QCM : Formulaire et calculs algébriques — 29 questions

Question 1

1. Pour un réel non nul $x$ , que vaut $x^{-3}$ selon la définition des puissances ?

-x^3

\frac{1}{x^3}

x^3

\frac{1}{3x}

Explication

Un exposant négatif transforme la puissance en son inverse : $x^{-3}=\frac{1}{x^3}$ . L’expression $-x^3$ correspondrait à l’opposé d’une puissance positive, et non à son inverse.

Answer

$$\frac{1}{x^3}$$

Question 2

2. Quelle expression est équivalente à $a^4a^{-2}$ pour $a\neq0$ ?

a^6

a^{-8}

2a^2

a^2

Explication

Le produit de puissances de même base se simplifie en additionnant les exposants : $a^4a^{-2}=a^{4-2}=a^2$ . La multiplication des exposants s’applique à une puissance de puissance, et non à ce produit.

Answer

$$(a-b)(a+b)$$

Answer

Pour $$x>2$$

Answer

$$\exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)}$$

Answer

$$x=\ln(5)$$

Answer

$$x\leq-3$$ ou $$x\geq3$$

Answer

$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Answer

$$\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

Answer

$$(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}$$

Answer

Le nombre de permutations de ses éléments

Answer

$$\frac{n!}{p!(n-p)!}$$

Answer

Le maximum appartient à l’ensemble considéré

Answer

Il appartient à l’ensemble considéré

Answer

$$ac\ge bc$$

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Answer

Elle possède une racine réelle double

Answer

Le taux d’accroissement admet une limite finie en $$x_0$$

Answer

$$y=3+2(x-1)$$

Answer

$$\frac{f'g-fg'}{g^2}$$

Answer

$$(v\circ u)'=(v'\circ u)u'$$

Answer

$$\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$$

Answer

$$+\infty$$

Answer

$$\sum_{k=p}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=p}^{n}a_k+\sum_{k=p}^{n}b_k$$

Answer

$$u_n-u_0$$

Answer

Les bornes de la seconde sommation peuvent dépendre de l’indice de la première

Answer

Lorsque les bornes des deux sommations ne dépendent pas des indices

Question 3

3. Quelle factorisation correspond à la différence de deux carrés $a^2-b^2$ ?

(a-b)(a+b)

(a^2-b)(a^2+b)

(a-b)^2

(a+b)^2

Explication

La différence de deux carrés se factorise par $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . Les expressions $(a-b)^2$ et $(a+b)^2$ développent respectivement des carrés comportant un terme croisé.

Question 4

4. Pour quelles valeurs de $x$ l’expression $\ln(x-2)$ est-elle définie ?

Pour

x\geq2

Pour tout réel

x

Pour

x>2

Pour

x<2

Explication

Le logarithme népérien exige un argument strictement positif, donc $x-2>0$ , ce qui donne $x>2$ . La valeur $x=2$ est exclue car $\ln(0)$ n’est pas défini.

Question 5

5. Quelle égalité traduit correctement la propriété de l’exponentielle pour une différence ?

\exp(a-b)=\exp(ab)

\exp(a-b)=\frac{\exp(b)}{\exp(a)}

\exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)}

\exp(a-b)=\exp(a)-\exp(b)

Explication

La différence dans l’exposant devient un quotient : $\exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)}$ . Soustraire deux exponentielles ne reproduit pas cette propriété multiplicative.

Question 6

6. Si $\exp(x)=5$ , quelle relation permet de déterminer $x$ ?

x=5\ln(x)

x=\ln(5)

x=\ln(-5)

x=\exp(5)

Explication

Le logarithme et l’exponentielle sont des fonctions réciproques, donc $\exp(x)=5$ équivaut à $x=\ln(5)$ . L’argument du logarithme doit être positif, ce qui rend aussi $\ln(-5)$ inadmissible.

Question 7

7. Quel ensemble décrit les solutions de $|x|\geq3$ ?

-3<x<3

x\leq-3

ou

x\geq3

x=-3

ou

x=3

-3\leq x\leq3

Explication

Une distance à zéro au moins égale à $3$ correspond aux deux régions extérieures : $x\leq-3$ ou $x\geq3$ . L’intervalle central représente plutôt la condition $|x|\leq3$ .

