Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme développée et racines
2. Forme factorisée et racines
3. Somme et produit des racines
4. Forme canonique et discriminant
5. Équations du second degré
6. Signe et inéquations

📖 1. Forme développée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : fonction définie sur R qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a, b et c réels et $a\ne0$.
• Racine d’une fonction : un nombre réel x qui vérifie f(x)=0, c’est-à-dire un antécédent de 0 par f.

📝 Points essentiels

• Pour vérifier qu’un nombre x₁ est une racine de f, on calcule f(x₁) et on vérifie que le résultat est nul.

• Pour f(x)=x²-5x, l’équation f(x)=0 se factorise en x(x-5)=0, donc les racines sont 0 et 5.

💡 Astuce mémo

Développée : ax²+bx+c ; racine : f(x)=0

📖 2. Forme factorisée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où a est non nul et x₁, x₂ sont ses racines.
• Racine double : Si les deux racines sont égales à x₁, la fonction s’écrit $f(x)=a(x-x_1)^2$ et x₁ est appelée racine double.

★ À maîtriser

📌 Si une fonction polynôme du second degré admet x₁ et x₂ comme racines, alors elle s’écrit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\ne0$.

Compléments

• Le produit de deux fonctions affines est une fonction polynôme du second degré lorsque le coefficient du terme en x² est non nul.

💡 Astuce mémo

Deux facteurs linéaires qui s’annulent en x₁ et x₂

📖 3. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant pour racines x₁ et x₂, leur somme et leur produit vérifient $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Pour déterminer une seconde racine lorsqu’une racine est connue, on peut utiliser soit la somme des racines, soit leur produit.

• Pour $f(x)=3x^2+7x+4$, la racine évidente x₁=-1 donne, par la somme ou le produit des racines, x₂=-4/3.

💡 Astuce mémo

S = Somme = -b/a ; P = Produit = c/a

📖 4. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction polynôme du second degré s’écrit sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec a non nul.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le discriminant d’une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

• Si $\Delta>0$, la fonction admet deux racines réelles distinctes $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$, puis se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$.

• Si $\Delta=0$, la fonction admet une racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ et se factorise en $a(x-x_0)^2$.

• Si $\Delta<0$, la fonction n’a aucune racine réelle et ne peut pas être factorisée dans R en produit de facteurs du premier degré.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ → compter les racines → factoriser si possible

📖 5. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation qui peut s’écrire $ax^2+bx+c=0$ avec a, b et c réels et $a\ne0$.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation du second degré qui n’est pas sous forme standard, on regroupe tous les termes dans un même membre afin d’obtenir $ax^2+bx+c=0$, puis on calcule le discriminant.

Compléments

• Pour résoudre $3x^2-7x-1=4x-5$, on obtient $3x^2-11x+4=0$, dont le discriminant vaut 73 et les solutions sont environ 3,26 et 0,41.

💡 Astuce mémo

Mettre à zéro → calculer Δ → appliquer le cas Δ>0, Δ=0 ou Δ<0

📖 6. Signe et inéquations

★ À maîtriser

📌 Une fonction polynôme du second degré a le signe de a sur R, sauf éventuellement entre ses racines réelles.

• Pour construire le tableau de signes d’un trinôme, on détermine d’abord ses racines, on les ordonne, puis on utilise le signe de a à l’extérieur et son signe opposé entre deux racines distinctes.

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on la transforme en étude du signe d’un trinôme, on calcule ses racines et on sélectionne les intervalles où le signe satisfait l’inégalité.

Compléments

• Pour $f(x)=-2x^2+5x-2$, les racines sont 1/2 et 2, et la fonction est négative sur ]-∞;1/2[, positive sur ]1/2;2[, puis négative sur ]2;+∞[.

• L’inéquation $x^2\ge\frac{2-5x}{3}$ se transforme en $3x^2+5x-2\ge0$ et a pour ensemble solution $]-\infty;-2]\cup[1/3;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Racines et signe de a → tableau de signes → ensemble solution

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et racines