Flashcards : Suites et récurrence — 37 cartes

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1Question

Qu'est-ce qu'une suite en mathématiques ?

Réponse

Une liste de termes définie par un premier terme et une relation de récurrence.

2Question

Quelle relation vérifie une suite arithmétique ?

Réponse

$u_{n+1}=u_n+r$

3Question

Quelle est la formule explicite d'une suite arithmétique ?

Réponse

$u_n=u_0+nr$

4Question

Quelle formule donne la somme des termes d'une suite arithmétique ?

Réponse

$u_0+\cdots+u_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$

5Question

Quelle relation vérifie une suite géométrique ?

Réponse

$v_{n+1}=v_nq$

6Question

Quelle est la formule explicite d'une suite géométrique ?

Réponse

$v_n=v_0q^n$

7Question

Quelle formule donne la somme des termes d'une suite géométrique pour $q \neq 1$ ?

Réponse

$v_0+\cdots+v_n=v_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

8Question

Pourquoi la suite définie par $u_0=1000$ et $u_{n+1}=0,5u_n+5200$ n'est pas géométrique ?

Réponse

Les rapports $u_1/u_0$ et $u_2/u_1$ sont différents.

9Question

Quelle est la première étape pour démontrer P(n) par récurrence ?

Réponse

Montrer que P(n₀) est vraie.

10Question

Que suppose-t-on pour démontrer l'hérédité en récurrence ?

Réponse

On suppose que P(k) est vraie.

11Question

Que doit-on démontrer après avoir supposé P(k) vraie ?

Réponse

Démontrer que P(k+1) est vraie.

12Question

Que conclut-on après l'initialisation et l'hérédité en récurrence ?

Réponse

Que P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.

13Question

Quels types de propositions peut-on démontrer par récurrence ?

Réponse

Une égalité, une inégalité ou une phrase.

14Question

Quelle inégalité doit vérifier la suite pour la récurrence dans l'exemple ?

Réponse

La suite vérifie $u_n \leq 11000$ .

15Question

Quelle hypothèse est posée pour $u_k$ dans la preuve par récurrence ?

Réponse

On suppose $u_k \leq 11000$ .

16Question

Quelle est la relation entre $u_{k+1}$ et $u_k$ dans la preuve ?

Réponse

$u_{k+1} = 0,5 u_k + 5200 \leq 10700 \leq 11000$ .

17Question

Quelle est la forme explicite de $u_n$ pour $u_0=1000$ et $u_{n+1}=0,5u_n+5200$ ?

Réponse

$u_n = 10400 - 9400 \times 0,5^n$ .

18Question

Qu'impose la définition d'une suite croissante ?

Réponse

Pour tout n ∈ ℕ, $u_{n+1} \ge u_n$ .

19Question

Qu'impose la définition d'une suite décroissante ?

Réponse

Pour tout n ∈ ℕ, $u_{n+1} \le u_n$ .

20Question

Quand une suite est-elle dite monotone ?

Réponse

Quand elle est croissante ou décroissante.

21Question

Comment étudier le sens de variation d'une suite via une fonction ?

Réponse

En étudiant les variations de $f$ lorsque $u_n = f(n)$ .

22Question

Quel signe étudier pour connaître le sens de variation d'une suite ?

Réponse

Le signe de $u_{n+1} - u_n$ .

23Question

Quelle condition utiliser si les termes d'une suite sont positifs ?

Réponse

Étudier le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .

24Question

Quelle méthode par récurrence sert à étudier le sens de variation d'une suite ?

Réponse

L'étude par récurrence du sens de variation.

25Question

Quelle expression donne la différence $v_{n+1}-v_n$ pour $v_n=2n^2+n-5$ ?

Réponse

$v_{n+1}-v_n=4n+3$

26Question

Quelle propriété de la suite $v_n=2n^2+n-5$ découle de $v_{n+1}-v_n=4n+3>0$ ?

Réponse

La suite $v_n$ est croissante.

27Question

Comment s'exprime le rapport $\frac{w_{n+1}}{w_n}$ pour $w_n=\frac{n+1}{2^n}$ ?

Réponse

$\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{n+2}{2(n+1)}$

28Question

Pourquoi la suite $w_n=\frac{n+1}{2^n}$ est-elle décroissante ?

Réponse

Parce que $\frac{w_{n+1}}{w_n} \leq 1$ car $n+2 \leq 2n+2$ .

29Question

Quelle relation de récurrence est donnée pour la suite $z_n$ ?

Réponse

$z_{n+1}=3z_n - 2$

30Question

Quelle inégalité montre que la suite $z_n$ est croissante ?

Réponse

Si $z_k \leq z_{k+1}$ alors $z_{k+1} \leq z_{k+2}$ .

31Question

Qu'impose la définition d'une suite majorée ?

Réponse

Il existe un réel M tel que pour tout n, $u_n \le M$ .

32Question

Qu'impose la définition d'une suite minorée ?

Réponse

Il existe un réel m tel que pour tout n, $m \le u_n$ .

33Question

Qu'impose la définition d'une suite bornée ?

Réponse

Il existe m et M tels que pour tout n, $m \le u_n \le M$ .

34Question

Quelle inégalité montre que $u_n=n^2-4n+5$ est minorée par 1 ?

Réponse

On a $u_n - 1 = (n-2)^2 \ge 0$ donc $u_n \ge 1$ .

35Question

Quelle est la valeur initiale de la suite $v_n$ définie par $v_0=2$ ?

Réponse

La valeur initiale est $v_0=2$ .

36Question

Quelle relation de récurrence définit la suite $v_n$ ?

Réponse

$v_{n+1} = 0,2 v_n + 10$ .

37Question

Quelle majoration est établie par récurrence pour $v_n$ ?

Réponse

On a $v_n \le 12,5$ pour tout $n$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 15 questions sur Suites et récurrence.

1. Quelle description définit correctement une suite numérique ?

2. Une suite arithmétique vérifie $u_0=7$ et $r=3$ . Quelle expression donne son terme de rang $n$ ?

Faire le QCM →

Consultez la fiche

Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Suites et récurrence.

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