

Appliquer la distributivité ou une identité remarquable, puis regrouper les termes semblables et simplifier les racines

Answer

$$a^2+2ab+b^2$$

Question 4

4. Pour quel type de réel $a$ peut-on appliquer simultanément les relations $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ et $\sqrt{a}\geq 0$ ?

Pour tout réel strictement négatif.

Pour tout réel dont la valeur absolue est supérieure à un.

Pour tout réel positif ou nul.

Pour tout réel dont le carré est positif.

Explication

Ces deux propriétés s’appliquent lorsque $a\geq 0$ , condition nécessaire pour que $\sqrt{a}$ soit réelle. Un réel négatif ne possède pas de racine carrée réelle, même si son carré est positif.

Question 5

5. Combien de solutions réelles possède l’équation $x^2=a$ lorsque $a>0$ ?

Une solution,

x=\sqrt{a}

, car une racine carrée est positive.

Une solution,

x=a^2

, obtenue en élevant les deux membres au carré.

Aucune solution, car le carré d’un réel ne peut pas être strictement positif.

Deux solutions,

x=\sqrt{a}

et

x=-\sqrt{a}

.

Explication

Pour $a>0$ , les deux nombres opposés $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ ont pour carré $a$ . Ne retenir que la racine positive confond la racine carrée principale avec l’ensemble des solutions de l’équation.

Question 6

6. Quelle méthode permet de résoudre une équation de la forme $(ux+v)^2=a$ avec $a>0$ ?

Poser

ux+v=a

puis résoudre une seule équation du premier degré.

Développer le carré puis supprimer le terme constant pour isoler

x

.

Remplacer directement

ux+v

par

a^2

avant de développer.

Poser

ux+v=\sqrt{a}

puis

ux+v=-\sqrt{a}

et résoudre les deux équations.

Explication

Un carré égal à un nombre strictement positif admet deux valeurs opposées pour sa base, d’où les deux équations du premier degré à résoudre. Garder une seule égalité ferait perdre une branche et donc des solutions possibles.

Question 7

7. Quelle est la valeur exacte de $\sqrt{144}$ ?

11

72

14

12

Explication

Comme $12^2=144$ et que la racine carrée est positive, on obtient $\sqrt{144}=12$ . Le nombre $11$ correspond à $\sqrt{121}$ , tandis que $72$ est la moitié de $144$ .

Question 8

8. Quelle approximation de $\sqrt{3}$ au millième est correcte ?

\sqrt{3}\approx1,414

\sqrt{3}\approx2,732

\sqrt{3}\approx1,300

\sqrt{3}\approx1,732

Explication

L’approximation de $\sqrt{3}$ au millième est $1,732$ . La valeur $1,414$ est l’approximation de $\sqrt{2}$ , tandis que les deux autres valeurs ne correspondent pas à l’encadrement usuel de $\sqrt{3}$ .

Question 9

9. Quelle méthode permet de simplifier correctement une racine carrée comme $\sqrt{45}$ ?

Additionner les chiffres de

45

pour obtenir une racine carrée égale à

9

Écrire

45=5\times5

, puis extraire

\sqrt{5}

pour obtenir

5\sqrt{5}

Remplacer directement

\sqrt{45}

par

45

après avoir supprimé le symbole radical

Écrire

45=9\times5

, puis extraire

\sqrt{9}

pour obtenir

3\sqrt{5}

Explication

On cherche un carré parfait dans la décomposition du radicande : $45=9\times5$ , donc $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ . Remplacer la racine par le nombre sous le radical confond l’expression radicale avec son radicande.

Question 10

10. Quelle transformation rationalise correctement la fraction $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ?

Ajouter

\sqrt{3}

au numérateur et au dénominateur pour supprimer le radical

Multiplier le numérateur et le dénominateur par

\sqrt{3}

pour obtenir

\frac{\sqrt{3}}{3}

Remplacer directement

\sqrt{3}

par

3

dans le dénominateur

Multiplier le dénominateur par

\sqrt{3}

et conserver le numérateur égal à

1

Explication

Multiplier les deux termes par $\sqrt{3}$ donne $\frac{1\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ et conserve la valeur de la fraction. Modifier le dénominateur sans effectuer la même multiplication au numérateur changerait cette valeur.

Question 11

11. Quelle expression faut-il utiliser pour rationaliser un dénominateur de la forme $\sqrt{a}+b$ ?

Son conjugué

\sqrt{a}-b

La somme

\sqrt{a}+\sqrt{b}

Le même dénominateur

\sqrt{a}+b

La racine du terme rationnel

\sqrt{b}

Explication

Le conjugué de $\sqrt{a}+b$ est $\sqrt{a}-b$ , et leur produit prend la forme d’une différence de carrés, ce qui élimine le radical du dénominateur. Réutiliser le même dénominateur ne change pas le signe entre les deux termes et ne produit pas cette simplification.

Question 12

12. Quelle démarche permet de réduire une expression développée contenant des racines carrées ?

Regrouper tous les termes contenant des radicandes différents comme s’ils étaient semblables

Additionner les radicandes dès qu’ils apparaissent dans deux termes distincts

Remplacer chaque racine carrée par son radicande avant d’effectuer le développement

Appliquer la distributivité ou une identité remarquable, puis regrouper les termes semblables et simplifier les racines

Explication

Le développement s’effectue avec la distributivité ou une identité remarquable, puis les termes semblables sont regroupés et les racines sont simplifiées. Deux termes dont les radicandes sont différents ne peuvent pas être combinés directement comme des termes semblables.

