Fiche de révision : Estimation et tests statistiques

📋 Plan du Cours

1. Estimation et échantillonnage
2. Intervalles pour une proportion
3. Intervalles pour une moyenne
4. Hypothèses des tests
5. Risques et décision statistique
6. Test du Chi-deux
7. Comparaison de deux proportions
8. Comparaison de moyennes appariées

📖 1. Estimation et échantillonnage

★ À maîtriser

📌 L’estimation part d’un échantillon observé pour inférer une caractéristique de la population, tandis que l’échantillonnage part de la théorie pour étudier une expérience.

📌 Dans une situation d’estimation, on calcule un intervalle de confiance, tandis que dans une situation d’échantillonnage, on calcule un intervalle de pari.

Compléments

📌 Lorsque la largeur d’un intervalle diminue, la confiance associée diminue également, car la valeur a moins de chances d’appartenir à l’intervalle.

💡 Astuce mémo

Estimation : expérience → théorie ; échantillonnage : théorie → expérience

📖 2. Intervalles pour une proportion

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une proportion, l’intervalle s’écrit $p \in \left[p_o-u_\alpha\sqrt{\frac{p_oq_o}{n}}\ ;\ p_o+u_\alpha\sqrt{\frac{p_oq_o}{n}}\right]$.

📌 Pour utiliser l’approximation normale lors d’une estimation de proportion, les conditions de validité sont $np_o\geq5$ et $nq_o\geq5$.

Compléments

📌 À effectif égal, augmenter le niveau de confiance élargit l’intervalle, tandis qu’augmenter l’effectif le rétrécit puisque n est au dénominateur.

• Pour 100 noisettes dont 90 % sont infestées, l’intervalle de confiance à 90 % de la proportion dans la population est [0,85 ; 0,95].

💡 Astuce mémo

Estimation = confiance ; échantillonnage = pari

📖 3. Intervalles pour une moyenne

★ À maîtriser

📐 Formule — L’intervalle de confiance d’une moyenne s’écrit $IC=\left[m_o-t_\alpha\frac{s}{\sqrt n}\ ;\ m_o+t_\alpha\frac{s}{\sqrt n}\right]$.

📌 Pour une moyenne avec un petit échantillon, on utilise la loi de Student lorsque n < 30 et les degrés de liberté valent n − 1.

Compléments

📐 Formule — La variance corrigée se calcule par $s^2=s_o^2\frac{n}{n-1}$.

• Avec n = 6, une moyenne observée de 16 et un écart-type observé de 2, l’intervalle de confiance à 95 % est [13,76 ; 18,24] en utilisant Student à 5 degrés de liberté.

💡 Astuce mémo

Variance corrigée → Student si n < 30 → intervalle

📖 4. Hypothèses des tests

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse nulle : l’hypothèse selon laquelle seul le hasard explique l’écart entre une observation et une valeur de référence ou entre deux observations
• Hypothèse alternative : L’hypothèse alternative correspond à l’existence d’une différence qui n’est pas expliquée par le seul hasard.

📝 Points essentiels

📌 Ne pas rejeter H0 ne signifie pas accepter H0 ; cela signifie seulement qu’on ne peut pas conclure à la différence portée par H1.

💡 Astuce mémo

H0 attribue l’écart au hasard, H1 l’attribue à une différence

📖 5. Risques et décision statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Risque alpha : Le risque alpha est le risque de première espèce, c’est-à-dire le risque de faux positif consistant à rejeter H0 alors qu’elle est vraie.
• Risque bêta : Le risque bêta est le risque de faux négatif consistant à ne pas rejeter H0 alors que H1 est vraie.
• Puissance statistique : La puissance statistique vaut $1-\beta$.

📝 Points essentiels

📌 Lorsque la statistique dépasse la limite de rejet, on rejette H0 et on retient H1 au seuil choisi.

💡 Astuce mémo

Alpha = faux positif ; bêta = faux négatif ; puissance = 1 − bêta

📖 6. Test du Chi-deux

★ À maîtriser

• Pour un tableau de contingence, les degrés de liberté valent $(L-1)(C-1)$, où L est le nombre de lignes et C le nombre de colonnes.

📐 Formule — L’effectif théorique d’une case vaut $C_{ij}=\frac{x_i y_j}{N}$, avec xᵢ le total de ligne, yⱼ le total de colonne et N l’effectif total.

📌 Le Chi-deux d’indépendance compare des répartitions observées entre plusieurs catégories, tandis que le Chi-deux d’ajustement compare une répartition observée à une répartition théorique.

Compléments

📌 Dans un test du Chi-deux à 1 degré de liberté, une statistique de 4,71 est significative au seuil de 5 %, car elle dépasse le seuil d’environ 3,84.

💡 Astuce mémo

Effectifs théoriques → écarts au carré → comparaison au seuil

📖 7. Comparaison de deux proportions

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour comparer deux proportions observées, la proportion commune vaut $p_o=\frac{n_1p_{o1}+n_2p_{o2}}{n_1+n_2}$ et la statistique suit une loi normale si les conditions de validité sont respectées.

📌 Au seuil de 5 %, une comparaison de proportions est significative lorsque $|z_0|>1{,}96$.

📌 Une différence statistiquement significative ne suffit pas à établir un lien de causalité si l’utilisation du traitement ou de la technique n’a pas été tirée au sort.

Compléments

• Pour deux groupes de 100 essais présentant des proportions 0,2 et 0,8, la statistique vaut $z_0=-8{,}49$.

📖 8. Comparaison de moyennes appariées

★ À maîtriser

📌 Avec un grand échantillon apparié, la statistique suit une loi normale et une valeur supérieure à 1,96 en valeur absolue est significative au seuil de 5 %.

📌 Une comparaison de moyennes appariées porte sur deux mesures obtenues chez les mêmes personnes à deux moments différents, contrairement à une comparaison entre groupes indépendants.

Compléments

📐 Formule — Pour 64 sujets mesurés avant et après traitement, avec une différence moyenne de 1 et un écart-type des différences de 2, la statistique de comparaison vaut $z=\frac{1}{2/\sqrt{64}}=4$.

• Une moyenne de concentration passant de 3,4 g/L à 2,4 g/L produit une différence moyenne de 1 g/L entre les deux mesures.

💡 Astuce mémo

Deux mesures reliées chez les mêmes personnes, avant puis après

📊 Tableaux de synthèse

Estimation ou échantillonnage

Décisions des tests