QCM : Formules trigonométriques — 11 questions

Question 1

1. Quelle expression définit la tangente de $x$ lorsque le cosinus de $x$ est non nul ?

\tan(x)=\frac{\sin x}{\cos x}

\tan(x)=\sin x\cos x

\tan(x)=\frac{1}{\sin x\cos x}

\tan(x)=\frac{\cos x}{\sin x}

Explication

La tangente est le quotient du sinus par le cosinus, lorsque ce dernier ne s’annule pas. Le quotient inverse correspond à la cotangente, et les deux autres expressions ne sont pas des définitions trigonométriques usuelles.

Answer

$$\tan(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$$

Question 2

2. Quelle identité décrit la parité du cosinus pour tout réel $x$ ?

\cos(\pi-x)=\cos(x)

\cos(-x)=-\cos(x)

\cos(-x)=\cos(x)

\cos(\pi+x)=\cos(x)

Explication

Le cosinus est une fonction paire : changer le signe de l’angle ne modifie pas sa valeur. Les relations avec $\pi-x$ et $\pi+x$ introduisent au contraire un changement de signe.

Answer

$$\cos(-x)=\cos(x)$$

Question 3

3. Quelle transformation permet de réécrire $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ ?

\cos(x)

\sin(x)

-\sin(x)

-\cos(x)

Explication

La relation de complémentarité donne $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$ . Le signe négatif apparaît dans une relation différente, comme celle de $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)$ .

Answer

$$\cos(x)$$

Question 4

4. Quelle formule donne le cosinus d’une somme de deux angles $a$ et $b$ ?

\cos(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)

\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)

\cos(a+b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)

\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)

Explication

Pour le cosinus d’une somme, les produits du cosinus et du sinus sont soustraits. Le signe plus appartient à la formule du cosinus d’une différence, tandis que les deux autres expressions concernent le sinus.

Answer

$$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$$

Question 5

5. Quelle expression correspond à la tangente d’une différence $a-b$ ?

\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}

\frac{\tan(a)-\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}

\frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}

\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}

Explication

La formule d’une différence associe un numérateur soustractif à un dénominateur contenant un signe plus. La formule avec un numérateur additif et un dénominateur soustractif correspond à une somme d’angles.

Answer

$$\frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}$$

Question 6

6. Si $\cos(a)=c$ , quelle expression permet de calculer $\sin^2(a)$ à partir de l’identité fondamentale ?

c^2-1

\frac{1}{c^2}

1+c^2

1-c^2

Explication

L’identité $\cos^2(a)+\sin^2(a)=1$ se réarrange en $\sin^2(a)=1-\cos^2(a)$ , donc en $1-c^2$ . Les autres expressions ne résultent pas de cette identité.

Answer

$$\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$$

Answer

$$\frac{\cos(2a)+1}{2}$$

Answer

$$\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}$$

Answer

Elle est périodique.

Answer

$$\cos(-x)=\cos(x)$$

Question 7

7. Quelle formule exprime le sinus de l’angle double $2a$ ?

\sin(2a)=1-2\sin^2(a)

\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)

\sin(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)

\sin(2a)=2\cos^2(a)-1

Explication

Le sinus d’un angle double est le produit $2\sin(a)\cos(a)$ . Les trois autres expressions sont des formes équivalentes du cosinus de $2a$ , et non du sinus.

Question 8

8. Quelle expression obtient-on en linéarisant $\cos^2(a)$ ?

\frac{\cos(2a)+1}{2}

\frac{1+\sin(2a)}{2}

\cos(a)+\frac{1}{2}

\frac{\cos(2a)-1}{2}

Explication

La linéarisation de $\cos^2(a)$ s’écrit comme une combinaison de la constante $1$ et de $\cos(2a)$ . L’expression avec $\cos(2a)-1$ correspondrait à une autre combinaison et ne donne pas le carré du cosinus.