Question 8

8. Quelle est la valeur de $\sum_{k=1}^{n}k^2$ pour $n\geq1$ ?

\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}

\frac{n^2(n+1)^2}{4}

\frac{n(n+1)}{2}

\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Explication

La somme des carrés des entiers de $1$ à $n$ vaut $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Les deux autres formules principales correspondent respectivement à la somme des entiers et à celle de leurs cubes.

Question 9

9. Pour $q\neq1$ , quelle formule donne $\sum_{k=0}^{n}q^k$ ?

\frac{n+1}{q}

\frac{q^{n+1}-1}{q-1}

\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

\frac{1-q^n}{1-q}

Explication

La somme géométrique commençant à $q^0$ contient le dernier terme $q^n$ et s’écrit $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ . L’exposant doit donc être $n+1$ dans le numérateur, et la formule suppose $q\neq1$ .

Question 10

10. Une suite arithmétique possède $n+1$ termes, de premier terme $u_0$ et de dernier terme $u_n$ . Quelle expression donne leur somme ?

(n+1)\frac{u_0u_n}{2}

n\frac{u_0+u_n}{2}

(u_0+u_n)^n

(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}

Explication

La somme d’une suite arithmétique est le nombre de termes multiplié par la moyenne des extrêmes : $(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}$ . Le nombre de termes est $n+1$ , et la moyenne utilise une addition plutôt qu’un produit.

Question 11

11. Que représente la quantité $n!$ pour un ensemble comportant $n$ éléments ?

Le nombre de partitions en deux groupes

Le nombre de sous-ensembles non vides

Le nombre de permutations de ses éléments

Le nombre de sous-ensembles à deux éléments

Explication

La factorielle $n!$ compte les permutations d’un ensemble à $n$ éléments. Le comptage des sous-ensembles à un nombre fixé d’éléments relève plutôt des coefficients binomiaux.

Question 12

12. Combien de sous-ensembles à $p$ éléments possède un ensemble à $n$ éléments, lorsque $0\le p\le n$ ?

\frac{(n-p)!}{n!p!}

\frac{n!}{p!(n+p)!}

\frac{n!}{p!(n-p)!}

\frac{p!(n-p)!}{n!}

Explication

Le coefficient binomial $\binom{n}{p}$ compte ces sous-ensembles et vaut $\frac{n!}{p!(n-p)!}$ . La factorielle $n!$ seule compterait des permutations, et non des choix sans ordre.

Question 13

13. Quelle condition supplémentaire distingue le maximum d’un ensemble de l’un de ses majorants ?

Le maximum appartient à l’ensemble considéré

Le maximum est défini pour tout ensemble vide

Le maximum est nécessairement strictement positif

Le maximum est inférieur à chaque élément

Explication

Un maximum est un majorant qui appartient à l’ensemble. Un majorant peut être extérieur à l’ensemble, ce qui constitue la confusion principale entre ces deux notions.

Question 14

14. Quelle condition caractérise le minimum d’un ensemble parmi ses minorants ?

Il appartient à l’ensemble considéré

Il est supérieur à chaque élément

Il n’existe que pour un ensemble fini

Il est nécessairement négatif

Explication

Le minimum est un minorant appartenant à l’ensemble. Un minorant peut ne pas appartenir à l’ensemble, et son existence ne dépend pas du fait que l’ensemble soit fini.

Question 15

15. Si $a\le b$ et $c<0$ , quelle relation obtient-on après multiplication par $c$ ?

ac\ge bc

\frac{a}{c}\le\frac{b}{c}

ac\le bc

a+c\ge b+c

Explication

La multiplication d’une inégalité par un nombre négatif inverse son sens, donc $ac\ge bc$ . Avec un facteur positif, le sens de l’inégalité resterait inchangé.

Question 16

16. Quel entier est égal à $\lfloor -2{,}3\rfloor$ ?

3

-3

-2

2

Explication

La partie entière est l’unique entier vérifiant $\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1$ ; pour $x=-2{,}3$ , c’est donc $-3$ . L’entier $-2$ est supérieur à $-2{,}3$ et ne satisfait pas la première inégalité.

