QCM : Suites et récurrence — 15 questions

Question 1

1. Quelle description définit correctement une suite numérique ?

Une liste de nombres obtenue en multipliant chaque terme par un rapport fixe

Une liste de nombres obtenue en additionnant une constante au rang précédent

Une liste de termes construite à partir d’un terme initial et d’une règle donnant le suivant

Une expression donnant directement chaque terme sans terme initial ni règle de construction

Explication

Une suite est construite à partir d’un premier terme, comme $u_0$ , et d’une relation qui permet d’obtenir chaque terme suivant. Une liste fondée sur une addition ou une multiplication constante correspond à des types particuliers de suites, et non à la définition générale.

Answer

Une liste de termes construite à partir d’un terme initial et d’une règle donnant le suivant

Question 2

2. Une suite arithmétique vérifie $u_0=7$ et $r=3$ . Quelle expression donne son terme de rang $n$ ?

u_n=7n+3

u_n=3+7n

u_n=7+3n

u_n=7\times3^n

Explication

Pour une suite arithmétique, chaque terme s’obtient en ajoutant la raison, d’où $u_n=u_0+nr=7+3n$ . L’expression avec une puissance correspondrait à une suite géométrique, tandis que les deux autres placent incorrectement le terme initial et la raison.

Answer

$$u_n=7+3n$$

Question 3

3. Dans une démonstration par récurrence d’une proposition vraie pour tout entier $n\ge n_0$ , quel enchaînement est correct ?

Démontrer directement

P(k+1)

pour un rang fixé, puis conclure pour tous les rangs

Supposer

P(n_0+1)

vraie, établir

P(n_0)

, puis démontrer

P(k)

Établir

P(n_0)

, supposer

P(k)

vraie, puis démontrer

P(k+1)

Établir

P(k)

, supposer

P(k+1)

vraie, puis démontrer

P(n_0)

Explication

La récurrence comporte d’abord l’initialisation au rang $n_0$ , puis l’hérédité, qui part de $P(k)$ pour établir $P(k+1)$ . Supposer le rang suivant ou vérifier un seul rang ne permet pas de construire cette chaîne logique.

Answer

Établir $$P(n_0)$$, supposer $$P(k)$$ vraie, puis démontrer $$P(k+1)$$

Question 4

4. Laquelle de ces propositions peut être démontrée par récurrence ?

La définition d’un symbole sans propriété à vérifier

La valeur numérique d’une constante indépendante de

n

Une préférence personnelle concernant la notation d’une suite

Une égalité entre deux expressions dépendant de

n

Explication

Une récurrence peut établir une égalité, une inégalité ou une phrase portant sur tous les entiers considérés. Une constante isolée, une définition ou une préférence de notation ne constitue pas une proposition à propager de rang en rang.

Answer

Une égalité entre deux expressions dépendant de $$n$$

Question 5

5. Pour démontrer par récurrence que $u_n\le11000$ , quelle étape d’hérédité est correcte lorsque $u_{k+1}=0,5u_k+5200$ ?

À partir de

u_k=11000

, montrer que

u_{k+1}=10700\le11000

À partir de

u_k\le11000

, montrer que

u_{k+1}\le10700\le11000

À partir de

u_k\le1000

, montrer que

u_{k+1}\le5200\le11000

À partir de

u_{k+1}\le11000

, montrer que

u_k\le10700\le11000

Explication

L’hérédité suppose l’hypothèse $u_k\le11000$ , puis utilise la relation pour obtenir $u_{k+1}=0,5u_k+5200\le10700\le11000$ . L’objectif porte sur $u_{k+1}$ , et il n’est pas nécessaire que $u_k$ soit égal à la borne ni limité à $1000$ à cette étape.

Answer

À partir de $$u_k\le11000$$, montrer que $$u_{k+1}\le10700\le11000$$

Question 6

6. Pour $u_0=1000$ et $u_{n+1}=0,5u_n+5200$ , quelle formule explicite donne directement $u_n$ ?

u_n=10400-9400\times0,5^{n+1}

u_n=1000+5200n

u_n=10400-9400\times0,5^n

u_n=9400-10400\times0,5^n

Explication

La forme explicite démontrée pour cette suite est $u_n=10400-9400\times0,5^n$ , qui exprime directement le terme de rang $n$ . La relation de récurrence, elle, donne le terme suivant à partir de $u_n$ et ne constitue pas cette expression explicite.

Answer

$$u_n=10400-9400\times0,5^n$$

Question 7

7. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

Il existe un réel

M

tel que

u_n\le M

Il existe un réel

m

tel que

m\le u_n

Pour tout

n\in\mathbb{N}

,

u_{n+1}\le u_n

Pour tout

n\in\mathbb{N}

,

u_{n+1}\ge u_n

Explication

Une suite croissante vérifie que chaque terme est supérieur ou égal au précédent, donc $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n$ . La condition $u_{n+1}\le u_n$ caractérise une suite décroissante, tandis que les deux autres conditions concernent le bornage.

