Fiche de révision : Généralités sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Notion de fonction et composition
2. Parité et périodicité
3. Variations et monotonie
4. Bornes et extremums
5. Convexité et continuité
6. Bijections et fonctions réciproques
7. Transformations des graphes
8. Puissances, exponentielles et racines

📖 1. Notion de fonction et composition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction définie sur E à valeurs dans F associe à chaque réel x de E un unique réel y de F, noté f(x), et E est son ensemble de définition.
• Graphe d’une fonction : Ensemble des points M(x;y) tels que x appartient à E et y=f(x).

★ À maîtriser

📐 Formule — La composée de f suivie de g vérifie $(g\circ f)(x)=g(f(x)).$

Compléments

📌 Si f(I)⊂J et g(J)⊂K, alors la composition est associative : h∘(g∘f)=(h∘g)∘f.

💡 Astuce mémo

Entrée x → fonction f → sortie f(x), puis composition g∘f

📖 2. Parité et périodicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction f est paire si son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 et si, pour tout x de E, f(−x)=f(x).
• Fonction impaire : Une fonction f est impaire si son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 et si, pour tout x de E, f(−x)=−f(x).
• Fonction périodique : Une fonction f est T-périodique, avec T>0, si son ensemble de définition est stable par translation de T et si f(x+T)=f(x) pour tout x de E.

📝 Points essentiels

📌 Si f et g sont T-périodiques sur E, alors f+g et fg sont T-périodiques, et f/g l’est aussi si g ne s’annule pas sur E.

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ; impaire : symétrie par rapport à l’origine

📖 3. Variations et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Monotonie : Une fonction est croissante sur I si x≤y entraîne f(x)≤f(y), et elle est décroissante si x≤y entraîne f(x)≥f(y).

📝 Points essentiels

📌 La somme de deux fonctions croissantes est croissante, et elle est strictement croissante si l’une des deux fonctions est strictement croissante.

📌 La composée g∘f est croissante lorsque f et g ont le même sens de variation, et décroissante lorsqu’ils ont des sens opposés.

💡 Astuce mémo

Même sens de variation dans une composition → croissance ; sens opposés → décroissance

📖 4. Bornes et extremums

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction bornée : Fonction pour laquelle il existe m et M réels tels que, pour tout x de E, m≤f(x)≤M.
• Maximum global : Une fonction f admet un maximum en a∈E si f(x)≤f(a) pour tout x∈E, et f(a) est alors le maximum de f sur E.

💡 Astuce mémo

Majorant/minorant encadre les valeurs ; maximum/minimum est effectivement atteint

📖 5. Convexité et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité : Une fonction est convexe sur un intervalle I si sa courbe est en dessous de ses cordes, ce qui équivaut à f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y) pour x,y∈I et t∈[0;1].
• Continuité : Une fonction f est continue en a si la limite de f(x) quand x tend vers a vaut f(a), et elle est continue sur I si elle est continue en tout point de I.

📝 Points essentiels

• Le prolongement par continuité en a consiste à définir la valeur en a par la limite finie de f(x) quand x tend vers a, tout en conservant les autres valeurs de f.

💡 Astuce mémo

Continuité en tout point → courbe d’un seul tenant

📖 6. Bijections et fonctions réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Bijection : Fonction telle que chaque élément de J possède un unique antécédent dans I.
• Fonction réciproque : Fonction qui associe à chaque y de J son unique antécédent x dans I.

★ À maîtriser

📌 Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I est une bijection de I dans f(I).

Compléments

📌 Dans un repère orthonormé, les courbes de f et de f⁻¹ sont symétriques par rapport à la droite y=x.

💡 Astuce mémo

La réciproque f⁻¹ n’est pas l’inverse multiplicatif 1/f

📖 7. Transformations des graphes

★ À maîtriser

📌 Le graphe de x↦f(x)+y₀ est l’image du graphe de f par la translation de vecteur y₀ĵ.

Compléments

📌 Le graphe de x↦λf(x) est obtenu par une dilatation verticale de rapport λ, tandis que le graphe de x↦f(λx) est obtenu par une dilatation horizontale de rapport 1/λ.

💡 Astuce mémo

Ajouter à l’intérieur déplace horizontalement ; ajouter à l’extérieur déplace verticalement

📖 8. Puissances, exponentielles et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance réelle : Pour a>0 et b réel, la puissance a^b est définie par a^b=e^{b\ln a}.
• Fonction puissance : Fonction définie par f_b(x)=x^b, dont le domaine dépend de l’exposant b.
• Exponentielle de base a : Fonction définie sur R par f_a(x)=a^x=e^{x\ln a} pour a>0.
• Racine n-ième : Si n est impair, la racine n-ième de tout réel a est l’unique réel x tel que x^n=a ; si n est pair, elle est l’unique réel positif x tel que x^n=a pour a positif ou nul.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a>0 et c,d réels, les puissances vérifient $a^{c+d}=a^c a^d$ et $a^{cd}=(a^c)^d.$

📌 Pour a>1 et α>0, la limite de a^x/x^α quand x tend vers +∞ vaut +∞, tandis que pour a>0 et b>0, la limite de (ln x)^a/x^b vaut 0.

Compléments

📐 Formule — Pour tout entier n strictement positif et tout réel a strictement positif, on a $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.$

💡 Astuce mémo

Puissance → exponentielle → racine, avec les domaines imposés par l’existence

📊 Tableaux de synthèse

Symétries des fonctions