1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)
Explication
Le développement de e^x est obtenu en divisant chaque puissance x^k par k!, avec des signes positifs. Jusqu’au degré 3, on obtient donc 1+x+x²/2+x³/6.
ch x ne contient que des puissances paires et sh x seulement des puissances impaires
Explication
La fonction ch est paire, son développement ne comporte donc que des puissances paires. La fonction sh est impaire et son développement ne comporte que des puissances impaires.
1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)
Explication
Le développement de cos x commence par 1 et alterne les signes : 1−x²/2!+x⁴/4!+o(x⁴). Les expressions commençant par x correspondent à la structure de sin x.
\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}
Explication
Le terme de degré 2 du développement binomial est α(α−1)x²/2!. Le coefficient recherché est donc α(α−1)/2.
1+x+x^2+x^3+o(x^3)
Explication
Le développement de 1/(1−x) possède uniquement des coefficients positifs : 1+x+x²+x³+o(x³). L’alternance des signes caractérise 1/(1+x).
-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)
Explication
Dans le développement de ln(1−x), tous les termes non nuls portent un signe négatif : −x−x²/2−x³/3+o(x³). L’alternance des signes concerne ln(1+x).
\frac{u^{m+1}}{m+1}+C
Explication
La règle de la puissance donne une primitive de u'u^m sous la forme u^{m+1}/(m+1)+C, à condition que m soit différent de −1. Le cas m=−1 conduit à une primitive logarithmique.
\ln|u|+C
Explication
La dérivée de ln|u| est u'/u lorsqu'u ne s’annule pas. Cette situation correspond au cas logarithmique, distinct de la règle de la puissance pour u'u^m avec m≠−1.
-\cos u+C
Explication
Par composition, la dérivée de −cos u est u' sin u. Ainsi, une primitive de u' sin u est −cos u+C.
Calculer le discriminant puis distinguer les cas \(\Delta>0\), \(\Delta=0\) et \(\Delta<0\)
Explication
Le traitement de cette fraction rationnelle dépend du discriminant \(\Delta=b^2-4ac\). Les trois signes de \(\Delta\) conduisent à des formes d’intégration différentes.
Le dénominateur possède deux racines réelles distinctes et la fraction se décompose en termes simples
Explication
Lorsque \(\Delta>0\), le trinôme possède deux racines réelles distinctes, ce qui permet une décomposition de la fraction en deux termes simples. La racine double correspond au cas \(\Delta=0\).
\(1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}\)
Explication
L’identité fondamentale reliant la tangente et le cosinus est \(1+\tan^2x=1/\cos^2x\). Elle complète l’identité \(\cos^2x+\sin^2x=1\).
\(\sin a\cos b+\cos a\sin b\)
Explication
La formule d’addition du sinus est \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\). Le signe moins caractérise notamment la formule de \(\cos(a+b)\).
\(2\sin a\cos a\)
Explication
La formule de duplication du sinus est \(\sin(2a)=2\sin a\cos a\). Les expressions faisant intervenir des différences de carrés correspondent à \(\cos(2a)\).
\(U=V\ [2\pi]\) ou \(U=-V\ [2\pi]\)
Explication
Pour le cosinus, les solutions sont données par les branches \(U=V\ [2\pi]\) et \(U=-V\ [2\pi]\). La branche \(\pi-V\) appartient à la résolution de \(\sin U=\sin V\).
\(\frac{2t}{1+t^2}\)
Explication
Avec la substitution d’angle moitié \(t=\tan(a/2)\), on a \(\sin a=2t/(1+t^2)\). La formule \(2t/(1-t^2)\) correspond à \(\tan a\).
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Quel est le développement limité de l'exponentielle près de 0 ?
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+o(x^n).
Quel est le développement limité de la fonction cosinus près de 0 ?
cos x=1 - x^2/2! + x^4/4! - ... + (-1)^n x^{2n}/(2n)! + o(x^{2n}).
Quel est le développement limité de la fonction sinus près de 0 ?
sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ... + (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)! + o(x^{2n+1}).
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