Question 17

17. Quel est le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$ ?

\Delta=2b-4ac

\Delta=b^2-4ac

\Delta=4ac-b^2

\Delta=b^2+4ac

Explication

Le discriminant d’un trinôme du second degré est défini par $\Delta=b^2-4ac$ . Le signe devant le terme $4ac$ est négatif dans cette formule.

Question 18

18. Que peut-on conclure pour une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta=0$ ?

Elle possède deux racines réelles distinctes

Elle ne possède aucune racine réelle

Elle possède une racine réelle double

Elle possède trois racines réelles différentes

Explication

Un discriminant nul correspond à une unique racine réelle comptée deux fois, appelée racine double. Deux racines réelles distinctes apparaissent lorsque $\Delta>0$ , tandis que $\Delta<0$ ne donne aucune racine réelle.

Question 19

19. Quelle condition caractérise la dérivabilité d’une fonction en $x_0$ ?

Le taux d’accroissement admet une limite finie en

x_0

Le taux d’accroissement admet une limite infinie en

x_0

La fonction possède une tangente verticale en

x_0

La fonction possède une valeur positive en

x_0

Explication

La dérivabilité en $x_0$ exige que le taux d’accroissement tende vers une limite finie, qui définit $f'(x_0)$ . Une limite infinie correspond plutôt au comportement associé à une tangente verticale.

Question 20

20. Si $f(x_0)=3$ et $f'(x_0)=2$ , quelle est l’équation de la tangente à la courbe de $f$ en $x_0=1$ ?

y=2+3(x-1)

y=3+\frac{1}{2}(x-1)

y=3+2(x-1)

x=1

Explication

La tangente s’écrit $y=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)$ , donc ici $y=3+2(x-1)$ . L’équation $x=1$ décrit une droite verticale et ne correspond pas à la formule de la tangente fondée sur la dérivée finie.

Question 21

21. Quelle expression donne la dérivée du quotient $\frac{f}{g}$ lorsque $g$ est non nulle ?

\frac{f'g+fg'}{g^2}

\frac{f'g-fg'}{g^2}

\frac{f'g'}{g^2}

\frac{f'g-fg'}{g}

Explication

La règle du quotient est $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ lorsque les expressions sont définies. Le signe moins devant $fg'$ distingue cette formule de la règle du produit.

Question 22

22. Pour des fonctions dérivables composables, quelle formule applique correctement la règle de la chaîne à $v\circ u$ ?

(v\circ u)'=(v\circ u')v'

(v\circ u)'=v'u'

(v\circ u)'=(v'\circ u)u'

(v\circ u)'=v'+u'

Explication

La règle de la chaîne évalue la dérivée de la fonction extérieure en $u(x)$ , puis la multiplie par $u'(x)$ . Une simple somme ou un produit de dérivées sans composition ne représente pas cette dépendance.

Question 23

23. Quelle limite est correcte lorsque la variable tend vers l’infini ou vers zéro par valeurs positives ?

\lim_{x\to+\infty}\ln x=-\infty

\lim_{x\to-\infty}e^x=-\infty

\lim_{x\to0^+}\ln x=+\infty

\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty

Explication

Le logarithme tend vers $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $0^+$ . La limite de l’exponentielle en $-\infty$ est au contraire $0$ , ce qui explique la confusion fréquente entre ces deux comportements.

Question 24

24. Pour tout entier $n\geq1$ , que vaut la limite de $\frac{e^x}{x^n}$ lorsque $x\to+\infty$ ?

0

Elle n’existe pas

+\infty

1

Explication

L’exponentielle croît plus rapidement que toute puissance, donc $\frac{e^x}{x^n}\to+\infty$ . La limite nulle concerne plutôt $\frac{\ln x}{x^n}$ , car les puissances dominent le logarithme.

Question 25

25. Quelle valeur est attribuée à la somme d’une famille indexée par un ensemble vide ?

La somme n’est pas définie

1

0

La valeur du premier terme

Explication

Par convention, la somme sur un ensemble vide vaut $0$ , élément neutre de l’addition. La valeur $1$ est l’élément neutre associé aux produits vides, et non aux sommes vides.

