QCM : Estimation et tests statistiques — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la distinction entre estimation et échantillonnage :

L’estimation part d’une théorie pour prévoir les résultats d’une expérience.
L’échantillonnage part de la théorie pour étudier une expérience.
L’estimation part d’observations réalisées sur un échantillon.
L’échantillonnage utilise une population observée pour estimer un paramètre inconnu.
L’estimation utilise un échantillon observé pour inférer une caractéristique de la population.

L’échantillonnage part de la théorie pour étudier une expérience.

Explication

L’estimation utilise un échantillon observé pour remonter vers une caractéristique de la population. L’échantillonnage suit le chemin inverse, de la théorie vers l’étude d’une expérience ; les propositions 2 et 4 inversent donc ces notions.

2. Dans quelles situations les intervalles de confiance et de pari sont-ils utilisés ?

Un intervalle de pari est calculé dans une situation d’échantillonnage.
Un intervalle de pari sert à estimer directement une caractéristique inconnue de la population.
Un intervalle de confiance est calculé dans une situation d’estimation.
Un intervalle de confiance décrit les résultats attendus d’une expérience future d’échantillonnage.
Une situation d’estimation conduit au calcul d’un intervalle de confiance.

Un intervalle de pari est calculé dans une situation d’échantillonnage.

Explication

Un intervalle de confiance est associé à une situation d’estimation, tandis qu’un intervalle de pari est associé à une situation d’échantillonnage. Les autres propositions attribuent ces intervalles au mauvais contexte ou les confondent avec des objets différents.

3. Pour une estimation de proportion, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le terme d’incertitude contient le produit p₀q₀ sous une racine carrée.
La borne inférieure s’écrit p₀ − uα√(p₀q₀/n).
La borne supérieure s’écrit p₀ + uα√(p₀q₀/n).
La largeur de l’intervalle dépend de l’écart-type observé s.
Le centre de l’intervalle est la proportion observée p₀.

Le terme d’incertitude contient le produit p₀q₀ sous une racine carrée.

Explication

L’intervalle d’une proportion repose sur la proportion observée p₀, sa complémentaire q₀, l’effectif n et le quantile uα. La formule utilisant l’écart-type s correspond à l’intervalle d’une moyenne, et non à celui d’une proportion.

4. Une estimation de proportion doit-elle satisfaire certaines conditions pour utiliser l’approximation normale ?

La condition nq₀ ≥ 5 doit être vérifiée.
Le critère principal est n > 30, indépendamment de p₀.
La condition de validité repose sur l’écart-type s de l’échantillon.
La condition np₀ ≥ 5 doit être vérifiée.
Les deux produits np₀ et nq₀ évaluent la validité de l’approximation normale.

La condition nq₀ ≥ 5 doit être vérifiée.

Explication

L’approximation normale pour une proportion est valide lorsque np₀ et nq₀ sont chacun au moins égaux à 5. Le critère n > 30 concerne la moyenne dans le cadre présenté, et non l’estimation d’une proportion.

5. Concernant l’intervalle de confiance d’une moyenne :

La marge d’erreur est proportionnelle à s/√n.
La borne inférieure est m₀ − tαs/√n.
La formule utilise le produit p₀q₀ sous une racine carrée.
La borne supérieure est m₀ + tαs/√n.
Son centre est la moyenne observée m₀.

La marge d’erreur est proportionnelle à s/√n.

Explication

L’intervalle de confiance d’une moyenne est centré sur m₀ et sa marge vaut tαs/√n. La formule d’une proportion utilise p₀ et q₀, tandis que la variance corrigée n’est pas l’expression de l’intervalle lui-même.

6. Concernant les hypothèses des tests :

L’hypothèse alternative attribue l’écart à une différence non expliquée par le seul hasard.
L’hypothèse nulle attribue l’écart observé au seul hasard.
L’hypothèse alternative considère que la valeur observée coïncide avec la référence.
L’hypothèse nulle suppose l’existence d’une différence systématique.
L’hypothèse nulle et l’hypothèse alternative décrivent exactement la même situation.

L’hypothèse alternative attribue l’écart à une différence non expliquée par le seul hasard.

Explication

H0 attribue l’écart observé au seul hasard. H1, au contraire, suppose qu’une différence existe au-delà du hasard.

7. Parmi les propositions suivantes concernant l’hypothèse alternative, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Elle suppose que le hasard suffit à expliquer l’écart observé.
Elle affirme nécessairement que l’écart observé est nul.
Elle correspond à l’hypothèse nulle dans un test statistique.
Elle suppose une différence non expliquée par le seul hasard.
Elle s’oppose à l’hypothèse selon laquelle seule la fluctuation aléatoire intervient.

