Fiche de révision : Formulaire de mathématiques MPSI

📋 Plan du Cours

1. Sommes et coefficients binomiaux
2. Inégalités et probabilités élémentaires
3. Trigonométrie et fonctions usuelles
4. Dérivées, primitives et suites
5. Équations différentielles linéaires
6. Intégration et analyse asymptotique
7. Taylor et fonctions de plusieurs variables
8. Espaces vectoriels et matrices
9. Déterminants et interpolation
10. Probabilités et espaces euclidiens

📖 1. Sommes et coefficients binomiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient binomial : vaut $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ pour k dans [[0,n]], et vaut 0 sinon.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La somme de n termes constants vaut $\sum_{k=1}^{n}a=na$ et, pour p<q, $\sum_{k=p}^{q}a=(q-p+1)a$.

📐 Formule — Les sommes usuelles vérifient $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ et $\sum_{k=1}^{n}k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$.

📐 Formule — Le télescopage donne $\sum_{k=p}^{q}(u_{k+1}-u_k)=u_{q+1}-u_p$.

📐 Formule — La formule du binôme de Newton est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$.

💡 Astuce mémo

Sommes usuelles → télescopage → Newton → Pascal

📖 2. Inégalités et probabilités élémentaires

★ À maîtriser

📌 L’inégalité triangulaire donne $|x+y|\le |x|+|y|$, tandis que l’inégalité triangulaire inversée donne $\left||x|-|y|\right|\le |x-y|$.

📐 Formule — L’inégalité de Cauchy-Schwarz est $|(X|Y)|\le \|X\|\,\|Y\|$.

📌 Si f est convexe et si les λk sont positifs de somme 1, alors $f\left(\sum_{k=1}^{n}\lambda_kx_k\right)\le\sum_{k=1}^{n}\lambda_kf(x_k)$.

Compléments

📌 Si X≥0 et a>0, l’inégalité de Markov donne $P(X\ge a)\le\frac{E(X)}{a}$.

📌 Pour ε>0, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $P(|X-E(X)|\ge\varepsilon)\le\frac{V(X)}{\varepsilon^2}$.

💡 Astuce mémo

Markov contrôle X, Tchebychev contrôle l’écart à E(X)

📖 3. Trigonométrie et fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions hyperboliques : Les fonctions hyperboliques sont définies par $\operatorname{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, $\operatorname{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ et $\operatorname{th}(x)=\frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les formules fondamentales sont $\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1$ et $\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$, $\sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

📐 Formule — Les formules d’addition sont $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$ et $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$.

Compléments

📐 Formule — Avec $t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$, on a $\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, $\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$ et $dx=\frac{2dt}{1+t^2}$.

💡 Astuce mémo

Le cercle trigonométrique relié aux exponentielles d’Euler

📖 4. Dérivées, primitives et suites

★ À maîtriser

• Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$ et donc $u_n=u_0+nr$.

📐 Formule — Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=qu_n$ et donc $u_n=u_0q^n$.

📐 Formule — Pour une suite arithmético-géométrique $u_{n+1}=\alpha u_n+\beta$, si m vérifie $m=\alpha m+\beta$, alors $u_n-m=(u_0-m)\alpha^n$.

Compléments

📐 Formule — Les dérivées vérifient $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$ et $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ lorsque v ne s’annule pas.

💡 Astuce mémo

Dériver → primitiver → récurrence

📖 5. Équations différentielles linéaires

📝 Points essentiels

• Pour $y'-a(t)y=b(t)$, la solution générale est $y=Cy_0+y_1$, où $y_0=e^{A}$ avec A primitive de a et y1 est une solution particulière obtenue par variation de la constante.

📐 Formule — Pour $ay''+by'+cy=0$, l’équation caractéristique associée est $ar^2+br+c=0$.

📌 Si l’équation caractéristique a deux racines distinctes r1 et r2, alors $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$, tandis qu’une racine double r donne $y=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}$.

💡 Astuce mémo

Équation caractéristique → formes des solutions

📖 6. Intégration et analyse asymptotique

★ À maîtriser

📐 Formule — L’intégration par parties donne $\int_a^b u'(t)v(t)dt=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u(t)v'(t)dt$.

📐 Formule — Le changement de variable donne $\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$ lorsque ϕ transforme [α,β] en [a,b].

