Fiche de révision : Suites et récurrence

📋 Plan du Cours

1. Définition et types de suites
2. Principe de récurrence
3. Applications de la récurrence
4. Sens de variation
5. Exemples de variations
6. Suites bornées

📖 1. Définition et types de suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite : Liste de termes obtenus à partir d’un premier terme u₀ et d’une relation de récurrence qui définit chaque terme suivant.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$, donc $u_n=u_0+nr$, et sa somme vérifie $u_0+\cdots+u_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$.

📐 Formule — Une suite géométrique vérifie $v_{n+1}=v_nq$, donc $v_n=v_0q^n$, et, pour q ≠ 1, sa somme vérifie $v_0+\cdots+v_n=v_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Compléments

📌 Pour la suite définie par u₀ = 1000 et $u_{n+1}=0{,}5u_n+5200$, les rapports $u_1/u_0=5{,}7$ et $u_2/u_1=1{,}5$ sont différents, donc la suite n’est pas géométrique et elle n’est pas arithmétique.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q.

📖 2. Principe de récurrence

★ À maîtriser

• Pour démontrer par récurrence une proposition P(n) vraie pour tout entier n ≥ n₀, on vérifie l’initialisation en montrant P(n₀), puis l’hérédité en supposant P(k) vraie et en démontrant P(k+1), avant de conclure.

Compléments

• La proposition démontrée par récurrence peut être une égalité, une inégalité ou une phrase.

💡 Astuce mémo

Comme des dominos : le premier tombe, puis chaque domino fait tomber le suivant.

📖 3. Applications de la récurrence

📝 Points essentiels

• Pour montrer par récurrence que la suite vérifie uₙ ≤ 11000, on part de u₀ ∈ [0 ; 1000], puis l’hypothèse u_k ≤ 11000 donne u_{k+1}=0,5u_k+5200 ≤ 10700 ≤ 11000.

📐 Formule — Pour u₀ = 1000 et $u_{n+1}=0{,}5u_n+5200$, la forme explicite démontrée par récurrence est $u_n=10400-9400\times0{,}5^n$.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion.

📖 4. Sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante si, pour tout n ∈ ℕ, $u_{n+1}\ge u_n$.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante si, pour tout n ∈ ℕ, $u_{n+1}\le u_n$.
• Suite monotone : Croissante ou décroissante.

📝 Points essentiels

• Le sens de variation d’une suite peut être étudié en étudiant les variations de f lorsque uₙ=f(n), le signe de u_{n+1}−uₙ, le rapport u_{n+1}/uₙ si les termes sont positifs, ou par récurrence.

💡 Astuce mémo

F-D-R-R : fonction, différence, rapport, récurrence.

📖 5. Exemples de variations

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour vₙ=2n²+n−5, on obtient $v_{n+1}-v_n=4n+3>0$ pour tout n ∈ ℕ, donc (vₙ) est croissante.

Compléments

📐 Formule — Pour wₙ=\frac{n+1}{2^n}, on a $\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{n+2}{2n+2}\le1$, car n+2 ≤ 2n+2, donc (wₙ) est décroissante.

• Pour z₀=5 et z_{n+1}=3z_n−2, la récurrence montre que z_k≤z_{k+1} entraîne 3z_k−2≤3z_{k+1}−2, donc z_{k+1}≤z_{k+2} et la suite est croissante.

📖 6. Suites bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Suite pour laquelle il existe un réel M tel que, pour tout n ∈ ℕ, $u_n\le M$.
• Suite minorée : Suite pour laquelle il existe un réel m tel que, pour tout n ∈ ℕ, $m\le u_n$.
• Suite bornée : À la fois minorée et majorée, c’est-à-dire s’il existe m et M tels que, pour tout n ∈ ℕ, $m\le u_n\le M$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour uₙ=n²−4n+5, on a $u_n-1=(n-2)^2\ge0$, donc uₙ≥1 et la suite est minorée par 1.

Compléments

• Pour v₀=2 et v_{n+1}=0,2v_n+10, une récurrence établit vₙ≤12,5 : v₀≤12,5, puis v_k≤12,5 implique v_{k+1}≤0,2×12,5+10=12,5.

💡 Astuce mémo

Majorée : plafond M ; minorée : plancher m ; bornée : les deux.

📊 Tableaux de synthèse

Types de suites