Elle suppose une différence non expliquée par le seul hasard.

Explication

H1 correspond à l’existence d’une différence qui ne s’explique pas par le seul hasard. Attribuer tout l’écart au hasard correspond à H0, et non à H1.

8. Une analyse statistique ne permet pas de rejeter H0. Quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

On ne peut pas conclure à la différence portée par H1.
Le résultat signifie que les données disponibles ne suffisent pas à rejeter H0.
La décision statistique équivaut à accepter H0 comme une vérité établie.
On doit considérer H0 comme définitivement démontrée.
On peut affirmer que l’absence de différence est certaine.

On ne peut pas conclure à la différence portée par H1.

Explication

Ne pas rejeter H0 indique seulement que les données ne permettent pas de conclure à la différence portée par H1. Cette décision ne constitue pas une preuve que H0 est vraie.

9. Concernant le risque alpha :

Il correspond au risque de rejeter H0 alors qu’elle est vraie.
Il mesure une erreur commise lorsque H0 est retenue alors qu’elle est fausse.
Il constitue un risque de première espèce.
Il correspond au risque de ne pas rejeter H0 alors que H1 est vraie.
Il est également appelé risque de faux négatif.

Il correspond au risque de rejeter H0 alors qu’elle est vraie.

Explication

Le risque alpha est le risque de première espèce : rejeter H0 alors qu’elle est vraie. Le faux négatif correspond au risque bêta, et non à alpha.

10. Parmi les propositions suivantes relatives au risque bêta, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Il est appelé risque de faux négatif.
Il correspond au rejet de H0 alors que celle-ci est vraie.
Il constitue le risque de première espèce.
Il mesure une décision compatible avec une différence réellement portée par H1.
Il correspond au risque de ne pas rejeter H0 alors que H1 est vraie.

Il est appelé risque de faux négatif.

Explication

Le risque bêta est le risque de faux négatif : ne pas rejeter H0 alors que H1 est vraie. Le faux positif relève du risque alpha.

11. La puissance statistique d’un test s’exprime par :

α × β
α + β
1 − β
β − 1
1 − α

1 − β

Explication

La puissance statistique est définie par 1 − β. Elle représente donc le complément du risque de faux négatif.

12. Une statistique de test dépasse la limite de rejet fixée au seuil choisi. Quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

La statistique est compatible avec une décision de non-rejet de H0.
Le dépassement de la limite conduit à retenir H0 contre H1.
H1 est retenue au seuil choisi.
H0 est rejetée au seuil choisi.
La décision conclut que seul le hasard explique l’écart observé.

H1 est retenue au seuil choisi.

Explication

Lorsque la statistique dépasse la limite de rejet, la règle de décision conduit à rejeter H0 et à retenir H1 au seuil choisi. Une statistique située sous cette limite ne déclenche pas cette décision selon la règle donnée.

13. Pour un tableau de contingence comportant 4 lignes et 3 colonnes, quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

Le nombre de degrés de liberté vaut 12.
La formule utilisée est (L − 1)(C − 1).
Le nombre de degrés de liberté dépend uniquement du nombre de lignes.
Le nombre de degrés de liberté vaut 7.
Le nombre de degrés de liberté vaut 6.

La formule utilisée est (L − 1)(C − 1).

Explication

Pour un tableau de contingence, les degrés de liberté se calculent par (L − 1)(C − 1). Avec 4 lignes et 3 colonnes, on obtient donc 3 × 2 = 6 degrés de liberté.

14. Concernant l’effectif théorique d’une case d’un tableau de contingence :

Il se calcule par Cij = xi yj / N.
Il correspond directement au nombre d’individus observés dans la case.
Il utilise le total de la ligne et le total de la colonne concernés.
Il est calculé sans utiliser l’effectif total du tableau.
Il repose sur les marges du tableau plutôt que sur le seul comptage de la case.

Il se calcule par Cij = xi yj / N.

Explication

L’effectif théorique d’une case utilise les marges du tableau et l’effectif total : Cij = xi yj / N. Il ne correspond pas à l’effectif observé directement compté dans la case.

15. Concernant les tests du Chi-deux et une statistique de 4,71 à 1 degré de liberté :

Une statistique de 4,71 est inférieure au seuil d’environ 3,84 pour 1 degré de liberté.
Une statistique de 4,71 est significative au seuil de 5 % à 1 degré de liberté.
Le Chi-deux d’ajustement compare une répartition observée à une répartition théorique.
Le Chi-deux d’indépendance compare une répartition observée à une répartition théorique.
Le Chi-deux d’indépendance compare des répartitions observées entre plusieurs catégories.