📐 Formule — Le développement limité de l’exponentielle au voisinage de 0 est $e^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+o(x^n)$.

Compléments

📐 Formule — Les sommes de Riemann vérifient $\lim_{n\to+\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)=\int_a^bf(x)dx$.

📌 Un équivalent s’obtient par troncature au terme dominant d’un développement limité, mais les sommes d’équivalents nécessitent de factoriser par le terme dominant.

💡 Astuce mémo

IPP → changement de variable → Riemann → développements limités

📖 7. Taylor et fonctions de plusieurs variables

★ À maîtriser

📐 Formule — La formule de Taylor-Young est $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o((x-a)^n)$ au voisinage de a.

📐 Formule — Le développement limité d’une fonction de deux variables est $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+h\frac{\partial f}{\partial x}+k\frac{\partial f}{\partial y}+o(\|(h,k)\|)$.

📐 Formule — Pour un arc γ=(x,y), la dérivée composée vérifie $(f\circ\gamma)'(t)=x'(t)\frac{\partial f}{\partial x}+y'(t)\frac{\partial f}{\partial y}=(\nabla f(\gamma(t))|\gamma'(t))$.

Compléments

• La règle de la chaîne calcule les dérivées partielles d’une composée en multipliant les dérivées des fonctions intermédiaires par les dérivées partielles de la fonction extérieure, puis en les additionnant.

💡 Astuce mémo

Dérivées partielles → différentielle → composition

📖 8. Espaces vectoriels et matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : ensemble G de E est un sous-espace vectoriel si et seulement s’il est non vide et stable par combinaison linéaire.

★ À maîtriser

📐 Formule — La formule de Grassmann est $\dim(G_1+G_2)=\dim(G_1)+\dim(G_2)-\dim(G_1\cap G_2)$.

📐 Formule — La formule du rang est $\dim(E)=\dim(\operatorname{Im}(u))+\dim(\operatorname{Ker}(u))$.

📐 Formule — Le produit matriciel vérifie $c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$ pour le produit C=AB.

Compléments

📐 Formule — Lors d’un changement de bases, la matrice d’une application linéaire vérifie $A'=Q^{-1}AP$.

💡 Astuce mémo

Noyau mesure l’injectivité, image mesure la surjectivité

📖 9. Déterminants et interpolation

★ À maîtriser

📐 Formule — Le déterminant se développe selon une ligne par $\det(A)=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{ik}$, où Aik est le cofacteur.

📌 Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

📐 Formule — Le déterminant de Vandermonde vaut $\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)$.

📐 Formule — Les polynômes de Lagrange vérifient $L_i(X)=\prod_{k\ne i}\frac{X-a_k}{a_i-a_k}$ et le polynôme interpolateur est $P_f(X)=\sum_{i=0}^{n}f(a_i)L_i(X)$.

Compléments

📐 Formule — Le déterminant d’un produit vérifie $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ et celui d’une transposée vérifie $\det(A^T)=\det(A)$.

💡 Astuce mémo

Cofacteurs → déterminant → Vandermonde → Lagrange

📖 10. Probabilités et espaces euclidiens

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un système complet d’événements, la formule des probabilités totales est $P(B)=\sum_{k=1}^{n}P(B|A_k)P(A_k)$.

📐 Formule — La formule de Bayes est $P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{k=1}^{n}P(B|A_k)P(A_k)}$.

📐 Formule — Si X suit une loi binomiale B(n,p), alors $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$.

📐 Formule — La variance vérifie $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$ et la covariance vérifie $\operatorname{cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$.

📐 Formule — Le projeté orthogonal de x sur un sous-espace F muni d’une base orthonormée (e1,…,en) est $p_F(x)=\sum_{k=1}^{n}(x|e_k)e_k$.

📐 Formule — Le théorème de Pythagore donne $x\perp y\Longleftrightarrow\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$.

Compléments

📐 Formule — Pour des variables indépendantes, $E\left(\prod_{k=1}^{n}X_k\right)=\prod_{k=1}^{n}E(X_k)$ et $V\left(\sum_{k=1}^{n}X_k\right)=\sum_{k=1}^{n}V(X_k)$.

💡 Astuce mémo

Loi → espérance → variance → orthogonalité

📊 Tableaux de synthèse

Lois de probabilité usuelles