Question 26

26. Quelle transformation applique correctement la distributivité d’une somme indexée ?

\sum_{k=p}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=p}^{n}a_k+\sum_{k=p}^{n}b_k

\sum_{k=p}^{n}\lambda a_k=\sum_{k=p}^{n}a_k+\lambda

\sum_{k=p}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=p}^{n}(a_k-b_k)

\sum_{k=p}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=p}^{n}a_k\sum_{k=p}^{n}b_k

Explication

La somme se distribue sur l’addition terme à terme, ce qui donne la somme des deux sommes correspondantes. La multiplication des sommes et l’ajout d’une constante ne décrivent pas les règles de linéarité d’une somme indexée.

Question 27

27. Comment se simplifie la somme télescopique $\sum_{i=0}^{n-1}(u_{i+1}-u_i)$ ?

\sum_{i=0}^{n-1}u_i

u_n+u_0

u_0-u_n

u_n-u_0

Explication

En développant les termes, les valeurs intermédiaires s’annulent deux à deux, laissant $u_n-u_0$ . Cette annulation des termes intermédiaires est précisément le mécanisme du télescopage.

Question 28

28. Quelle caractéristique distingue une somme double d’une somme rectangulaire lorsque l’on considère les bornes de la seconde sommation ?

Les deux sommations doivent posséder des bornes variables liées entre elles

Les bornes de la seconde sommation peuvent dépendre de l’indice de la première

Les indices des deux sommations doivent parcourir une même plage de valeurs

Les bornes de la première sommation peuvent dépendre de l’indice de la seconde

Explication

Dans une somme double, les bornes de la seconde somme peuvent être fonction de l’indice de la première, ce qui permet notamment de décrire un domaine non rectangulaire. La somme rectangulaire se caractérise plutôt par des bornes fixes pour chaque indice.

Question 29

29. Dans quelle situation peut-on intervertir directement les deux signes de sommation sans changer la valeur de la somme ?

Lorsque la seconde borne varie selon l’indice de la première sommation

Lorsque le domaine d’indices possède une forme triangulaire

Lorsque les termes contiennent deux indices liés par une relation

Lorsque les bornes des deux sommations ne dépendent pas des indices

Explication

Des bornes fixes définissent un domaine rectangulaire, et l’ordre des deux sommations peut alors être échangé sans modifier la somme. Avec des bornes dépendantes, il faut d’abord réexaminer le domaine parcouru avant toute interversion.

QCM : Formulaire et calculs algébriques — 29 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour un réel non nul xxx, que vaut x−3x^{-3}x−3 selon la définition des puissances ?

2. Quelle expression est équivalente à a4a−2a^4a^{-2}a4a−2 pour a≠0a\neq0a=0 ?

3. Quelle factorisation correspond à la différence de deux carrés a2−b2a^2-b^2a2−b2 ?

4. Pour quelles valeurs de xxx l’expression ln⁡(x−2)\ln(x-2)ln(x−2) est-elle définie ?

5. Quelle égalité traduit correctement la propriété de l’exponentielle pour une différence ?

6. Si exp⁡(x)=5\exp(x)=5exp(x)=5, quelle relation permet de déterminer xxx ?

7. Quel ensemble décrit les solutions de ∣x∣≥3|x|\geq3∣x∣≥3 ?

8. Quelle est la valeur de ∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n}k^2∑k=1n​k2 pour n≥1n\geq1n≥1 ?

9. Pour q≠1q\neq1q=1, quelle formule donne ∑k=0nqk\sum_{k=0}^{n}q^k∑k=0n​qk ?

10. Une suite arithmétique possède n+1n+1n+1 termes, de premier terme u0u_0u0​ et de dernier terme unu_nun​. Quelle expression donne leur somme ?

