Fiche de révision : Limites et opérations sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Étude de la fonction rationnelle f
2. Limites de f à l’infini
3. Étude de la fonction g
4. Limites de g et asymptotes
5. Définitions des limites
6. Opérations sur les limites
7. Comparaison et théorème des gendarmes

📖 1. Étude de la fonction rationnelle f

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x)=\frac{3x^2-10}{1+2x^2}$, on a $f'(x)=\frac{46x}{(1+2x^2)^2}$.

• Comme f'(x)<0 sur ]-∞;0[ et f'(x)>0 sur ]0;+∞[, la fonction f est décroissante puis croissante, avec un minimum f(0)=-10.

Compléments

• La courbe de f admet une tangente horizontale au point A(0 ; -10), car f'(0)=0.

💡 Astuce mémo

Le signe de 46x entraîne les variations de f.

📖 2. Limites de f à l’infini

📝 Points essentiels

• La limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ est 1,5.

• La limite de f(x) lorsque x tend vers -∞ est également 1,5.

📌 Comme f(x) tend vers 1,5 en +∞ et en -∞, la courbe de f admet l’asymptote horizontale d’équation y=1,5 aux deux infinis.

💡 Astuce mémo

La courbe de f se rapproche de la ligne horizontale y = 1,5.

📖 3. Étude de la fonction g

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de définition : Le domaine de définition de $g(x)=\frac{x^2}{x-2}$ est $D_g=]-\infty;2[\cup]2;+\infty[$, car x=2 annule le dénominateur.

📝 Points essentiels

• Le signe de g'(x) est positif sur ]-∞;0[, négatif sur ]0;2[ et ]2;4[, puis positif sur ]4;+∞[; ainsi g croît, décroît, puis croît, avec g(0)=0 et g(4)=8.

💡 Astuce mémo

x = 2 interdit le domaine, tandis que x = 0 et x = 4 annulent g'.

📖 4. Limites de g et asymptotes

📝 Points essentiels

• Lorsque x tend vers 2 par valeurs supérieures, g(x) tend vers +∞.

📌 Lorsque x tend vers 2 par valeurs inférieures, g(x) tend vers -∞ et la courbe de g admet l’asymptote verticale d’équation x=2.

💡 Astuce mémo

À droite de 2, g tend vers +∞ ; à gauche de 2, g tend vers −∞.

📖 5. Définitions des limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie en l’infini : Une fonction définie sur ]x₀;+∞[ a pour limite +∞ en +∞ si, pour tout réel A, il existe un réel a tel que x>a entraîne f(x)>A.
• Limite finie en l’infini : Une fonction a pour limite ℓ en +∞ si, pour tout réel ε strictement positif, il existe un réel a tel que x>a entraîne ℓ−ε≤f(x)≤ℓ+ε.

★ À maîtriser

• Les limites usuelles sont $\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$, $\lim_{x\to-\infty}x=-\infty$ et $\lim_{x\to\pm\infty}x^2=+\infty$.

📌 Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$, alors la courbe de f admet en +∞ l’asymptote horizontale d’équation y=ℓ.

• On a $\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0$ et $\lim_{x\to-\infty}\frac1x=0$.

📌 Si une fonction tend vers +∞ ou -∞ lorsque x tend vers a, sa courbe admet l’asymptote verticale d’équation x=a.

Compléments

• On a $\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$.

💡 Astuce mémo

Une limite finie donne une asymptote horizontale, une limite infinie en a donne une asymptote verticale.

📖 6. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

• Pour une somme, on additionne les limites lorsque la forme n’est pas indéterminée; la forme (+∞)+(−∞) est indéterminée.

• Pour un polynôme à l’infini, le terme de plus haut degré l’emporte sur les termes de degrés inférieurs.

• Pour un produit, on combine les limites et on applique la règle des signes pour déterminer si le résultat infini est positif ou négatif; le cas 0×∞ est indéterminé.

• Pour un quotient, les formes 0/0 et ∞/∞ sont indéterminées et nécessitent une transformation, souvent en conservant les termes dominants.

Compléments

• Pour $g(x)=x^2+x$ lorsque x tend vers -∞, la forme (+∞)+(−∞) est indéterminée, mais le terme dominant x² donne $\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty$.

• Lorsque x tend vers +∞, $\frac{4x+1}{8x-3}$ tend vers $\frac48=\frac12$ après division par le terme dominant x.

💡 Astuce mémo

Somme, produit, quotient : identifier d’abord la forme obtenue, puis lever les formes indéterminées.

📖 7. Comparaison et théorème des gendarmes

★ À maîtriser

📌 Si f(x)≤g(x) à partir d’un certain rang et si f(x) tend vers +∞ en +∞, alors g(x) tend aussi vers +∞ en +∞.

📌 Si f(x)≤g(x)≤h(x) et si f(x) et h(x) tendent toutes deux vers ℓ en +∞, alors g(x) tend vers ℓ en +∞.

• Comme $\lim_{x\to+\infty}-\frac1x=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0$, le théorème des gendarmes donne $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0$.

Compléments

• Pour tout réel x, on a -1≤sin x≤1, donc pour x>0, $-\frac1x\le\frac{\sin x}{x}\le\frac1x$.

💡 Astuce mémo

La fonction g est prise entre deux courbes qui convergent vers la même valeur.

📊 Tableaux de synthèse

Asymptotes et limites