Fiche de révision : Formules et méthodes mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Algèbre et équations
2. Logique et rédaction mathématique
3. Fonctions et transformations
4. Dérivées et limites
5. Géométrie, trigonométrie et mesures

📖 1. Algèbre et équations

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les règles de calcul des puissances sont $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $a^m\div a^n=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ et $a^0=1$.

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📌 La relation $\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b$ est une erreur fréquente, tandis que $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ est valable dans le cadre approprié.

📐 Formule — Pour une équation $ax^2+bx+c=0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ et les solutions sont $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📌 Pour une équation du second degré, $\Delta>0$ donne deux solutions, $\Delta=0$ donne une solution double et $\Delta<0$ donne aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Racine d’une somme ≠ somme des racines

📖 2. Logique et rédaction mathématique

📝 Points essentiels

• Les symboles mathématiques principaux sont $=$ pour l’égalité, $\Rightarrow$ pour l’implication, $\Leftrightarrow$ pour l’équivalence, $\forall$ pour « pour tout », $\exists$ pour « il existe », $\exists!$ pour « il existe un unique », $\in$ pour l’appartenance et $|a|$ pour la valeur absolue.

• 🔄 Pour mettre un résultat en forme, il faut:

  1. effectuer les opérations
  2. regrouper les termes
  3. réduire les fractions
  4. simplifier les racines
  5. indiquer l’unité

💡 Astuce mémo

Calculer → regrouper → réduire → simplifier → préciser l’unité

📖 3. Fonctions et transformations

📝 Points essentiels

📌 Le domaine de définition impose qu’un dénominateur soit non nul, que le contenu d’une racine soit supérieur ou égal à zéro et que l’argument d’un logarithme soit strictement positif.

• 🔄 Pour construire un tableau de signe, il faut:

  1. trouver les zéros
  2. étudier le signe de chaque facteur
  3. combiner les signes

• Pour établir un tableau de variation, il faut étudier la dérivée puis déterminer les intervalles de croissance et de décroissance.

📌 Les transformations de fonctions comprennent une translation verticale avec $f(x)+k$, une translation horizontale avec $f(x-k)$, une symétrie par rapport à l’axe $Ox$ avec $-f(x)$, une symétrie par rapport à l’axe $Oy$ avec $f(-x)$, une dilatation verticale avec $kf(x)$ et une dilatation horizontale avec $f(kx)$.

💡 Astuce mémo

Domaine → signe → variations → transformations

📖 4. Dérivées et limites

★ À maîtriser

📐 Formule — Les dérivées usuelles sont $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(1/x)'=-\frac{1}{x^2}$, $(e^x)'=e^x$ et $(\ln x)'=\frac{1}{x}$.

📐 Formule — Les règles de dérivation sont la linéarité $(af+bg)'=af'+bg'$, le produit $(fg)'=f'g+fg'$, le quotient $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ et la composition $(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$.

Compléments

• Les formes indéterminées indiquées pour les limites sont $0/0$, $\infty/\infty$, $\infty-\infty$ et $0\times\infty$.

📐 Formule — Les limites usuelles sont $\lim_{x\to\infty}\frac1x=0$, $\lim_{x\to\infty}x^n=\infty$, $\lim_{x\to\infty}e^x=\infty$ et $\lim_{x\to0}\ln x=-\infty$.

💡 Astuce mémo

Dérivée → variations ; limite → comportement global

📖 5. Géométrie, trigonométrie et mesures

★ À maîtriser

📐 Formule — Les propriétés logarithmiques sont $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln(a/b)=\ln a-\ln b$ et $\ln(a^n)=n\ln a$.

• Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B-x_A,y_B-y_A)$.

📌 Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec u=k\vec v$, tandis que deux droites sont alignées lorsqu’elles ont la même pente.

📐 Formule — Les relations fondamentales de trigonométrie sont $\cos^2x+\sin^2x=1$ et $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$.

📐 Formule — Les aires sont $A=c^2$ pour un carré, $A=L\times l$ pour un rectangle et $A=\pi r^2$ pour un disque, tandis que les volumes sont $V=a^3$ pour un cube et $V=\pi r^2h$ pour un cylindre.

Compléments

📐 Formule — Les propriétés exponentielles comprennent $e^{a+b}=e^a\times e^b$.

📐 Formule — Les dérivées trigonométriques sont $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$.

📊 Tableaux de synthèse

Domaine de définition