Fiche de révision : Formulaires d’analyse et trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Développements limités usuels
2. Développements limités dérivés
3. Primitives usuelles
4. Primitives des fractions rationnelles
5. Identités trigonométriques
6. Équations et angles associés

📖 1. Développements limités usuels

★ À maîtriser

📐 Formule — Le développement limité de l’exponentielle au voisinage de 0 est $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$.

📐 Formule — Les développements limités des fonctions hyperboliques sont $\operatorname{ch}x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$ et $\operatorname{sh}x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$.

📐 Formule — Les développements limités des fonctions circulaires sont $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$ et $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$.

Compléments

📐 Formule — Les développements limités usuels de la tangente hyperbolique et de la tangente sont $\operatorname{th}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)$ et $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)$.

💡 Astuce mémo

Exponentielles, hyperboliques, puis circulaires

📖 2. Développements limités dérivés

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel α, le développement binomial est $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$.

📐 Formule — Les développements des inverses sont $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+o(x^n)$ et $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n)$.

📐 Formule — Les développements logarithmiques sont $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+o(x^n)$ et $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots-\frac{x^n}{n}+o(x^n)$.

Compléments

📐 Formule — Les développements de l’arctangente et de l’argument tangente hyperbolique sont $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+1})$ et $\operatorname{argth}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+1})$.

💡 Astuce mémo

Les logarithmes alternent ou gardent un signe, selon 1+x ou 1−x

📖 3. Primitives usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule — Si u est dérivable et m≠−1, une primitive de $u' u^m$ est $\frac{u^{m+1}}{m+1}+C$.

📐 Formule — Une primitive de $\frac{u'}{u}$ est $\ln|u|+C$.

📐 Formule — Les primitives usuelles vérifient $\int u'e^u\,dx=e^u+C$, $\int u'\cos u\,dx=\sin u+C$ et $\int u'\sin u\,dx=-\cos u+C$.

Compléments

📐 Formule — Sur un intervalle où elle est définie, une primitive de $\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2x$ est $\tan x+C$.

• Une primitive de $u'\tan u$ est $-\ln|\cos u|+C$.

📖 4. Primitives des fractions rationnelles

★ À maîtriser

• Pour intégrer $\frac{1}{ax^2+bx+c}$, on calcule d’abord $\Delta=b^2-4ac$, puis on traite séparément les cas $\Delta>0$, $\Delta=0$ et $\Delta<0$.

Compléments

📐 Formule — Lorsque Δ<0, le trinôme se met sous la forme $a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\beta^2\right)$ avec $\beta=\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$, ce qui conduit à une primitive en arctangente.

📌 Lorsque Δ>0, le dénominateur possède deux racines réelles distinctes et la fraction se décompose en deux termes simples.

💡 Astuce mémo

Discriminant positif, nul, puis négatif

📖 5. Identités trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Les identités fondamentales sont $\cos^2x+\sin^2x=1$ et $1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}$.

📐 Formule — Les formules d’addition sont $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.

📐 Formule — Les formules de duplication sont $\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$ et $\sin(2a)=2\sin a\cos a$.

Compléments

📐 Formule — Les formules de linéarisation donnent $\cos^2a=\frac{1+\cos(2a)}{2}$ et $\sin^2a=\frac{1-\cos(2a)}{2}$.

💡 Astuce mémo

Addition, duplication, linéarisation

📖 6. Équations et angles associés

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $t=\tan\left(\frac a2\right)$, alors $\cos a=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, $\sin a=\frac{2t}{1+t^2}$ et $\tan a=\frac{2t}{1-t^2}$.

📌 Les équations trigonométriques se résolvent par $\cos U=\cos V\Longleftrightarrow U=V\ [2\pi]\ \text{ou}\ U=-V\ [2\pi]$, $\sin U=\sin V\Longleftrightarrow U=V\ [2\pi]\ \text{ou}\ U=\pi-V\ [2\pi]$, et $\tan U=\tan V\Longleftrightarrow U=V\ [\pi]$.

Compléments

📐 Formule — Les symétries trigonométriques usuelles sont $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(\pi-x)=-\cos x$ et $\sin(\pi-x)=\sin x$.

📐 Formule — Les formules d’Euler permettent notamment d’écrire $\cos a\cos b=\frac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]$, $\cos a\sin b=\frac12[\sin(a+b)-\sin(a-b)]$ et $\sin a\sin b=\frac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$.

💡 Astuce mémo

Cosinus : ±V ; sinus : π−V ; tangente : V modulo π