QCM : Généralités sur les fonctions — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété permet d’affirmer qu’une fonction ff est paire ?

Son domaine est symétrique par rapport à zéro et f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x).
Son domaine est stable par translation et f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x).
Elle vérifie f(x)=0f(x)=0 pour toute valeur de son domaine.
Son domaine est symétrique par rapport à zéro et f(−x)=f(x)f(-x)=f(x).

Son domaine est symétrique par rapport à zéro et $$f(-x)=f(x)$$.

Explication

Une fonction paire possède un domaine symétrique par rapport à zéro et donne la même valeur en xx et en −x-x. La relation f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) caractérise une fonction impaire, non une fonction paire.

2. Quelle condition caractérise une fonction définie sur un ensemble EE à valeurs dans un ensemble FF ?

Un même élément de EE peut être associé à plusieurs éléments de FF.
Chaque élément de EE est associé à un unique élément de FF.
Chaque élément de FF est associé à un unique élément de EE.
La fonction associe chaque réel de EE à tous les réels de FF.

Chaque élément de $$E$$ est associé à un unique élément de $$F$$.

Explication

Une fonction associe à chaque élément de son ensemble de définition EE une unique valeur dans FF. La réciproque n’est pas exigée : plusieurs éléments de EE peuvent avoir la même image dans FF.

3. Dans quelles conditions le quotient de deux fonctions TT-périodiques est-il lui-même TT-périodique ?

Lorsque le dénominateur ne s’annule pas sur leur domaine commun.
Lorsque les deux fonctions sont impaires sur leur domaine commun.
Lorsque le dénominateur s’annule pour chaque valeur du domaine.
Lorsque le numérateur et le dénominateur ont des domaines disjoints.

Lorsque le dénominateur ne s’annule pas sur leur domaine commun.

Explication

Le quotient conserve la période TT lorsque les deux fonctions sont TT-périodiques et que le dénominateur ne s’annule pas sur le domaine considéré. Cette condition est nécessaire pour que le quotient soit défini, contrairement à la somme des fonctions périodiques.

4. Si f(x)=2x+1f(x)=2x+1 et g(x)=x2g(x)=x^2, quelle expression donne la composée de ff suivie de gg ?

((g∘f)(x)=2x2+1)((g\circ f)(x)=2x^2+1)
((g∘f)(x)=(x2+1)2)((g\circ f)(x)=(x^2+1)^2)
((g∘f)(x)=2x2+2x+1)((g\circ f)(x)=2x^2+2x+1)
((g∘f)(x)=(2x+1)2)((g\circ f)(x)=(2x+1)^2)

$$((g\circ f)(x)=(2x+1)^2)$$

Explication

Dans g∘fg\circ f, on applique d’abord ff, puis gg, donc g(f(x))=(2x+1)2g(f(x))=(2x+1)^2. L’expression 2x2+12x^2+1 appliquerait plutôt une transformation qui ne correspond pas à la substitution de f(x)f(x) dans gg.

5. Quelle est la définition d'une fonction en mathématiques ?

Une règle qui associe à chaque élément un ensemble de valeurs possibles.
Une règle qui associe à chaque nombre un autre nombre selon une formule précise.
Une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble un seul élément d'un autre ensemble.
Une relation qui relie deux ensembles sans restriction.

Une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble un seul élément d'un autre ensemble.

Explication

Une fonction associe à chaque élément de son domaine un seul élément de l'ensemble d'arrivée, ce qui la distingue d'une relation générale. La réponse incorrecte évoque une relation sans cette contrainte d'unicité.

6. Quelle propriété caractérise une fonction paire ?

Elle vérifie que pour tout x, f(−x)=f(x).
Elle vérifie que pour tout x, f(−x)=−f(x).
Elle est définie uniquement sur un intervalle positif.
Elle est strictement croissante sur son domaine.

Elle vérifie que pour tout x, f(−x)=f(x).

Explication

Une fonction paire est définie par la propriété que pour tout x dans son domaine, f(−x)=f(x), ce qui implique une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. La propriété f(−x)=−f(x) caractérise une fonction impaire, et non paire.

