Fiche de révision : Formules trigonométriques

📋 Plan du Cours

1. Définitions et symétries trigonométriques
2. Formules d’addition et de soustraction
3. Formules de duplication
4. Linéarisation et produits trigonométriques
5. Propriétés de la fonction cosinus

📖 1. Définitions et symétries trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente : Définie par $\tan(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$ pour tout réel $x\notin\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}$.
• Cotangente : Définie par $\cotan(x)=\frac{\cos x}{\sin x}$ pour tout réel $x\notin\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}$.

★ À maîtriser

• Les symétries fondamentales sont $\sin(-x)=-\sin(x)$, $\cos(-x)=\cos(x)$, $\sin(\pi-x)=\sin(x)$, $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$, $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$ et $\cos(\pi+x)=-\cos(x)$.

Compléments

• Les relations avec $\frac{\pi}{2}$ sont $\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin(x)$, $\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos(x)$, $\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-\sin(x)$ et $\sin(\frac{\pi}{2}+x)=\cos(x)$.

💡 Astuce mémo

Le sinus est impair : sin(-x) = -sin(x), tandis que le cosinus est pair : cos(-x) = cos(x).

📖 2. Formules d’addition et de soustraction

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les formules d’addition et de soustraction sont $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$, $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$, $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$ et $\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$.

📐 Formule — Sous les conditions de définition indiquées, $\tan(a+b)=\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}$ et $\tan(a-b)=\frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}$.

💡 Astuce mémo

Pour le cosinus, différence = coscos + sinsin ; pour le sinus, différence = sincos − cossin.

📖 3. Formules de duplication

★ À maîtriser

📐 Formule — L’identité fondamentale est $\cos^2(a)+\sin^2(a)=1$, d’où $\sin^2(a)=1-\cos^2(a)$.

📐 Formule — Les formules de duplication sont $\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)=2\cos^2(a)-1=1-2\sin^2(a)$ et $\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$.

Compléments

📐 Formule — Lorsque les conditions de définition sont satisfaites, $\tan(2a)=\frac{2\tan(a)}{1-\tan^2(a)}$.

💡 Astuce mémo

Appliquer les formules d’addition à a+a conduit aux expressions en 2a.

📖 4. Linéarisation et produits trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — La linéarisation donne $\cos^2(a)=\frac{\cos(2a)+1}{2}$ et $\sin^2(a)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2a)$.

📐 Formule — Les produits trigonométriques se transforment notamment selon $\cos(a)\cos(b)=\frac{\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}$, $\sin(a)\sin(b)=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}$ et $\sin(a)\cos(b)=\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}$.

Compléments

📐 Formule — Les formules de transformation de sommes sont $\cos(p)+\cos(q)=2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$ et $\sin(p)+\sin(q)=2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$.

• Pour calculer une intégrale comme $\int_0^{\pi/2}\cos^2(x)\,dx$, on remplace $\cos^2(x)$ par $\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{2}$, puis on sépare l’intégrale en deux termes.

💡 Astuce mémo

Linéariser un produit ou un carré transforme une expression trigonométrique en somme, ce qui facilite l’intégration.

📖 5. Propriétés de la fonction cosinus

★ À maîtriser

• Le cours indique que la fonction cosinus est périodique.

• Le cours indique que la fonction cosinus est paire.

Compléments

• Le cours indique que la fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$.