Une statistique de 4,71 est significative au seuil de 5 % à 1 degré de liberté.

Explication

Le Chi-deux d’indépendance compare des répartitions observées entre plusieurs catégories. Le Chi-deux d’ajustement compare une répartition observée à une répartition théorique ; une statistique de 4,71 à 1 degré de liberté dépasse environ 3,84 et est donc significative à 5 %.

16. Concernant la proportion commune utilisée pour comparer deux proportions, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Elle s’obtient en additionnant les deux proportions puis en divisant par deux.
Elle utilise la somme des effectifs comme dénominateur.
Elle est calculée après la statistique de comparaison.
Elle correspond à la proportion observée dans l’ensemble des deux groupes.
Elle se calcule en pondérant chaque proportion par l’effectif de son groupe.

Elle utilise la somme des effectifs comme dénominateur.

Explication

La proportion commune est une moyenne pondérée des deux proportions individuelles, les poids étant les effectifs respectifs. Elle est calculée avant l’obtention de la statistique de comparaison.

17. Parmi les propositions suivantes concernant la significativité d’une comparaison de proportions au seuil de 5 %, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le seuil de décision est fixé à 2,58 pour une comparaison au seuil de 5 %.
Une valeur de z₀ égale à 1,50 permet de conclure à une différence significative.
Le seuil de décision repose sur la valeur absolue de z₀.
Une valeur de z₀ égale à 2,10 permet de conclure à une différence significative.
Une valeur de z₀ égale à −2,10 permet de conclure à une différence significative.

Le seuil de décision repose sur la valeur absolue de z₀.

Explication

Au seuil de 5 %, la comparaison est significative lorsque la valeur absolue de z₀ dépasse 1,96. Une valeur située entre −1,96 et 1,96 ne franchit pas ce seuil.

18. À propos de l’interprétation causale d’une différence significative entre deux proportions :

Une différence significative prouve que le traitement est la cause de l’écart observé.
L’absence de tirage au sort limite l’interprétation causale de la comparaison.
Une association statistique peut exister sans démontrer un lien de causalité.
La randomisation de l’utilisation du traitement renforce l’interprétation causale.
La significativité statistique suffit à éliminer les facteurs de confusion.

L’absence de tirage au sort limite l’interprétation causale de la comparaison.

Explication

Une différence significative indique une association statistique entre les proportions, mais elle ne démontre pas une causalité lorsque l’exposition au traitement ou à la technique n’a pas été randomisée. La randomisation est donc essentielle pour soutenir une interprétation causale.

19. Concernant la comparaison de moyennes appariées, quelles sont les réponses exactes au sujet de sa définition ?

Elle correspond à une comparaison entre groupes indépendants.
Elle compare deux mesures réalisées chez les mêmes personnes.
Elle peut concerner une mesure avant et une mesure après une intervention.
Elle compare nécessairement deux groupes constitués de personnes différentes.
Elle analyse les différences entre les deux mesures de chaque personne.

Elle compare deux mesures réalisées chez les mêmes personnes.

Explication

Une comparaison de moyennes appariées concerne les mêmes sujets mesurés à deux moments, ce qui permet de comparer les différences individuelles. Les groupes indépendants, au contraire, regroupent des personnes différentes.

20. Pour 64 sujets mesurés avant et après un traitement, avec une différence moyenne de 1 et un écart-type des différences de 2, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La valeur obtenue dépasse 1,96 en valeur absolue.
Le calcul utilise la variance des différences, égale à 4, au dénominateur.
La statistique de comparaison vaut 4.
L’erreur standard de la différence moyenne vaut 0,25.
La statistique de comparaison vaut 2.

La valeur obtenue dépasse 1,96 en valeur absolue.

Explication

Pour 64 sujets, l’erreur standard de la différence moyenne vaut 2/√64, soit 0,25, et la statistique vaut donc 1/0,25 = 4. La formule utilise l’écart-type des différences, égal à 2, et non sa variance égale à 4.

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Quelle différence fondamentale existe entre estimation et échantillonnage ?

L’estimation infère une caractéristique à partir d’un échantillon observé, l’échantillonnage étudie une expérience à partir de la théorie.

Que calcule-t-on dans une situation d’estimation ?

Un intervalle de confiance.

Que calcule-t-on dans une situation d’échantillonnage ?

Un intervalle de pari.

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