11. Que représente la quantité n!n!n! pour un ensemble comportant nnn éléments ?

12. Combien de sous-ensembles à ppp éléments possède un ensemble à nnn éléments, lorsque 0≤p≤n0\le p\le n0≤p≤n ?

13. Quelle condition supplémentaire distingue le maximum d’un ensemble de l’un de ses majorants ?

14. Quelle condition caractérise le minimum d’un ensemble parmi ses minorants ?

15. Si a≤ba\le ba≤b et c<0c<0c<0, quelle relation obtient-on après multiplication par ccc ?

16. Quel entier est égal à ⌊−2,3⌋\lfloor -2{,}3\rfloor⌊−2,3⌋ ?

17. Quel est le discriminant de l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 avec a≠0a\ne0a=0 ?

18. Que peut-on conclure pour une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie Δ=0\Delta=0Δ=0 ?

19. Quelle condition caractérise la dérivabilité d’une fonction en x0x_0x0​ ?

20. Si f(x0)=3f(x_0)=3f(x0​)=3 et f′(x0)=2f'(x_0)=2f′(x0​)=2, quelle est l’équation de la tangente à la courbe de fff en x0=1x_0=1x0​=1 ?

21. Quelle expression donne la dérivée du quotient fg\frac{f}{g}gf​ lorsque ggg est non nulle ?

22. Pour des fonctions dérivables composables, quelle formule applique correctement la règle de la chaîne à v∘uv\circ uv∘u ?

23. Quelle limite est correcte lorsque la variable tend vers l’infini ou vers zéro par valeurs positives ?

24. Pour tout entier n≥1n\geq1n≥1, que vaut la limite de exxn\frac{e^x}{x^n}xnex​ lorsque x→+∞x\to+\inftyx→+∞ ?

25. Quelle valeur est attribuée à la somme d’une famille indexée par un ensemble vide ?

26. Quelle transformation applique correctement la distributivité d’une somme indexée ?

27. Comment se simplifie la somme télescopique ∑i=0n−1(ui+1−ui)\sum_{i=0}^{n-1}(u_{i+1}-u_i)∑i=0n−1​(ui+1​−ui​) ?

28. Quelle caractéristique distingue une somme double d’une somme rectangulaire lorsque l’on considère les bornes de la seconde sommation ?

29. Dans quelle situation peut-on intervertir directement les deux signes de sommation sans changer la valeur de la somme ?

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1. Pour un réel non nul $x$ , que vaut $x^{-3}$ selon la définition des puissances ?

2. Quelle expression est équivalente à $a^4a^{-2}$ pour $a\neq0$ ?

3. Quelle factorisation correspond à la différence de deux carrés $a^2-b^2$ ?

4. Pour quelles valeurs de $x$ l’expression $\ln(x-2)$ est-elle définie ?

6. Si $\exp(x)=5$ , quelle relation permet de déterminer $x$ ?

7. Quel ensemble décrit les solutions de $|x|\geq3$ ?

8. Quelle est la valeur de $\sum_{k=1}^{n}k^2$ pour $n\geq1$ ?

9. Pour $q\neq1$ , quelle formule donne $\sum_{k=0}^{n}q^k$ ?

10. Une suite arithmétique possède $n+1$ termes, de premier terme $u_0$ et de dernier terme $u_n$ . Quelle expression donne leur somme ?

11. Que représente la quantité $n!$ pour un ensemble comportant $n$ éléments ?

12. Combien de sous-ensembles à $p$ éléments possède un ensemble à $n$ éléments, lorsque $0\le p\le n$ ?

15. Si $a\le b$ et $c<0$ , quelle relation obtient-on après multiplication par $c$ ?

16. Quel entier est égal à $\lfloor -2{,}3\rfloor$ ?

17. Quel est le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$ ?

18. Que peut-on conclure pour une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta=0$ ?

19. Quelle condition caractérise la dérivabilité d’une fonction en $x_0$ ?

20. Si $f(x_0)=3$ et $f'(x_0)=2$ , quelle est l’équation de la tangente à la courbe de $f$ en $x_0=1$ ?

21. Quelle expression donne la dérivée du quotient $\frac{f}{g}$ lorsque $g$ est non nulle ?

22. Pour des fonctions dérivables composables, quelle formule applique correctement la règle de la chaîne à $v\circ u$ ?

24. Pour tout entier $n\geq1$ , que vaut la limite de $\frac{e^x}{x^n}$ lorsque $x\to+\infty$ ?

27. Comment se simplifie la somme télescopique $\sum_{i=0}^{n-1}(u_{i+1}-u_i)$ ?