Fiche de révision : Formulaire et calculs algébriques

📋 Plan du Cours

1. Puissances et identités remarquables
2. Logarithme exponentielle et valeur absolue
3. Sommes remarquables et suites
4. Factorielles et coefficients binomiaux
5. Ordre et encadrement des réels
6. Équations et second degré
7. Dérivation et fonctions usuelles
8. Limites et croissances comparées
9. Sommes et produits indexés
10. Sommes doubles et télescopage

📖 1. Puissances et identités remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Pour un réel x et un entier positif n, on définit x^0=1 lorsque x≠0 et x^n comme le produit de n facteurs égaux à x ; pour n négatif, x^n=1/x^{-n} lorsque x≠0.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour a,b réels non nuls et n,m entiers, $a^n a^m=a^{n+m}$, $\left(a^n\right)^m=a^{nm}$ et $\left(ab\right)^n=a^n b^n$.

📐 Formule — Les identités remarquables comprennent $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$, $\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$ et $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

📖 2. Logarithme exponentielle et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien est défini pour tout réel strictement positif et vérifie ln(ab)=ln(a)+ln(b), ln(a/b)=ln(a)-ln(b) et ln(a^n)=n ln(a).
• Exponentielle : L’exponentielle est définie sur tout réel et vérifie exp(a+b)=exp(a)exp(b), exp(a-b)=exp(a)/exp(b) et exp(-a)=1/exp(a).

📝 Points essentiels

📌 Le logarithme et l’exponentielle sont réciproques : pour x réel et y strictement positif, exp(x)=y équivaut à x=ln(y), et exp(ln(y))=y.

• Pour k≥0, les équations de valeur absolue se résolvent par |x|=k équivaut à x=-k ou x=k, |x|≤k équivaut à -k≤x≤k, et |x|≥k équivaut à x≤-k ou x≥k.

💡 Astuce mémo

Le logarithme transforme les produits en sommes, tandis que l’exponentielle transforme les sommes en produits.

📖 3. Sommes remarquables et suites

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour n≥1, $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ et $\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$.

📐 Formule — Pour q≠1, la somme géométrique vérifie $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

📐 Formule — Pour une suite arithmétique, $\sum_{k=0}^{n}u_k=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}$, soit le nombre de termes multiplié par la moyenne des extrêmes.

📖 4. Factorielles et coefficients binomiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : Pour n≥1, la factorielle est définie par n!=n(n-1)⋯1 et 0!=1 ; elle désigne le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments.
• Coefficient binomial : Le coefficient binomial \binom{n}{p} compte les sous-ensembles à p éléments d’un ensemble à n éléments et vaut $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ pour 0≤p≤n.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les coefficients binomiaux vérifient $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$ et la relation de Pascal $\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}=\binom{n+1}{p+1}$.

📖 5. Ordre et encadrement des réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant : Un réel M est un majorant d’un ensemble A si tout élément a de A vérifie a≤M ; le maximum de A est un majorant qui appartient à A.
• Minorant : Un réel m est un minorant d’un ensemble A si tout élément a de A vérifie m≤a ; le minimum de A est un minorant qui appartient à A.
• Partie entière : La partie entière ⌊x⌋ est l’unique entier relatif vérifiant $\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1$.

📝 Points essentiels

📌 Si a≤b et c≥0, alors ac≤bc ; si a≤b et c≤0, alors ac≥bc.

💡 Astuce mémo

Multiplier par un positif conserve l’ordre, multiplier par un négatif l’inverse.

📖 6. Équations et second degré

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour ax^2+bx+c=0 avec a≠0, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

• Pour une équation du second degré, Δ>0 donne deux racines réelles distinctes, Δ=0 donne une racine réelle double et Δ<0 donne aucune racine réelle.

Compléments

📐 Formule — Si x1 et x2 sont les racines d’un trinôme de coefficient dominant a, leur somme et leur produit vérifient $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

📌 L’équation x^2=k dans R n’a de solutions que si k≥0 et possède alors les solutions -√k et √k ; l’équation √x=k exige k≥0 et x≥0 et possède la solution x=k^2.

💡 Astuce mémo

Discriminant positif : deux racines ; nul : une racine double ; négatif : aucune racine réelle.

📖 7. Dérivation et fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Une fonction f est dérivable en x0 si le taux d’accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ admet une limite finie lorsque x tend vers x0 ; cette limite est f′(x0).

★ À maîtriser

📐 Formule — Si f est dérivable en x0, la tangente à sa courbe en (x0,f(x0)) a pour équation $y=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)$.

📐 Formule — Les dérivées vérifient $(f+g)'=f'+g'$, $(fg)'=f'g+fg'$ et $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ lorsque les expressions sont définies.

📐 Formule — Pour des fonctions composables dérivables, $(v\circ u)'=(v'\circ u)u'$.

Compléments

📐 Formule — Les dérivées usuelles comprennent $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=\frac1x$, $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$.

💡 Astuce mémo

Le nombre dérivé donne la pente, donc l’équation de la tangente.

📖 8. Limites et croissances comparées

📝 Points essentiels

• Les limites usuelles sont $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$, $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$, $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$.

• Pour tout entier n≥1, les croissances comparées vérifient $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0$.

💡 Astuce mémo

À l’infini, l’exponentielle domine les puissances ; près de zéro, les puissances dominent le logarithme.

📖 9. Sommes et produits indexés

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme indexée : Pour une famille finie (u_i) indexée par I={i1,…,in}, la somme $\sum_{i\in I}u_i$ est u_i1+⋯+u_in, et la somme sur un ensemble vide vaut 0.

★ À maîtriser

📌 Les sommes se distribuent sur l’addition et les constantes se factorisent : $\sum_{k=p}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=p}^{n}a_k+\sum_{k=p}^{n}b_k$ et $\sum_{k=p}^{n}\lambda a_k=\lambda\sum_{k=p}^{n}a_k$.

• Le télescopage transforme $\sum_{i=0}^{n-1}(u_{i+1}-u_i)$ en u_n-u_0 et, si les termes sont non nuls, $\prod_{i=0}^{n-1}\frac{u_{i+1}}{u_i}$ en u_n/u_0.

Compléments

• Un changement d’indice j=k+ℓ transforme $\sum_{k=p}^{n}a_{k+\ell}$ en $\sum_{j=p+\ell}^{n+\ell}a_j$.

📖 10. Sommes doubles et télescopage

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme double : Une somme double est une expression telle que $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}a_{i,j}$, dont les bornes de la seconde somme peuvent dépendre de l’indice de la première.

★ À maîtriser

📌 Lorsque les bornes ne dépendent pas des indices, les signes de sommation peuvent être intervertis sans modifier la somme.

Compléments

📐 Formule — Si les indices se séparent, alors $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}a_i b_j=\left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)\left(\sum_{j=1}^{p}b_j\right)$.

• La somme triangulaire vérifie $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}a_{i,j}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=j}^{n}a_{i,j}$.

💡 Astuce mémo

Décaler, télescoper, puis intervertir les indices selon leurs bornes.

📊 Tableaux de synthèse

Valeur du discriminant