QCM : Fonctions polynômes du second degré (16 questions)

Question 1

1. Quelle expression est la forme factorisée d’un polynôme du second degré dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ ?

f(x)=a(x^2-x_1-x_2)

avec

a\ne0

f(x)=a(x-x_1+x_2)

avec

a\ne0

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

avec

a\ne0

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

avec

a\ne0

Explication

Chaque racine fournit un facteur nul, respectivement $x-x_1$ et $x-x_2$ , d’où la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ . Des facteurs contenant des signes positifs ne correspondent pas directement aux racines indiquées.

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$ avec $$a\ne0$$

Question 2

2. Quelle est la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

avec

a\ne0

f(x)=ax^2+bx+c

avec trois coefficients réels

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

avec deux racines

f(x)=a(x+\alpha)^2-\beta

avec

a=0

Explication

La forme canonique repose sur un carré centré en $\alpha$ et s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec un coefficient $a$ non nul. La forme factorisée, proposée dans une autre réponse, utilise les racines sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Answer

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$ avec $$a\ne0$$

Question 3

3. Pour $f(x)=2x^2-4x+2$ , quelle forme factorisée obtient-on ?

2(x-2)^2

2(x-1)(x+1)

2(x-1)^2

2(x+1)^2

Explication

On obtient $\Delta=(-4)^2-4\times2\times2=0$ , donc il existe une racine double $x_0=-\frac{-4}{2\times2}=1$ . La factorisation correspondante est donc $2(x-1)^2$ ; deux facteurs distincts indiqueraient deux racines différentes.

Answer

$$2(x-1)^2$$

Question 4

4. Une fonction s’écrit $f(x)=5(x-2)^2$ . Quelle propriété possède le nombre $2$ ?

C’est une racine double de la fonction

C’est une racine simple et l’autre racine vaut

-2

C’est le coefficient du terme en

x^2

de la forme développée

C’est la valeur de la fonction en

x=0

Explication

Le facteur $x-2$ apparaît deux fois, donc la racine $2$ est comptée deux fois et est appelée racine double. Le nombre $5$ est le coefficient multiplicateur, tandis que $f(0)=20$ .

Answer

C’est une racine double de la fonction

Question 5

5. Comment varie le signe d’un trinôme ayant deux racines réelles distinctes ?

Il change de signe à chaque valeur réelle, indépendamment du nombre de racines.

Il a le signe de

a

à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles.

Il garde le signe de

a

sur tous les intervalles, y compris entre les racines.

Il a le signe opposé à

a

à l’extérieur des racines et le signe de

a

entre elles.

Explication

Pour deux racines distinctes ordonnées, le trinôme possède le signe de $a$ sur les intervalles extérieurs et le signe contraire entre les racines. L’inversion de ces régions confond le comportement du trinôme avec la règle correcte.

Answer

Il a le signe de $$a$$ à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles.

Question 6

6. Dans quel ordre construit-on le tableau de signes d’un trinôme ?

Déterminer les racines, les ordonner, puis appliquer les signes liés à

a

.

Développer le trinôme, choisir deux nombres, puis placer les racines au hasard.

Résoudre l’inéquation, ordonner les coefficients, puis calculer le sommet.

Déterminer le sommet, développer le trinôme, puis ignorer ses racines.

Explication

La méthode consiste à trouver les racines, à les placer dans l’ordre, puis à attribuer le signe de $a$ à l’extérieur et le signe opposé entre deux racines distinctes. Le sommet peut être utile dans d’autres études, mais il ne remplace pas cette organisation du tableau de signes.

Answer

Déterminer les racines, les ordonner, puis appliquer les signes liés à $$a$$.

Question 7

7. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles relations donnent la somme et le produit de ses racines $x_1$ et $x_2$ ?

x_1+x_2=\frac{c}{a}

et

x_1x_2=-\frac{b}{a}

x_1+x_2=-\frac{c}{a}

et

x_1x_2=\frac{b}{a}

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

et

x_1x_2=\frac{c}{a}

x_1+x_2=\frac{b}{a}

et

x_1x_2=-\frac{c}{a}

Explication

La somme des racines est l’opposé du quotient du coefficient de $x$ par celui de $x^2$ , tandis que leur produit est le quotient du terme constant par celui de $x^2$ . Il faut donc distinguer les signes et les coefficients associés à ces deux relations.

Answer

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ et $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Question 8

8. Laquelle décrit correctement une fonction polynôme du second degré ?

Une fonction définie sur

\mathbb{R}

de la forme

f(x)=ax^2+c

avec

a=0

Une fonction définie sur

\mathbb{R}

de la forme

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a\ne0

Une fonction définie sur

\mathbb{R}

de la forme

f(x)=bx+c

avec

b\ne0

Une fonction définie sur

\mathbb{R}

de la forme

f(x)=ax^3+bx+c

avec

a\ne0

Explication

Le terme en $x^2$ doit avoir un coefficient réel non nul, ce qui caractérise le degré deux. Une expression affine comme $bx+c$ est de degré inférieur et ne convient pas.