Answer

Pour tout $$n\in\mathbb{N}$$, $$u_{n+1}\ge u_n$$

Question 8

8. Quelle condition caractérise une suite décroissante ?

Pour tout

n\in\mathbb{N}

,

u_{n+1}\le u_n

Il existe un réel

m

tel que

m\le u_n

Il existe un réel

M

tel que

u_n\le M

Pour tout

n\in\mathbb{N}

,

u_{n+1}\ge u_n

Explication

Une suite décroissante vérifie que chaque terme est inférieur ou égal au précédent, c’est-à-dire $u_{n+1}\le u_n$ . L’inégalité inverse décrit une suite croissante, alors que les deux autres propositions définissent des bornes.

Answer

Pour tout $$n\in\mathbb{N}$$, $$u_{n+1}\le u_n$$

Question 9

9. Pour étudier le sens de variation d’une suite par le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ , quelle condition supplémentaire faut-il vérifier ?

Les termes doivent être strictement positifs

La différence

u_{n+1}-u_n

doit être constante

Les termes doivent être tous négatifs

La suite doit être majorée par un réel

Explication

La comparaison du quotient à $1$ permet d’étudier les variations lorsque les termes sont strictement positifs. En revanche, l’étude de $u_{n+1}-u_n$ ne requiert pas cette condition de positivité.

Answer

Les termes doivent être strictement positifs

Question 10

10. Pourquoi la suite définie par $v_n=2n^2+n-5$ est-elle croissante sur $\mathbb{N}$ ?

Parce que

v_{n+1}+v_n=4n+3>0

pour tout

n\in\mathbb{N}

Parce que

v_n=2n^2+n-5

est positif pour tout

n\in\mathbb{N}

Parce que la formule de

v_n

contient un terme en

n^2

Parce que

v_{n+1}-v_n=4n+3>0

pour tout

n\in\mathbb{N}

Explication

La différence entre deux termes consécutifs vaut $v_{n+1}-v_n=4n+3$ , qui est positive pour tout entier naturel, ce qui prouve la croissance. La valeur ou la forme de $v_n$ prise isolément ne suffit pas à déterminer le sens de variation.

Answer

Parce que $$v_{n+1}-v_n=4n+3>0$$ pour tout $$n\in\mathbb{N}$$

Question 11

11. Quel raisonnement permet d’établir que la suite définie par $w_n=\frac{n+1}{2^n}$ est décroissante ?

On montre que

w_{n+1}-w_n=\frac{n+2}{2n+2}\le1

On montre que

w_n=\frac{n+1}{2^n}

augmente avec le numérateur

On montre que

\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{n+2}{2n+2}\le1

On montre que

\frac{w_n}{w_{n+1}}=\frac{n+2}{2n+2}\le1

Explication

Le quotient vaut $\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{n+2}{2n+2}\le1$ , car $n+2\le2n+2$ , donc la suite est décroissante. La comparaison doit porter sur le quotient dans cet ordre, et la variation du numérateur seul ne détermine pas celle de la suite.

Answer

On montre que $$\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{n+2}{2n+2}\le1$$

Question 12

12. Que signifie qu’une suite est majorée ?

Il existe un réel

m

tel que, pour tout

n\in\mathbb{N}

,

m\le u_n

Les termes de la suite augmentent vers une valeur limite finie

Il existe deux réels

m

et

M

tels que, pour tout

n\in\mathbb{N}

,

m\le u_n\le M

Il existe un réel

M

tel que, pour tout

n\in\mathbb{N}

,

u_n\le M

Explication

Une suite est majorée lorsqu’un même réel $M$ est supérieur ou égal à chacun de ses termes. La présence d’un réel inférieur correspond à une minoration, tandis que deux bornes définissent une suite bornée.

Answer

Il existe un réel $$M$$ tel que, pour tout $$n\in\mathbb{N}$$, $$u_n\le M$$

Question 13

13. Que signifie qu’une suite est minorée ?

Il existe un réel

M

tel que, pour tout

n\in\mathbb{N}

,

u_n\le M

Il existe un réel

m

tel que, pour tout

n\in\mathbb{N}

,

u_n<m

Les termes de la suite diminuent vers une valeur limite finie

Il existe un réel

m

tel que, pour tout

n\in\mathbb{N}

,

m\le u_n

Explication

Une suite est minorée lorsqu’un réel $m$ est inférieur ou égal à tous ses termes. La condition $u_n\le M$ décrit une majoration, et une limite finie n’est pas nécessaire pour définir une minoration.

Answer

Il existe un réel $$m$$ tel que, pour tout $$n\in\mathbb{N}$$, $$m\le u_n$$

Question 14

14. Quelle propriété caractérise une suite bornée ?

Elle est décroissante et son dernier terme est négatif

Elle possède une limite réelle lorsque

n

devient grand

Elle est à la fois minorée et majorée

Elle est croissante et son premier terme est positif

Explication

Une suite bornée possède simultanément un plancher et un plafond : il existe $m$ et $M$ tels que $m\le u_n\le M$ pour tout $n$ . Le sens de variation ou l’existence d’une limite ne suffit pas, à lui seul, à caractériser le bornage.

