Fiche de révision : Formules et méthodes mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Algèbre et équations
2. Logique et rédaction mathématique
3. Fonctions et variations
4. Dérivées et limites
5. Géométrie, trigonométrie et mesures

📖 1. Algèbre et équations

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les règles des puissances sont $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $a^m\div a^n=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ et $a^0=1$.

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📌 La racine d’une somme ne se sépare pas comme une somme de racines : $\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b$.

📐 Formule — Pour l’équation $ax^2+bx+c=0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ et les solutions sont $x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$.

📌 Pour une équation du second degré, $\Delta>0$ donne deux solutions, $\Delta=0$ donne une solution double et $\Delta<0$ donne aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Racine d’une somme ≠ somme des racines

📖 2. Logique et rédaction mathématique

📝 Points essentiels

• Les symboles mathématiques indiquent notamment l’égalité $=$, l’implication $\Rightarrow$, l’équivalence $\Leftrightarrow$, le « pour tout » $\forall$, l’existence $\exists$, l’existence unique $\exists!$, l’appartenance $\in$ et la valeur absolue $|a|$.

• 🔄 Pour mettre en forme un résultat, il faut:

  1. Effectuer les opérations
  2. Regrouper les termes
  3. Réduire les fractions
  4. Simplifier les racines
  5. Indiquer l’unité

💡 Astuce mémo

Opérer → regrouper → réduire → simplifier → unir

📖 3. Fonctions et variations

★ À maîtriser

• Le domaine de définition impose:

  • Dénominateur différent de zéro
  • Expression sous une racine supérieure ou égale à zéro
  • Expression dans un logarithme strictement supérieure à zéro

• 🔄 La méthode du tableau de signe consiste à:

  1. Trouver les zéros
  2. Étudier le signe de chaque facteur
  3. Combiner les signes

• Pour construire un tableau de variation, il faut étudier la dérivée puis déterminer les intervalles de croissance et de décroissance.

Compléments

📌 La transformation $f(x)+k$ correspond à une translation verticale, tandis que $f(x-k)$ correspond à une translation horizontale.

💡 Astuce mémo

Domaine → zéros → signes → variations

📖 4. Dérivées et limites

★ À maîtriser

📐 Formule — Les dérivées usuelles données sont $(x^n)'=nx$, $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(1/x)'=-\frac{1}{x^2}$, $(e^x)'=e^x$ et $(\ln x)'=\frac{1}{x}$.

📐 Formule — Les règles de dérivation comprennent la linéarité $(af+bg)'=af'+bg'$, le produit $(fg)'=f'g+fg'$, le quotient $(f/g)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ et la composition $(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$ .

📐 Formule — Les limites usuelles données sont $\lim_{x\to\infty}\frac1x=0$, $\lim_{x\to\infty}x^n=\infty$, $\lim_{x\to\infty}e^x=\infty$ et $\lim_{x\to0}\ln x=-\infty$.

Compléments

• Les formes indéterminées indiquées sont $0/0$, $\infty/\infty$, $\infty-\infty$ et $0\times\infty$.

💡 Astuce mémo

Dérivée → variations ; limite → comportement global

📖 5. Géométrie, trigonométrie et mesures

★ À maîtriser

📐 Formule — Les propriétés logarithmiques données sont $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln(a/b)=\ln a-\ln b$ et $\ln(a^n)=n\ln a$.

📐 Formule — La colinéarité de deux vecteurs s’écrit $u=kv$, et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B-x_A,y_B-y_A)$.

📐 Formule — Les relations fondamentales de trigonométrie sont $\cos^2x+\sin^2x=1$ et $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$.

📐 Formule — Les aires et volumes usuels sont $A=c^2$ pour un carré, $A=L\times l$ pour un rectangle, $A=\pi r^2$ pour un disque, $V=a^3$ pour un cube et $V=\pi r^2h$ pour un cylindre.

Compléments

📐 Formule — Les dérivées trigonométriques sont $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$.