Answer

Une fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ de la forme $$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\ne0$$

Question 9

9. Pour $f(x)=3x^2+7x+4$ , sachant qu’une racine est $x_1=-1$ , quelle est la seconde racine ?

x_2=-\frac{7}{3}

x_2=\frac{4}{3}

x_2=\frac{7}{3}

x_2=-\frac{4}{3}

Explication

Le produit des racines vaut $\frac{c}{a}=\frac{4}{3}$ , donc $x_2=\frac{4/3}{-1}=-\frac{4}{3}$ . Utiliser directement $\frac{4}{3}$ oublierait de tenir compte de la racine connue négative.

Answer

$$x_2=-\frac{4}{3}$$

Question 10

10. Quel calcul permet de déterminer le discriminant de $f(x)=3x^2-5x+2$ ?

\Delta=5^2-4\times(-3)\times2=49

\Delta=(-5)^2+4\times3\times2=49

\Delta=(-5)^2-4\times3\times2=1

\Delta=3^2-4\times(-5)\times2=49

Explication

Le discriminant se calcule avec $\Delta=b^2-4ac$ ; ici $a=3$ , $b=-5$ et $c=2$ , donc $\Delta=25-24=1$ . Ajouter les termes ou modifier le signe de $a$ ne correspond pas à la formule du discriminant.

Answer

$$\Delta=(-5)^2-4\times3\times2=1$$

Question 11

11. Que peut-on conclure pour un trinôme dont le discriminant est strictement positif ?

Il possède deux racines réelles distinctes et se factorise avec ces deux racines.

Il possède deux racines réelles égales et son sommet appartient à l’axe des abscisses.

Il ne possède aucune racine réelle et reste irréductible dans

\mathbb{R}

.

Il possède une racine réelle double et se factorise comme un carré.

Explication

Lorsque $\Delta>0$ , les formules donnent deux valeurs réelles distinctes, puis le trinôme se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$ . Une racine double correspond au cas $\Delta=0$ , et non au cas présent.

Answer

Il possède deux racines réelles distinctes et se factorise avec ces deux racines.

Question 12

12. Que signifie qu’un nombre réel $x_1$ est une racine de la fonction $f$ ?

Il vérifie

f(x_1)=0

et constitue un antécédent de zéro

Il annule le coefficient du terme en

x^2

dans l’expression de

f

Il correspond à la valeur de

f(0)

dans l’expression de la fonction

Il vérifie

f(x_1)=1

et constitue un antécédent de zéro

Explication

Une racine est un nombre dont l’image par la fonction est nulle, donc elle vérifie $f(x_1)=0$ . La valeur $f(0)$ correspond à l’ordonnée à l’origine et ne définit pas une racine.

Answer

Il vérifie $$f(x_1)=0$$ et constitue un antécédent de zéro

Question 13

13. Quelle démarche permet de résoudre une inéquation du second degré ?

La transformer en équation du premier degré, puis retenir une seule valeur de

x

.

Calculer la forme canonique, puis retenir systématiquement l’intervalle situé autour du sommet.

La transformer en étude du signe d’un trinôme, calculer ses racines et retenir les intervalles convenables.

Développer les deux membres, puis comparer leurs coefficients sans étudier les racines.

Explication

Une inéquation du second degré se ramène à un trinôme dont on étudie les racines et le signe afin de sélectionner les intervalles satisfaisant l’inégalité. L’intervalle solution dépend du signe recherché et de la position des racines, pas d’une règle systématique autour du sommet.

Answer

La transformer en étude du signe d’un trinôme, calculer ses racines et retenir les intervalles convenables.

Question 14

14. Dans quel cas le produit de deux fonctions affines est-il un polynôme du second degré ?

Lorsque le coefficient du terme en

x^2

obtenu est non nul

Lorsque les deux fonctions affines ont le même coefficient directeur

Lorsque le produit obtenu possède une racine double

Lorsque les deux fonctions affines ont une ordonnée à l’origine nulle

Explication

Le produit de deux expressions affines produit un terme en $x^2$ , et il est du second degré lorsque le coefficient de ce terme est non nul. Les autres propriétés ne garantissent pas le degré deux du produit.

Answer

Lorsque le coefficient du terme en $$x^2$$ obtenu est non nul

Question 15

15. Quelle condition caractérise une équation du second degré écrite sous forme standard ?

Elle s’écrit

ax+b=0

avec

a\ne0

.

Elle s’écrit

ax^3+bx^2+c=0

avec

a\ne0

.

Elle s’écrit

ax^2+bx+c=0

avec

a\ne0

.

Elle s’écrit

ax^2+bx+c=1

avec

a=0

.

Explication

Une équation du second degré comporte un terme en $x^2$ dont le coefficient $a$ est non nul et se met sous la forme $ax^2+bx+c=0$ . Si $a=0$ , l’équation devient du premier degré.

