Limites et opérations sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Étude de la fonction rationnelle f
2. Limites de f à l’infini
3. Étude de la fonction g
4. Limites de g et asymptotes
5. Définitions des limites
6. Opérations sur les limites
7. Comparaison et théorème des gendarmes

📖 1. Étude de la fonction rationnelle f

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x)=\frac{3x^2-10}{1+2x^2}$, on a $f'(x)=\frac{46x}{(1+2x^2)^2}$.

• Comme f'(x)<0 sur ]-∞;0[ et f'(x)>0 sur ]0;+∞[, la fonction f est décroissante puis croissante, avec un minimum f(0)=-10.

Compléments

• La courbe de f admet une tangente horizontale au point A(0 ; -10), car f'(0)=0.

💡 Astuce mémo

Le signe de 46x entraîne les variations de f.

📖 2. Limites de f à l’infini

📝 Points essentiels

• La limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ est 1,5.

• La limite de f(x) lorsque x tend vers -∞ est également 1,5.

📌 Comme f(x) tend vers 1,5 en +∞ et en -∞, la courbe de f admet l’asymptote horizontale d’équation y=1,5 aux deux infinis.

💡 Astuce mémo

La courbe de f se rapproche de la ligne horizontale y = 1,5.

📖 3. Étude de la fonction g

🔑 Notions clés & Définitions