7. Quel est le rôle principal de la périodicité d'une fonction en analyse mathématique ?

Elle indique que la fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Elle permet de décrire la répétition régulière des valeurs de la fonction sur des intervalles de longueur T.
Elle garantit que la fonction est continue sur tout son domaine.
Elle assure que la fonction possède un maximum global sur son domaine.

Elle permet de décrire la répétition régulière des valeurs de la fonction sur des intervalles de longueur T.

Explication

La périodicité indique que la fonction répète ses valeurs à intervalles réguliers, ce qui est essentiel pour analyser ses comportements répétitifs. La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées concerne la parité, non la périodicité.

8. En quoi la monotonie d'une fonction influence-t-elle la présence d'extremums locaux ?

Une fonction croissante ou décroissante peut avoir des extremums locaux si elle change de sens.
Une fonction monotone possède toujours un maximum ou un minimum global.
Une fonction monotone n'a pas d'extremums locaux.
Une fonction monotone peut avoir un extremum local uniquement si elle est constante.

Une fonction monotone n'a pas d'extremums locaux.

Explication

Une fonction monotone ne change pas de sens, donc elle ne possède pas d'extremums locaux. Un extremum local apparaît généralement lorsque la fonction change de sens, ce qui n'est pas possible si elle est monotone.

9. Quelle est la conséquence directe de la convexité d'une fonction sur la position de sa courbe par rapport à ses cordes ?

La courbe dépasse ses cordes, indiquant une concavité.
La courbe est toujours tangentielle à ses cordes.
La courbe reste en dessous de ses cordes, ce qui garantit une certaine forme de convexité.
La courbe est symétrique par rapport à ses cordes.

La courbe reste en dessous de ses cordes, ce qui garantit une certaine forme de convexité.

Explication

Une fonction convexe a sa courbe en dessous de ses cordes, ce qui est caractéristique de la convexité. La courbe ne dépasse pas ses cordes, contrairement à une fonction concave.

10. Comment peut-on appliquer la définition d'une bijection pour résoudre un problème d'inversion de fonction dans un contexte pratique ?

En vérifiant que la fonction est strictement monotone sur l'intervalle considéré, ce qui garantit l'existence d'une fonction réciproque.
En utilisant la formule de la composition pour simplifier l'inversion, en particulier lorsque la fonction est composée d'autres fonctions.
En vérifiant que la fonction est paire ou impaire, ce qui facilite la recherche de sa réciproque.
En s'assurant que la fonction est continue et bornée, ce qui permet de définir une inverse sur tout l'intervalle.

En vérifiant que la fonction est strictement monotone sur l'intervalle considéré, ce qui garantit l'existence d'une fonction réciproque.

Explication

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est une bijection, ce qui permet d'appliquer la définition de la fonction réciproque pour inverser la relation. La continuité ou la parité seule ne garantit pas l'inversibilité, et la formule de composition n'est pas directement liée à l'inversion.

11. Quelle caractéristique principale définit une fonction bijective sur un intervalle ?

Elle possède une seule valeur maximale ou minimale.
Elle est nécessairement continue et monotone.
Elle est périodique avec un seul période positive.
Elle est à la fois injective et surjective, permettant une fonction réciproque.

Elle est à la fois injective et surjective, permettant une fonction réciproque.

Explication

Une fonction bijective doit être à la fois injective (un seul antécédent par image) et surjective (toute valeur de l'ensemble d'arrivée est atteinte), ce qui permet l'existence d'une fonction réciproque. La continuité ou la périodicité ne sont pas des conditions nécessaires pour la bijection.

Révisez avec les flashcards

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Qu'est-ce qu'une fonction définie sur E à valeurs dans F ?

Une fonction associe à chaque réel x de E un unique réel y de F noté f(x).

Quelle formule exprime la composée de f suivie de g ?

La composée vérifie (g∘f)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g(f(x)).

Qu'impose la parité d'une fonction f sur son ensemble de définition ?

L'ensemble de définition est symétrique par rapport à 0.

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