Answer

Elle est à la fois minorée et majorée

Question 15

15. Pour $u_n=n^2-4n+5$ , quelle minoration peut-on démontrer directement ?

On a

u_n-1=(n+2)^2\ge0

, donc

u_n\le1

On a

u_n-1=(n-2)^2\ge0

, donc

u_n\ge1

On a

u_n-5=(n-2)^2\ge0

, donc

u_n\ge5

On a

u_n=n^2-4n+5\ge0

, donc

u_n\ge0

Explication

La réécriture $u_n-1=(n-2)^2\ge0$ entraîne $u_n\ge1$ , donc la suite est minorée par $1$ . La borne $5$ est trop grande, et les autres transformations ne fournissent pas la conclusion demandée.

Answer

On a $$u_n-1=(n-2)^2\ge0$$, donc $$u_n\ge1$$

QCM : Suites et récurrence — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description définit correctement une suite numérique ?

2. Une suite arithmétique vérifie $u_0=7$ et $r=3$ . Quelle expression donne son terme de rang $n$ ?

3. Dans une démonstration par récurrence d’une proposition vraie pour tout entier $n\ge n_0$ , quel enchaînement est correct ?

4. Laquelle de ces propositions peut être démontrée par récurrence ?

5. Pour démontrer par récurrence que $u_n\le11000$ , quelle étape d’hérédité est correcte lorsque $u_{k+1}=0,5u_k+5200$ ?

6. Pour $u_0=1000$ et $u_{n+1}=0,5u_n+5200$ , quelle formule explicite donne directement $u_n$ ?

7. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

8. Quelle condition caractérise une suite décroissante ?

9. Pour étudier le sens de variation d’une suite par le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ , quelle condition supplémentaire faut-il vérifier ?

10. Pourquoi la suite définie par $v_n=2n^2+n-5$ est-elle croissante sur $\mathbb{N}$ ?

11. Quel raisonnement permet d’établir que la suite définie par $w_n=\frac{n+1}{2^n}$ est décroissante ?

12. Que signifie qu’une suite est majorée ?

13. Que signifie qu’une suite est minorée ?

14. Quelle propriété caractérise une suite bornée ?

15. Pour $u_n=n^2-4n+5$ , quelle minoration peut-on démontrer directement ?

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QCM : Suites et récurrence — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description définit correctement une suite numérique ?

2. Une suite arithmétique vérifie u0=7u_0=7u0​=7 et r=3r=3r=3. Quelle expression donne son terme de rang nnn ?

3. Dans une démonstration par récurrence d’une proposition vraie pour tout entier n≥n0n\ge n_0n≥n0​, quel enchaînement est correct ?

4. Laquelle de ces propositions peut être démontrée par récurrence ?

5. Pour démontrer par récurrence que un≤11000u_n\le11000un​≤11000, quelle étape d’hérédité est correcte lorsque uk+1=0,5uk+5200u_{k+1}=0,5u_k+5200uk+1​=0,5uk​+5200 ?

6. Pour u0=1000u_0=1000u0​=1000 et un+1=0,5un+5200u_{n+1}=0,5u_n+5200un+1​=0,5un​+5200, quelle formule explicite donne directement unu_nun​ ?

7. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

8. Quelle condition caractérise une suite décroissante ?

9. Pour étudier le sens de variation d’une suite par le quotient un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}un​un+1​​, quelle condition supplémentaire faut-il vérifier ?

10. Pourquoi la suite définie par vn=2n2+n−5v_n=2n^2+n-5vn​=2n2+n−5 est-elle croissante sur N\mathbb{N}N ?

11. Quel raisonnement permet d’établir que la suite définie par wn=n+12nw_n=\frac{n+1}{2^n}wn​=2nn+1​ est décroissante ?

12. Que signifie qu’une suite est majorée ?

13. Que signifie qu’une suite est minorée ?

14. Quelle propriété caractérise une suite bornée ?

15. Pour un=n2−4n+5u_n=n^2-4n+5un​=n2−4n+5, quelle minoration peut-on démontrer directement ?

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2. Une suite arithmétique vérifie $u_0=7$ et $r=3$ . Quelle expression donne son terme de rang $n$ ?

3. Dans une démonstration par récurrence d’une proposition vraie pour tout entier $n\ge n_0$ , quel enchaînement est correct ?

5. Pour démontrer par récurrence que $u_n\le11000$ , quelle étape d’hérédité est correcte lorsque $u_{k+1}=0,5u_k+5200$ ?

6. Pour $u_0=1000$ et $u_{n+1}=0,5u_n+5200$ , quelle formule explicite donne directement $u_n$ ?

9. Pour étudier le sens de variation d’une suite par le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ , quelle condition supplémentaire faut-il vérifier ?

10. Pourquoi la suite définie par $v_n=2n^2+n-5$ est-elle croissante sur $\mathbb{N}$ ?

11. Quel raisonnement permet d’établir que la suite définie par $w_n=\frac{n+1}{2^n}$ est décroissante ?

15. Pour $u_n=n^2-4n+5$ , quelle minoration peut-on démontrer directement ?