Answer

Elle s’écrit $$ax^2+bx+c=0$$ avec $$a\ne0$$.

Question 16

16. Quelle étape faut-il effectuer en premier pour résoudre $2x^2+3=5x-1$ par la méthode du discriminant ?

Regrouper les termes afin d’obtenir

2x^2-5x+4=0

.

Factoriser immédiatement le membre de droite en deux racines.

Écrire l’équation sous la forme

2x+3=5x-1

.

Calculer directement

\Delta=3^2-4\times2\times(-1)

.

Explication

Il faut d’abord ramener tous les termes dans un même membre, ce qui donne $2x^2-5x+4=0$ , avant d’identifier $a$ , $b$ et $c$ puis de calculer le discriminant. Le calcul direct proposé utilise les coefficients de l’écriture initiale, qui n’est pas encore la forme standard.

Answer

Regrouper les termes afin d’obtenir $$2x^2-5x+4=0$$.

QCM : Fonctions polynômes du second degré (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression est la forme factorisée d’un polynôme du second degré dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ ?

2. Quelle est la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

3. Pour $f(x)=2x^2-4x+2$ , quelle forme factorisée obtient-on ?

4. Une fonction s’écrit $f(x)=5(x-2)^2$ . Quelle propriété possède le nombre $2$ ?

5. Comment varie le signe d’un trinôme ayant deux racines réelles distinctes ?

6. Dans quel ordre construit-on le tableau de signes d’un trinôme ?

7. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles relations donnent la somme et le produit de ses racines $x_1$ et $x_2$ ?

8. Laquelle décrit correctement une fonction polynôme du second degré ?

9. Pour $f(x)=3x^2+7x+4$ , sachant qu’une racine est $x_1=-1$ , quelle est la seconde racine ?

10. Quel calcul permet de déterminer le discriminant de $f(x)=3x^2-5x+2$ ?

11. Que peut-on conclure pour un trinôme dont le discriminant est strictement positif ?

12. Que signifie qu’un nombre réel $x_1$ est une racine de la fonction $f$ ?

13. Quelle démarche permet de résoudre une inéquation du second degré ?

14. Dans quel cas le produit de deux fonctions affines est-il un polynôme du second degré ?

15. Quelle condition caractérise une équation du second degré écrite sous forme standard ?

16. Quelle étape faut-il effectuer en premier pour résoudre $2x^2+3=5x-1$ par la méthode du discriminant ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression est la forme factorisée d’un polynôme du second degré dont les racines sont x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ?

2. Quelle est la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

3. Pour f(x)=2x2−4x+2f(x)=2x^2-4x+2f(x)=2x2−4x+2, quelle forme factorisée obtient-on ?

4. Une fonction s’écrit f(x)=5(x−2)2f(x)=5(x-2)^2f(x)=5(x−2)2. Quelle propriété possède le nombre 222 ?

5. Comment varie le signe d’un trinôme ayant deux racines réelles distinctes ?

6. Dans quel ordre construit-on le tableau de signes d’un trinôme ?

7. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, quelles relations donnent la somme et le produit de ses racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ?

8. Laquelle décrit correctement une fonction polynôme du second degré ?

9. Pour f(x)=3x2+7x+4f(x)=3x^2+7x+4f(x)=3x2+7x+4, sachant qu’une racine est x1=−1x_1=-1x1​=−1, quelle est la seconde racine ?

10. Quel calcul permet de déterminer le discriminant de f(x)=3x2−5x+2f(x)=3x^2-5x+2f(x)=3x2−5x+2 ?

11. Que peut-on conclure pour un trinôme dont le discriminant est strictement positif ?

12. Que signifie qu’un nombre réel x1x_1x1​ est une racine de la fonction fff ?

13. Quelle démarche permet de résoudre une inéquation du second degré ?

14. Dans quel cas le produit de deux fonctions affines est-il un polynôme du second degré ?

15. Quelle condition caractérise une équation du second degré écrite sous forme standard ?

16. Quelle étape faut-il effectuer en premier pour résoudre 2x2+3=5x−12x^2+3=5x-12x2+3=5x−1 par la méthode du discriminant ?

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1. Quelle expression est la forme factorisée d’un polynôme du second degré dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ ?

3. Pour $f(x)=2x^2-4x+2$ , quelle forme factorisée obtient-on ?

4. Une fonction s’écrit $f(x)=5(x-2)^2$ . Quelle propriété possède le nombre $2$ ?

7. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles relations donnent la somme et le produit de ses racines $x_1$ et $x_2$ ?

9. Pour $f(x)=3x^2+7x+4$ , sachant qu’une racine est $x_1=-1$ , quelle est la seconde racine ?

10. Quel calcul permet de déterminer le discriminant de $f(x)=3x^2-5x+2$ ?

12. Que signifie qu’un nombre réel $x_1$ est une racine de la fonction $f$ ?

16. Quelle étape faut-il effectuer en premier pour résoudre $2x^2+3=5x-1$ par la méthode du discriminant ?