Suites et récurrence

📋 Plan du Cours

1. Définition et types de suites
2. Principe de récurrence
3. Applications de la récurrence
4. Sens de variation
5. Exemples de variations
6. Suites bornées

📖 1. Définition et types de suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite : Liste de termes obtenus à partir d’un premier terme u₀ et d’une relation de récurrence qui définit chaque terme suivant.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$, donc $u_n=u_0+nr$, et sa somme vérifie $u_0+\cdots+u_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$.

📐 Formule — Une suite géométrique vérifie $v_{n+1}=v_nq$, donc $v_n=v_0q^n$, et, pour q ≠ 1, sa somme vérifie $v_0+\cdots+v_n=v_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Compléments

📌 Pour la suite définie par u₀ = 1000 et $u_{n+1}=0{,}5u_n+5200$, les rapports $u_1/u_0=5{,}7$ et $u_2/u_1=1{,}5$ sont différents, donc la suite n’est pas géométrique et elle n’est pas arithmétique.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q.

📖 2. Principe de récurrence

★ À maîtriser

• Pour démontrer par récurrence une proposition P(n) vraie pour tout entier n ≥ n₀, on vérifie l’initialisation en montrant P(n₀), puis l’hérédité en supposant P(k) vraie et en démontrant P(k+1), avant de conclure.

Compléments