Fiche de révision : Fractions et puissances

📋 Plan du Cours

1. Opérations et comparaisons de fractions
2. Puissances et ordres de grandeur
3. Isoler une variable et appliquer une formule
4. Distributivité et identités remarquables
5. Étudier le signe des expressions
6. Résolution des équations du premier degré
7. Équations du second degré et quotient
8. Équations produit nul
9. Règles des inégalités
10. Résolution des inéquations du premier degré

📖 1. Opérations et comparaisons de fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Fraction dont le dénominateur est 100.

★ À maîtriser

📌 Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut les écrire avec le même dénominateur.

📐 Formule - Pour des fractions de même dénominateur, $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$ et $\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$.

📐 Formule - Pour multiplier des fractions, $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, et $a\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{d}$.

📌 Pour diviser par une fraction non nulle, on multiplie par son inverse : $\frac{a/b}{c/d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

Compléments

📐 Formule - Pour des dénominateurs non nuls, $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$.

📌 Si les dénominateurs sont positifs, $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ si et seulement si $ad<bc$.

• Les équivalences usuelles sont $\frac{1}{2}=0{,}5=50\%$, $\frac{1}{4}=0{,}25=25\%$ et $\frac{1}{5}=0{,}2=20\%$.

📖 2. Puissances et ordres de grandeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour un entier naturel non nul n, produit de n facteurs égaux à a.

★ À maîtriser

📌 Pour a non nul, $a^0=1$ et, pour un entier naturel non nul n, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📐 Formule - Pour un même nombre non nul, le produit de puissances vérifie $a^n\times a^m=a^{n+m}$.

📐 Formule - Pour un même nombre non nul, le quotient de puissances vérifie $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$.

📌 Pour un nombre en écriture scientifique $a\times10^n$ avec a positif, si $1\leq a<5$, son ordre de grandeur est $10^n$.

📐 Formule - Pour $a=\frac{10^{201}\times10^{-4}}{(10^2)^{100}}$, les règles sur les puissances donnent $a=10^{-3}=0{,}001$.

📐 Formule - Le quotient $\frac{2^5\times2^3}{2^7}$ est égal à $2^{5+3-7}=2$.

• Le produit $2^9\times5^7$ est égal à $4\times10^7$.

Compléments

📐 Formule - Une puissance d’une puissance vérifie $(a^n)^m=a^{nm}$.

📐 Formule - La puissance d’un produit vérifie $(a\times b)^n=a^n\times b^n$.

📐 Formule - La puissance d’un quotient vérifie $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

• Pour estimer un ordre de grandeur, on remplace les nombres par des valeurs proches et faciles à calculer, puis on effectue l’opération.

• La valeur de $\frac{150000}{3200}$ est la plus proche de 50 parmi les choix proposés.

📐 Formule - Pour $a\ne0$, $\frac{a\times a^5}{a^2}=a^4$.

📐 Formule - Le quotient $\frac{10^7}{5^2}$ est égal à $4\times10^5$.

• Un cheveu de longueur environ 0,00008 m nécessite environ 12 500 cheveux empilés pour atteindre 1 m, soit un ordre de grandeur de $10^4$ cheveux.

📖 3. Isoler une variable et appliquer une formule

★ À maîtriser

• Pour isoler une variable dans une égalité, on applique les mêmes opérations aux deux membres jusqu’à exprimer cette variable en fonction des autres.

Compléments

📐 Formule - La loi d’Ohm s’écrit $U=RI$, où U est la tension en volts, R la résistance en ohms et I l’intensité du courant en ampères.

• À partir de $3x-2y=5$, on obtient $x=\frac{5+2y}{3}$ en ajoutant 2y aux deux membres puis en divisant par 3.

📐 Formule - La puissance électrique reçue par un conducteur ohmique vérifie $P=RI^2$.

📖 4. Distributivité et identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule - La distributivité s’écrit $k(a+b)=ka+kb$, $k(a-b)=ka-kb$ et $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule - Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

📌 Pour factoriser une expression, on utilise un facteur commun ou une identité remarquable.

📖 5. Étudier le signe des expressions

📝 Points essentiels

📐 Formule - Une expression affine $f(x)=ax+b$ avec $a\ne0$ s’annule pour $x=-\frac{b}{a}$.

📌 Pour $f(x)=ax+b$ avec $a>0$, le signe de f est négatif avant son zéro, nul en son zéro et positif après.

• Pour étudier le signe d’un produit de facteurs, on détermine les zéros de chaque facteur, on les range dans l’ordre croissant, on étudie le signe de chaque facteur, puis on déduit le signe du produit avec la règle des signes.

💡 Astuce mémo

Annuler les facteurs, ordonner leurs zéros, puis multiplier leurs signes.

📖 6. Résolution des équations du premier degré

📝 Points essentiels

• Une équation du premier degré se ramène à une forme ax+b=0, éventuellement après développement.

• Pour ax+b=0, si a≠0 et b≠0, l’unique solution est x=−b/a ; si a≠0 et b=0, l’unique solution est x=0.

• Une égalité impossible n’a aucune solution, donc S=∅, tandis qu’une égalité toujours vraie a pour ensemble de solutions S=ℝ.

📖 7. Équations du second degré et quotient

📝 Points essentiels

📌 Pour l’équation x²=a dans ℝ, si a<0 elle n’a aucune solution, si a=0 sa seule solution est 0, et si a>0 ses solutions sont √a et −√a.

📌 Pour résoudre a/x=b avec x∈ℝ*, a≠0 et b≠0, on obtient x=a/b et l’ensemble solution S={a/b}.

💡 Astuce mémo

Pour x²=a, le signe de a décide du nombre de solutions ; pour a/x=b, x doit être non nul.

📖 8. Équations produit nul

📝 Points essentiels

📌 Un produit A·B est nul si et seulement si A=0 ou B=0.

• Pour résoudre une équation E(x)=0 par produit nul, on factorise E(x), puis on résout chacune des équations obtenues en annulant un facteur.

📖 9. Règles des inégalités

★ À maîtriser

📌 Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement positif ne change pas son sens.

📌 Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement négatif inverse son sens.

Compléments

📌 Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inégalité ne change pas son sens.

💡 Astuce mémo

Positif : le sens persiste ; négatif : le sens s’inverse.

📖 10. Résolution des inéquations du premier degré

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une inéquation du premier degré, on applique les techniques de résolution d’une équation du premier degré en respectant les règles de manipulation des inégalités.