Question 13

13. Quel développement correspond à l’identité remarquable du carré d’une somme $\left(a+b\right)^2$ ?

a^2-ab+b^2

a^2+2ab+b^2

a^2-2ab+b^2

a^2+b^2

Explication

Le carré d’une somme contient le double produit positif, selon $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$ . Le terme $-2ab$ appartient au développement d’une différence, et non à celui d’une somme.

Question 14

14. Quelle est la forme réduite de $\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)$ ?

11

21

16-2\sqrt{5}+5

16+5

Explication

Les deux facteurs sont conjugués, donc leur produit vaut $4^2-\left(\sqrt{5}\right)^2=16-5=11$ . Le développement avec un terme en $\sqrt{5}$ ne convient pas, car les termes croisés s’annulent dans un produit de conjugués.

QCM : Racines carrées et calculs — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour un réel strictement positif $a$ , comment caractérise-t-on $\sqrt{a}$ ?

2. Quelle affirmation décrit correctement la racine carrée d’un nombre réel négatif ?

3. Si $a<0$ , quelle expression est égale à $\sqrt{a^2}$ ?

4. Pour quel type de réel $a$ peut-on appliquer simultanément les relations $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ et $\sqrt{a}\geq 0$ ?

5. Combien de solutions réelles possède l’équation $x^2=a$ lorsque $a>0$ ?

6. Quelle méthode permet de résoudre une équation de la forme $(ux+v)^2=a$ avec $a>0$ ?

7. Quelle est la valeur exacte de $\sqrt{144}$ ?

8. Quelle approximation de $\sqrt{3}$ au millième est correcte ?

9. Quelle méthode permet de simplifier correctement une racine carrée comme $\sqrt{45}$ ?

10. Quelle transformation rationalise correctement la fraction $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ?

11. Quelle expression faut-il utiliser pour rationaliser un dénominateur de la forme $\sqrt{a}+b$ ?

12. Quelle démarche permet de réduire une expression développée contenant des racines carrées ?

13. Quel développement correspond à l’identité remarquable du carré d’une somme $\left(a+b\right)^2$ ?

14. Quelle est la forme réduite de $\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)$ ?

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QCM : Racines carrées et calculs — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour un réel strictement positif aaa, comment caractérise-t-on a\sqrt{a}a​ ?

2. Quelle affirmation décrit correctement la racine carrée d’un nombre réel négatif ?

3. Si a<0a<0a<0, quelle expression est égale à a2\sqrt{a^2}a2​ ?

4. Pour quel type de réel aaa peut-on appliquer simultanément les relations (a)2=a\left(\sqrt{a}\right)^2=a(a​)2=a et a≥0\sqrt{a}\geq 0a​≥0 ?

5. Combien de solutions réelles possède l’équation x2=ax^2=ax2=a lorsque a>0a>0a>0 ?

6. Quelle méthode permet de résoudre une équation de la forme (ux+v)2=a(ux+v)^2=a(ux+v)2=a avec a>0a>0a>0 ?

7. Quelle est la valeur exacte de 144\sqrt{144}144​ ?

8. Quelle approximation de 3\sqrt{3}3​ au millième est correcte ?

9. Quelle méthode permet de simplifier correctement une racine carrée comme 45\sqrt{45}45​ ?

10. Quelle transformation rationalise correctement la fraction 13\frac{1}{\sqrt{3}}3​1​ ?

11. Quelle expression faut-il utiliser pour rationaliser un dénominateur de la forme a+b\sqrt{a}+ba​+b ?

12. Quelle démarche permet de réduire une expression développée contenant des racines carrées ?

13. Quel développement correspond à l’identité remarquable du carré d’une somme (a+b)2\left(a+b\right)^2(a+b)2 ?

14. Quelle est la forme réduite de (4−5)(4+5)\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)(4−5​)(4+5​) ?

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1. Pour un réel strictement positif $a$ , comment caractérise-t-on $\sqrt{a}$ ?

3. Si $a<0$ , quelle expression est égale à $\sqrt{a^2}$ ?

4. Pour quel type de réel $a$ peut-on appliquer simultanément les relations $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ et $\sqrt{a}\geq 0$ ?

5. Combien de solutions réelles possède l’équation $x^2=a$ lorsque $a>0$ ?

6. Quelle méthode permet de résoudre une équation de la forme $(ux+v)^2=a$ avec $a>0$ ?

7. Quelle est la valeur exacte de $\sqrt{144}$ ?

8. Quelle approximation de $\sqrt{3}$ au millième est correcte ?

9. Quelle méthode permet de simplifier correctement une racine carrée comme $\sqrt{45}$ ?

10. Quelle transformation rationalise correctement la fraction $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ?

11. Quelle expression faut-il utiliser pour rationaliser un dénominateur de la forme $\sqrt{a}+b$ ?

13. Quel développement correspond à l’identité remarquable du carré d’une somme $\left(a+b\right)^2$ ?

14. Quelle est la forme réduite de $\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)$ ?