Question 9

9. Quelle transformation correcte permet de réécrire le produit $\sin(a)\sin(b)$ ?

\frac{\sin(a-b)-\sin(a+b)}{2}

\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}

\frac{\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}

\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}

Explication

Le produit de deux sinus se transforme en une différence de cosinus, divisée par deux. La somme de sinus est la forme associée au produit $\sin(a)\cos(b)$ , et non à deux sinus.

Question 10

10. Quelle propriété caractérise la fonction cosinus concernant sa période ?

Elle est périodique.

Elle possède une dérivée constante.

Elle est définie sur un intervalle borné.

Elle est strictement croissante.

Explication

La fonction cosinus est périodique, car ses valeurs se répètent selon une période fixe. Les autres propriétés proposées ne caractérisent pas la fonction cosinus sur l’ensemble de son domaine.

Question 11

11. Quelle relation traduit le fait que la fonction cosinus est paire ?

\sin(-x)=\sin(x)

\cos(x+y)=\cos(x)+\cos(y)

\cos(-x)=-\cos(x)

\cos(-x)=\cos(x)

Explication

Une fonction paire prend la même valeur en $x$ et en $-x$ , ce qui donne $\cos(-x)=\cos(x)$ . La relation avec un signe négatif caractérise plutôt l’imparité du sinus.

QCM : Formules trigonométriques — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit la tangente de $x$ lorsque le cosinus de $x$ est non nul ?

2. Quelle identité décrit la parité du cosinus pour tout réel $x$ ?

3. Quelle transformation permet de réécrire $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ ?

4. Quelle formule donne le cosinus d’une somme de deux angles $a$ et $b$ ?

5. Quelle expression correspond à la tangente d’une différence $a-b$ ?

6. Si $\cos(a)=c$ , quelle expression permet de calculer $\sin^2(a)$ à partir de l’identité fondamentale ?

7. Quelle formule exprime le sinus de l’angle double $2a$ ?

8. Quelle expression obtient-on en linéarisant $\cos^2(a)$ ?

9. Quelle transformation correcte permet de réécrire le produit $\sin(a)\sin(b)$ ?

10. Quelle propriété caractérise la fonction cosinus concernant sa période ?

11. Quelle relation traduit le fait que la fonction cosinus est paire ?

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QCM : Formules trigonométriques — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit la tangente de xxx lorsque le cosinus de xxx est non nul ?

2. Quelle identité décrit la parité du cosinus pour tout réel xxx ?

3. Quelle transformation permet de réécrire sin⁡(π2−x)\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)sin(2π​−x) ?

4. Quelle formule donne le cosinus d’une somme de deux angles aaa et bbb ?

5. Quelle expression correspond à la tangente d’une différence a−ba-ba−b ?

6. Si cos⁡(a)=c\cos(a)=ccos(a)=c, quelle expression permet de calculer sin⁡2(a)\sin^2(a)sin2(a) à partir de l’identité fondamentale ?

7. Quelle formule exprime le sinus de l’angle double 2a2a2a ?

8. Quelle expression obtient-on en linéarisant cos⁡2(a)\cos^2(a)cos2(a) ?

9. Quelle transformation correcte permet de réécrire le produit sin⁡(a)sin⁡(b)\sin(a)\sin(b)sin(a)sin(b) ?

10. Quelle propriété caractérise la fonction cosinus concernant sa période ?

11. Quelle relation traduit le fait que la fonction cosinus est paire ?

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4. Quelle formule donne le cosinus d’une somme de deux angles $a$ et $b$ ?

5. Quelle expression correspond à la tangente d’une différence $a-b$ ?

6. Si $\cos(a)=c$ , quelle expression permet de calculer $\sin^2(a)$ à partir de l’identité fondamentale ?

7. Quelle formule exprime le sinus de l’angle double $2a$ ?

8. Quelle expression obtient-on en linéarisant $\cos^2(a)$ ?

9. Quelle transformation correcte permet de réécrire le produit $\sin(a)\sin(b)$ ?